初中数学人教版八年级上册第十五章 分式15.3 分式方程课时练习

第14讲  解分式方程

知识点1 分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程

（2）解这个整式方程

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：

如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原方程的解；

如果最简公分母的值为，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.

【典例】 

1.解分式方程

【方法总结】

1、分式方程分母是多项式的要先进行因式分解，再确定最简公分母；不含分母的项也要乘以最简公分母；

2、求出整式方程的根后，要注意验根，将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则整式方程的根是原分式方程的增根.

2.解分式方程：

【方法总结】

1、去分母时，每一项都要乘以，“-1”项不要漏乘。

2、求出的整式方程的解，不一定是原分式方程的解，所以最后需要验根

【随堂练习】

1．（2018秋•安顺期末）对于实数，定义一种新运算“”： ，例如，．则方程的解是　　．

2．（2019•市中区一模）分式方程的解为　 　．

3．（2019•路北区二模）分式方程的解是　 　．

4．（2019•黄石模拟）分式方程的解为　 　．

二．解答题（共4小题）

5．（2019•行唐县模拟）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定

如：

（1）求的值；

（2）计算；

（3）若，求的值．

6．（2019•保定二模）对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数，且，这里等式右边是通常的四则运算．

如：，．

（1）填空：　　（用含，的代数式表示）；

（2）若且．

①求与的值；

②若，，，求的值．

7．（2019春•江都区期中）解分式方程：

（1）

（2）．

8．（2019春•泰兴市期中）解方程：

（1）

（2）．

知识点2  分式方程的解

1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．”

2、此类问题的步骤

（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；

（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式；

（3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.

【典例】

1.关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．

【方法总结】

1、“非负数”是大于等于0的数.

2、不要漏掉，这两个限制条件.

【随堂练习】

1．（2019春•九龙坡区校级期末）若数使关于的不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为　　

A．10 B．7 C．5 D．2

2．（2019春•北碚区校级期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为整数，则符合所有条件整数值的和为　　

A． B． C． D．

3．（2018秋•北碚区校级月考）若数使关于的方程有整数解，且使关于的不等式组最多有三个整数解，则所有满足条件的整数的和为　　

A． B．0 C． D．1

4．（2019春•九龙坡区校级期末）若关于的不等式组至少有四个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数有　　

A．3个 B．4个 C．5个 D．2个

二．填空题（共2小题）

5．（2019春•泰州期末）已知关于的方程的解是负值，则的取值范围是　　．

6．（2019春•玄武区期末）若关于的方程的解是负数，则的取值范围是　　．

知识点3  分式方程的增根

概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根

【典例】

1.若关于的方程有增根，则=________.

【方法总结】

本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：

① 去分母，化分式方程为整式方程；

② 让最简公分母为0，从而确定增根；

③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

2.若方程有增根，则它的增根是（　　）

A. x=0    B. x=1    C. x=﹣1       D. x=1和﹣1

【方法总结】

此题考查了分式方程的增根的知识，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，可按如下步骤进行：

① 化分式方程为整式方程；

② 让最简公分母为0确定可能的增根；

③ 把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的根，是原方程的增根；整式方程不成立，则不是原方程的增根.

注意：使最简公分母为0的值，不一定是分式方程的增根.

【随堂练习】

1．（2019春•怀宁县期末）若关于的分式方程有增根，则实数的值是　　

A．2 B． C．1 D．0

2．（2019春•建平县期末）若关于的分式方程有增根，则的值是　　

A． B． C．或 D．

3．（2019•海州区二模）关于的分式方程有增根，则增根为　　

A． B． C． D．

4．（2019春•南岸区校级期中）若关于的分式方程有增根，则的值是　　

A．0 B．1 C．2 D．0或2

5．（2019春•赣榆区期末）若分式方程有增根，则的值是　　

A．4 B．3 C．2 D．1

6．（2018秋•桑植县期末）关于的方程有增根，则的值为　　

A． B．3 C． D．2

7．（2019春•江阴市期中）若关于的分式方程有增根，则的值为　　

A． B．2 C．3 D．不存在

8．（2019春•靖江市校级期末）若有增根，则的值是　　

A．3 B．2 C． D．

9．（2019春•永寿县期末）关于的方程有增根，则的值是　　

A．2 B．3 C．0 D．

二．填空题（共1小题）

10．（2019春•丹东期末）如果解关于的分式方程时，出现增根，那么的值为　　．

知识点4 分式方程无解

分式方程无解的情况：

（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解.

（2）解出的整式方程的根是增根.

【典例】

1.解分式方程：

【方法总结】

1、当解出的整式方程的根是增根时，分式方程无解

2、注意增根的检验：

检验：当x=2时， =0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解。

2.若关于的分式方程无解，则的值为（　　）

A. ﹣1.5   B. 1     C. ﹣1.5或2        D. ﹣0.5或﹣1.5

【方法总结】

1、分式方程无解可能为：整式方程本身无解或分式方程产生增根．

2、此题整理得到整式方程，此时分为两种情况：

① 当时，整式方程本身无解；

② 当时，解得是分式方程的增根，即满足或.

【随堂练习】

1．（2019春•重庆期末）已知关于的分式方程无解，则的值为　　

A． B． C． D．或

二．填空题（共1小题）

2．（2019春•越城区期末）若关于的方程无解，则的值是　 　．

三．解答题（共1小题）

3．（2018秋•克东县期末）若关于的方程无解，求的值．

综合运用

1.解下列分式。

（1）；       （2）；

（3）；      （4）；

（5）；     （6）.

2.对于的分式方程，当为何值时，分式方程有正数解．

3.若关于的分式方程有增根，求常数的值.

4.若关于的分式方程有增根，求增根的值.

5.若关于的方程无解，则的值为.