人教版九年级上册第二十三章 旋转23.1 图形的旋转课堂检测

这是一份人教版九年级上册第二十三章 旋转23.1 图形的旋转课堂检测，文件包含人教版初三数学上册秋季班讲义第6讲图形的旋转-中心对称--提高班教师版docx、人教版初三数学上册秋季班讲义第6讲图形的旋转-中心对称--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
知识点1图形的旋转
图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.
图形旋转的性质：
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
【典例】
1.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是
【答案】20°
【解析】解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°。
2.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为
【答案】90°
【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°。
3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为
【答案】180°﹣α
【解析】解：由题意可得，
∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB=180°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，
∴∠CAD=180°﹣α
4.如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为
【答案】8cm
【解析】解：如图，AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，
∵∠BAH=90°﹣60°=30°，
∴AC=2CH=2x，
∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，
∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，
∴AC=2x=8，
即AB中水柱的长度约为8cm。
【方法总结】
由于旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角.
注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素．
【随堂练习】
1．（2019春•滨湖区期末）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，
旋转角，
故选：．
2．（2019春•泰州期末）点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．绕原点逆时针旋转D．绕原点顺时针旋转
【解答】解：如图，观察图象可知：点绕原点逆时针旋转得到点．
故选：．
3．（2019春•罗湖区期末）等边三角形的边长为6，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是
①；②；③；④周长最小值是9
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是等边的内心，
，、分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，，
，
，，①正确；
，
四边形的面积，③错误；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
；②错误；
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，④正确．
故选：．
4．（2019春•历下区期末）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意：，，共线，
又，，
，
故选：．
5．（2019春•西陵区期中）如图，点的坐标为，为坐标原点，将绕点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：观察图象可知，
故选：．
6．（2019春•桂林期末）如图，正方形的对角线与相交于点．将绕点顺时针旋转，设旋转角为，角的两边分别与，交于点，，连接，，，下列四个结论：
①；②；③；④；其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：四边形是正方形
，，，
将绕点顺时针旋转，
，且，
，
故②正确
点，点，点，点四点共圆
故①错误
，，
故③正确
，
，
；
故④正确
故选：．
7．（2019春•灞桥区校级期末）已知等边的边长为4，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是
A．B．C．2D．不能确定
【解答】解：如图，由旋转可得，
又，
，
点是边的中点，
，
当时，的长最小，
此时，，
，
，
的最小值是，
故选：．
8．（2019春•沙县期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，连接，则的长为
A．B．C．4D．6
【解答】解：将绕点逆时针旋转得到△，
，，
，，，
，
在中，．
故选：．
9．（2019•滨海新区模拟）如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，则下列结论不正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：由旋转的性质得，，，，，
，
，
为等边三角形，
，故，正确；
，，
，
，故正确；
故选：．
10．（2019•宜昌）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是
A．B．，C．，D．
【解答】解：如图，作轴于．
由题意：，，
，
，，
，
，，
故选：．
11．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是
A．，B．C．，D．
【解答】解：四边形是正方形，且，
，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
，，，，，，
发现是8次一循环，所以余3，
点的坐标为，
故选：．
12．（2019•福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移3个单位长度得到△，再把△绕点顺时针旋转
得到△，则点的对应点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：观察图象可知，
故选：．
二．填空题（共2小题）
13．（2019春•来宾期末）如图，将直角三角形纸片置于平面直角坐标系中，已知点，，将直角三角形纸片绕其右下角的顶点依次按顺时针方向旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，，则直角三角形纸片旋转2019次后，其直角顶点与坐标轴原点的距离为 8076 ．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
三次一个循环，，
直角三角形纸片旋转2019次后，直角顶点在轴上，
到原点的距离，
故答案为8076．
14．（2019春•成华区期末）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为 ．
【解答】解：连结，如图，
为等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，
，，
，且，
，
，
在中，，，，
，
为直角三角形，，
，
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
15．（2019春•泉州期末）已知是等边三角形，是上一点，绕点逆时针旋转到的位置．
（1）如图，旋转中心是 ， ；
（2）如图，如果是的中点，那么经过上述旋转后，点转动了 度；
（3）如果点为边上的三等分点，且的面积为3，那么四边形的面积为 ．
【解答】解：（1）为等边三角形，
绕点逆时针旋转到的位置，
旋转中心是点，；
（2）和为对应边，
经过上述旋转后，点转到了的中点位置，如图，
，
点转动了；
（3）绕点逆时针旋转到的位置，
，
，
，
，
．
故答案为点，60；60；．
知识点2 中心对称
1．中心对称图形与对称中心：
在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
2．中心对称和对称中心：
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。
3．中心对称和中心对称图形的关系：
它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系，二者是相对的。
4．中心对称的特征：
成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
【典例】
1.如图，已知 AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 ．
【答案】
【解析】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC=AC=1，DE=AB=3，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：=
2.若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是
【答案】2＜EF＜8
【解析】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，AB=5，AC=3，
∴DE=5，DF=3
∴EF的取值范围为：2＜EF＜8
3.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】6
【解析】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
4.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ．
【答案】（4n+1，）
【解析】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．
【方法总结】
1．对称中心的确定：
将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心
2．关于中心对称的作图：
（1）确定对称中心；
（2）确定关键点；
（3）作关键点的关于对称中心的对称点；
（4）连结各点，得到所需图形。
【随堂练习】
1．（2019春•宜城市期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，定点的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是
A．B．C．D．
【解答】解：点的坐标为，
平行四边形的对称中心坐标为，
设直线的函数解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为．
故选：．
2．（2019•呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点、、、按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为
A．，B．，，，
C．，，D．，
【解答】解：如图，连接、，过点作 轴于点，过点作轴于点，
易证，
，，
，，
、关于原点对称，
，，
故选：．
3．（2019春•江宁区期中）如图①，正方形的一个顶点与正方形的对称中心重合，重叠部分面积是正方形面积的，如图②，移动正方形的位置，使正方形的一个顶点与正方形的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形面积的
A．B．C．D．
【解答】解：
设正方形对角线的交点为，如图1，
设正方过点作边的垂线，则，，
，，
，
在和中
，
，
阴影部分的面积，
即图1中阴影部分的面积正方形的面积的四分之一，
同理图2中阴影部分烦人面积正方形的面积的四分之一，
图①，正方形的一个顶点与正方形的对称中心重合，重叠部分面积是正方形面积的，
正方形的面积正方形的面积的2倍，
图2中重叠部分面积是正方形面积的，
故选：．
二．填空题（共2小题）
4．（2019春•秦淮区期末）如图，在中，，，，以为一边作正方形设正方形的对称中心为，连接，则 ．
【解答】解：如图，连接，，，过作，交的延长线于，
是正方形的对称中心，
，，
，
，
，
四边形中，，
又，
，
，
，，
，，
，
故答案为：．
5．（2018秋•新疆期末）已知点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是 ．
【解答】解：关于原点对称的点在第四象限，
点在第二象限，
，
解得：，
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
6．（2019春•宿州期中）如图，是边的中点，连接并延长到点，使，连接．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若的面积为4，求的面积．
【解答】解：（1）图中和三角形成中心对称；
（2）和三角形成中心对称，的面积为4，
的面积也为4，
为的中点，
的面积也为4，
所以的面积为8．
知识点3 中心对称综合应用
在解平面几何题目的过程中，我们常把中心对称作为一种解题技巧。由于对称中心为对应点连线的中点，所以遇有线段中点问题，且有以中点为另外一条线段端点时，我们一般把以中点为端点的这条线段反向延长一倍，来构成中心对称图形，即常说的“倍长中线”，实际上“倍长中线”就是“中心对称综合应用”的一种迁变称谓。
【典例】
1.如图，在△ABC中，D为BC上任一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：点E，F关于AD的中点对称．
【解析】证明：如图，连接EF交于点O．
∵DE∥AC交AB与E，DF∥AB交AC于F，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴点E，F关于AD的中点对称．
2.如图，已知：AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）．
【解析】解：（1）无数．均经过两条对角线的交点．
（2）延长BC交EF于点M，连接AM、BF交于点P，连接CE、DM交于点Q，过P、Q的直线将这个图形分成面积相等的两部分，因为PQ既将平行四边形ABMF的面积平分，又将平行四边形CDEM的面积平分，所以直线PQ即为所求．
（3）如图所示：
3.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
【解析】解：（1）如图，延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG，DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2．
【方法总结】
倍长中线构图后，一般是先证两个“8字型”三角形全等，再根据内错角相等，随后可推证两个“8字”底边平行，再结合已知条件逐步展开，获取进一步解题条件。
【随堂练习】
1．（2019春•潍城区期末）放大镜中的四边形与原四边形的关系是
A．平移B．相似C．旋转D．成轴对称
【解答】解：因为放大前后的两个四边形的形状没变，而相似图形是指形状相同的图形，所以它们是相似的．
故选：．
2．（2019春•南召县期末）如图，四点在同一条直线上，，则下列结论正确的是
A．和成轴对称
B．经过旋转可以和重合
C．和成中心对称
D．经过平移可以和重合
【解答】解：，
，，，
，，
经过平移可以得到，
故选：．
3．（2019•岳阳二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，，按此作法进行下去，则点的坐标为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，，，，，，，
发现6次一个循环，
，
点的坐标与的坐标相同，即，
故选：．
4．（2019•房山区二模）如图，是经过某种变换后得到的图形．内任意一点的坐标为，点经过这种变换后得到点，点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，点与点关于原点对称，点的坐标为，
故选：．
5．（2019•江汉区模拟）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在的正方形网格图形中（如图，从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处．现有的正方形网格图形（如图，则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：如图1，连接，，则，
两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，
又，
，（不是整数）
按的方向连续变换4次后，相当于向右移动了格，向上移动了格，
此时位于如图2所示的正方形网格的点处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点处，
从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是次，
故选：．
二．填空题（共3小题）
6．（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图拼出来的图形的总长度是 （结果用含，代数式表示）．
【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度．
故答案为：．
7．（2018秋•绍兴期末）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫作图形的变换．如图，等边的边长为1，点在第一象限，点与原点0重合，点在轴的正半轴上．△就是经变换后所得的图形，则点的坐标是 ， ．
【解答】解：如图所示，过点作轴于点，
是等边三角形，且，
，，
点坐标为，，
则向右平移1个单位后对应点的坐标为，，
经变换后所得的△的顶点的坐标为，，
故答案为：，．
8．（2019春•内乡县期末）如图，在直角三角形中，，，先以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得△．然后以直线为对称轴，将△轴对称变换，得△，则与所成的的度数为 75 度．
【解答】解：按逆时针方向旋转，得△，
，
．
而．
又，
．
三．解答题（共2小题）
9．（2019春•徐州期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，
（1）请画出关于原点对称的△；
（2）四边形为 平行 四边形；
（3）点为平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点坐标．
【解答】解：（1）△如图所示．
（2）连接，，
，，
四边形为平行四边形，
故答案为平行．
（3）如图所示，满足条件的点的坐标为，，．
10．（2019春•宁德期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）将平移得到△，且的坐标是，画出△；
（2）将绕点逆时针旋转得到△，画出△；
（3）小娟发现△绕点旋转也可以得到△，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求；
（2）如图所示，△即为所求；
（3）如图所示，点即为所求，点的坐标为．
综合运用：图形的旋转
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
【解析】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，求旋转角θ值。
【解析】解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，
∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，
∴∠BPQ=（180°﹣∠C'PQ）=90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，
∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，
∴90°﹣θ+2×（30°+θ）=180°，
解得θ=20°；
②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，
即90°﹣θ=30°+θ，
解得θ=40°；
③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°﹣θ，
又∵∠BQP=30°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°﹣θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），
综上，θ值为：20°或40°。
答：θ值为：20°或40°。
3.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD为中线，将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接BE，F为AC上一点，连接BF，∠ABE=∠AFB，AF=6，BE=7，则CF的长多少？
【解析】解：如图，过点D作DH∥BF交AC于点H，过点F作FI⊥BA的延长线于点I，
∵∠BAC=∠EAD=120°
∴∠EAB=DAH，
∵DH∥BF，
∴∠AFB=AHD，
∵∠ABE=∠AFB，
∴∠ABE=∠AHD
在△AEB与△ADH
∴△AEB≌△ADH（AAS）
∴AB=AH，BE=DH=7
设FH=x，
∴AH=AB=6+x，
∵∠FAI=60°，
∴AI=AF=3
由勾股定理可知：IF=3，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∵DH∥BF
∴DH是△CBF的中位线，
∴BF=14，
在Rt△BFI中，
由勾股定理可知：（6+x+3）2+（3）2=142
∴x=4
∴CF=2FH=8
答：CF长为8。
4.如图，在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中线AD的取值范围。
【解析】解：延长AD至AE，交BC于D，使DE=AD。连接EC。
∵∠EDC和∠BDA是对顶角，∴∠EDC=∠BDA，
又∵D是BC的中点，∴BD=DC。
在△ABD和△CDE中：DE=AD，∠EDC=∠BDA，BD=DC
∴△ABD≌△CDE(SAS)，∴AB=EC=5a，
∵△ACE中，
∴AC+EC>AE>EC-AC，
又∵AC=3a，EC=5a，
∴AE的取值范围为：5a+3a>AE>5a-3a，
即8a>AE>2a，
由题意得：AE=2AD，∴8a>2AD>2a，即4a>AD>a。
5.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．
【解析】证明：延长AE到M，使EM=AE，连结DM，如图所示：
∵E是DC的中点，
∴AE=CE，
在△DEM和△CEA中，，
∴△DEM≌△CEA（SAS），
∴∠C=∠MDE，DM=AC，
又BD=DC=AC，
∴DM=BD，∠ADC=∠CAD，
又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，
∴∠ADM=∠ADB，
在△ADB和△ADM中，，
∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴∠BAD=∠MAD，
即AD平分∠BAE