初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程当堂达标检测题

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第14讲  解分式方程知识点1 分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程（2）解这个整式方程 （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原方程的解；如果最简公分母的值为，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.【典例】 1.解分式方程 【解析】解：方程两边同乘，得：，整理得：，解得：，检验：当时，≠0，所以原方程的解为.【方法总结】1、分式方程分母是多项式的要先进行因式分解，再确定最简公分母；不含分母的项也要乘以最简公分母；2、求出整式方程的根后，要注意验根，将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则整式方程的根是原分式方程的增根.2.解分式方程：【解析】解：方程两边乘以得：去括号：，解得：检验：当时，最简公分母，所以，是原方程的解.【方法总结】1、去分母时，每一项都要乘以，“-1”项不要漏乘。2、求出的整式方程的解，不一定是原分式方程的解，所以最后需要验根【随堂练习】1．（2018秋•邢台期末）阅读材料：小华像这样解分式方程解：移项，得：通分，得：整理，得：分子值取0，得：即：经检验：是原分式方程的解．（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是　分式的值为0即分子为0且分母不为0　；（2）试用小华的方法解分式方程【解答】解：（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是分式的值为0即分子为0且分母不为0，故答案为：分式的值为0即分子为0且分母不为0． （2），，，，则，解得：，检验：时，分母为0，分式无意义，所以是增根，原分式方程无解．2．（2018秋•河池期末）解分式方程：．【解答】解：方程两边同乘，得解得：，经检验是分式方程的解．3．（2018秋•滨州期末）阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于的分式方程，得．由题意可得，所以，问题解决．小哲说：你考虑的不全面，还必须保证，即才行．（1）请回答：　小哲　的说法是正确的，并简述正确的理由是　 　；（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于的方程的解为非负数，求的取值范围．【解答】解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；故答案为：小哲；分式的分母不为0；（2）去分母得：，解得：，由分式方程的解为非负数，得到，且，解得：且．4．（2018秋•延庆区期末）解方程：．【解答】解：方程两边同乘，得，整理，得，解得，，检验：当时，，则是原分式方程的解． 知识点2  分式方程的解1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．”2、此类问题的步骤（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式；（3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.【典例】1.关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．【解析】解：方程两边同时乘以得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：7x=7+k，系数化为1，得：，根据题意得：且，解得k≥-7且k≠-21，k≠0所以的取值范围是k≥-7且k≠0.【方法总结】1、“非负数”是大于等于0的数.2、不要漏掉，这两个限制条件.【随堂练习】1．（2019•沙坪坝区校级三模）若数使关于的一元一次不等式组有整数解，且整数解的个数不超过4个，同时使得关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有的值之和是　　A．5 B．6 C．9 D．13【解答】解：解不等式组，得，不等式组有整数解，且整数解的个数不超过4个，整数解为，0，1，2，，解得，解分式方程，得，的分式方程为整数解，，故满足条件的所有的值之和为5，故选：．2．（2019•渝中区校级模拟）如果关于的不等式组有且仅有三个奇数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是　　A．15 B．27 C．29 D．42【解答】解：解不等式组，得：，不等式组有且仅有三个奇数解，，解得：，解关于的分式方程：，得：，分式方程有非负数解，，且，，解得：且，综上，和15，所以所有满足条件的整数的值为14，15，和为29．故选：．3．（2019•沙坪坝区校级模拟）若数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则满足条件的所有整数的个数是　　A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：由不等式组可知：且，有解且至多有3个整数解，，由分式方程可知：，将代入，，，，是整数，，综上，，所有满足条件的整数有：3、4、6、7，4个，故选：．4．（2019•北碚区校级一模）整数满足下列两个条件，使不等式恰好只有3个整数解，使得分式方程的解为整数，则所有满足条件的的和为　　A．2 B．3 C．5 D．6【解答】解：由不等式组可知：，有且只有3个整数解，，，由分式方程可知：，将代入，，关于的分式方程有整数解，能被整除，是整数，、3、5、6、7、10、；，或3，所有满足条件的整数之和为5，故选：．5．（2019•南岸区校级三模）若关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组有解则整数的值有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：解不等式组，得：，不等式组有解，，解得：，解关于的分式方程得：，分式方程有正整数解，是6的约数，且，，解得：或2，所以所有满足条件的整数的值为2，1，一共2个．故选：．6．（2019•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为　　A．0 B．1 C．4 D．6【解答】解：由不等式组得：解集是，；由关于的分式方程得，有非负整数解，，，且，（舍，此时分式方程为增根），，它们的和为1．故选：．7．（2019•重庆）若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是　　A． B． C． D．1【解答】解：由关于的不等式组得有且仅有三个整数解，，，2，或3．，；由关于的分式方程得，，解为正数，且为增根，，且，，且，所有满足条件的整数的值为：，，0，其和为．故选：．8．（2019•克东县二模）如果关于的不等式的解能中仅含有两个正整数解，且关于的分式方程有非负数解，则整数的值　　A．2或3或4 B．3 C．3或4 D．2或3【解答】解：解不等式，得，仅含有两个正整数解，，2，，，解分式方程，得，，，，3，4，故选：．9．（2019•江北区一模）若数使关于的不等式组至少有3个整数解，且使关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数的和是　　A．14 B．15 C．23 D．24【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组至少有3个整数解，；分式方程两边乘以，得：，解得：，分式方程有非负整数解，取，1，3，5，7，9，11，，只能取，1，3，5，7，则所有整数的和为，故选：．10．（2019•禹城市一模）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是　　A．且 B．且 C．且 D．【解答】解：解方程，得，，，是方程的增根，时，解得，即当时，分式方程有增根，，的取值范围是且．故选：．11．（2019春•南岸区校级期中）若数使关于的不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的个数是　　A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：化简得，．又解得，．由不等式组至少有三个整数解且所有解都满足故．又化整得，解得，．由该方程有整数解，则，且应为2的整数倍．解得，．在且中，满足应为2的倍数的整数的取值有两个，分别为，，3．故选：． 知识点3  分式方程的增根概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根【典例】1.若关于的方程有增根，则=________.【答案】3或【解析】解：方程两边都乘，得，∵分式方程有增根，∴最简公分母=0，所以增根是或把代入，整理得把代入，整理得所以的值为3或故答案为：3或．【方法总结】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：① 去分母，化分式方程为整式方程；② 让最简公分母为0，从而确定增根；③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2.若方程有增根，则它的增根是（　　）A. x=0    B. x=1    C. x=﹣1       D. x=1和﹣1【答案】B. 【解析】解：方程两边都乘，得，由最简公分母，可知增根可能是或﹣1．把带入，整理得m=3，把带入，整理得6=0，整式方程无解，所以原方程的增根只能是x=1．故选：B【方法总结】此题考查了分式方程的增根的知识，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，可按如下步骤进行：① 化分式方程为整式方程； ② 让最简公分母为0确定可能的增根；③ 把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的根，是原方程的增根；整式方程不成立，则不是原方程的增根.注意：使最简公分母为0的值，不一定是分式方程的增根.【随堂练习】1．分式方程有增根，则的值为　　A．0和3 B．1 C．1和 D．3【解答】解：分式方程有增根，，，，．两边同时乘以，原方程可化为，整理得，，当时，，当时，，当时，方程为，此时，即方程无解，时，分式方程有增根，故选：．二．填空题（共7小题）2．（2019春•沙坪坝区校级期中）关于的分式方程会产生增根，则　或6　．【解答】解：方程两边都乘，得，即，最简公分母为，原方程增根为，把代入整式方程，得．把代入整式方程，得．综上可知或6．故答案为：或63．（2019春•新蔡县期末）若分式方程要产生增根，则　2　．【解答】解：去分母得：，由分式方程有增根，得到或，当时，；当时，，检验：当时，此时，分式方程，增根不是，舍去，故答案为：2．4．（2019春•江阴市期中）若分式方程有增根，则的值为　1　．【解答】解：方程的两边都乘以，得，化简，得，原方程的增根为，把代入，得，故答案为：1．5．（2019春•埇桥区期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　　．【解答】解：方程两边都乘，得原方程增根为，把代入整式方程，得，解得．故答案为：．6．（2019•德城区一模）当　7　时，分式方程有增根．【解答】解：方程两边都乘以，得，原方程有增根，最简公分母，解得，把代入，中，得．故答案为：7．7．（2019•广陵区校级二模）　3　时，方程会产生增根．【解答】解：方程去分母得：，将代入得：，故答案为：3．8．（2019春•嘉兴期末）若方程有增根，则的值为　2　．【解答】解：去分母得：，将代入得：，解得：．故答案为：2三．解答题（共1小题）9．（2017秋•凤庆县期末）若解关于的分式方程会产生增根，求的值．【解答】解：去分母得：，由分式方程有增根，得到，解得：或，当时，，即；当时，，即，综上，的值是或6． 知识点4 分式方程无解分式方程无解的情况：（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解.（2）解出的整式方程的根是增根.【典例】1.解分式方程： 【解析】解：方程两边同乘得：，去括号，得：4x+8﹣16=﹣3x+6，移项、合并同类项，得：7x=14，系数化为1，得：x=2，检验：当x=2时， 最简公分母=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解.【方法总结】1、当解出的整式方程的根是增根时，分式方程无解2、注意增根的检验：检验：当x=2时， =0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解。2.若关于的分式方程无解，则的值为（　　）A. ﹣1.5   B. 1     C. ﹣1.5或2        D. ﹣0.5或﹣1.5【答案】D. 【解析】解：方程两边都乘以得：，即，分两种情况考虑：①当2m+1=0时，整式方程无解，原分式方程也无解此时m=﹣0.5②当2m+1≠0时，∵关于x的分式方程无解，∴最简公分母，解得或，当时，代入得，，此方程无解；当时，代入得，，解得：m=﹣1.5.∴当的值是﹣0.5或﹣1.5时，原方程无解.故选：D【方法总结】1、分式方程无解可能为：整式方程本身无解或分式方程产生增根．2、此题整理得到整式方程，此时分为两种情况：① 当时，整式方程本身无解；② 当时，解得是分式方程的增根，即满足或.【随堂练习】1．（2019•咸宁一模）若关于的分式方程无解，则　或6或1　．【解答】解：（1）为原方程的增根，此时有，即，解得．（2）为原方程的增根，此时有，即，解得．（3）方程两边都乘，得，化简得：．当时，整式方程无解．综上所述，当或或时，原方程无解．综合运用1.解下列分式方程：（1）；       （2）；（3）；      （4）；（5）；     （6）.【解析】解：（1）将原方程两边同乘以，得：整理得：解得：检验：当时，≠0，所以原方程的解为.（2）方程两边同乘，得：，去括号，得，整理，得，解得，检验：当时，，所以原方程的解为.（3）方程两边同乘，得：，解得：，检验：当时，≠0，所以原方程的解为.（4）方程两边同乘，得：，整理得：，解得：检验：当时，≠0，所以原方程的解为.（5），变形为方程的两边同乘，得整理得：解得x=2．检验：当x=2时，=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解.（6）方程两边同乘以，解得：x=2，把x=2代入最简公分母=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解. 2.对于的分式方程，当为何值时，分式方程有正数解．【解析】解：分式方程去分母得：，整理得：4x=6﹣m，解得：因为分式方程有正数解所以解得，因为最简公分母，即所以，解得当且时，分式方程有正数解.3.若关于的分式方程有增根，求常数的值.【解析】解：去分母得：，整理得：由分式方程有增根，得到，即，把代入得：，所以的值为2. 4.若关于的分式方程有增根，求增根的值.【解析】解：方程两边都乘，得∵原方程有增根，∴最简公分母可知增根可能是或．把带入，整理得4=0，整式方程无解把带入，整理得所以原方程的增根只能是. 5.若关于的方程无解，则的值为.【解析】解：方程去分母，得：，即①当时，整式方程无解，原分式方程也无解．解得：②当时，解得，要使原方程无解，则是原方程的增根，即解得：．故当的值为1或2时，分式方程无解.