人教版12.2 三角形全等的判定精品课堂检测

这是一份人教版12.2 三角形全等的判定精品课堂检测，共12页。试卷主要包含了“筝形”的定义，探究“筝形”的性质等内容，欢迎下载使用。

12.2　三角形全等的判定
典型例题
题型一　三角形全等判定方法的选择
例1　(2019·贵州安顺中考)如图12-2-1所示，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥ FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)
图12-2-1
A.∠A＝∠D B.AC＝DF C.AB＝ED D.BF＝EC
解析：对于选项A，添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本
选项正确；对于选项B，添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；对于选项C，添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；对于选项D，添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误.故选A.　　
答案：A
例2　如图12-2-2所示，已知AB＝AD，CB＝CD，那么∠B＝∠D吗？为什么？
图12-2-2
分析：要判定∠B＝∠D，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所在的两个三角形全等.本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接AC即可构成全等三角形.
解：∠B＝∠D.理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC(SSS).
∴ ∠B＝∠D(全等三角形的对应角相等).
点拨：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质解决，有时会根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形.
例3　(2020·南京中考)如图12-2-3，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：BD＝CE.
证明：∵ ∠A＝∠A，AC＝AB，∠C＝∠B，
∴ △ACD≌△ABE，
图12-2-3
∴ AD＝AE，
∴ AB-AD＝AC-AE，即BD＝CE.
例4　如图12-2-4所示，已知E，F是线段AB上的两点，且AE＝BF，AD＝BC，∠A＝∠B.求证：DF＝CE.
分析：先证明AF＝BE，再用“SAS”证明两个三角形全等.
图12-2-4
证明：∵ AE＝BF(已知)，
∴ AE+EF＝BF+FE，
即AF＝BE.
在△DAF和△CBE中，
∴ △DAF≌△CBE(SAS).
∴ DF＝CE(全等三角形的对应边相等).
点拨：本题中AE＝BF这一条件不能直接用于证明△DAF与△CBE全等，可运用等式性质将AE＝BF转换成AF＝BE.运用等式性质可以由已知两条线段(或两个角)相等，得出另两条线段(或两个角)相等.
例5　(2019·广州中考)如图12-2-5所示，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.
求证：△ADE≌△CFE.
图12-2-5
证明：∵FC∥AB，∴ ∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F.
在△ADE和△CFE中，

∴ △ADE≌△CFE(AAS).
例6　(2020·湖北黄石中考)如图12-2-6，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.
(1)求∠DAE的度数.
图12-2-6
(2)若∠B＝30°，求证：AD＝BC.
(1)解：∵ AB∥DE，∠E＝40°，
∴ ∠EAB＝∠E＝40°.
∵ ∠DAB＝70°，∴ ∠DAE＝∠DAB-∠EAB＝30°.
(2)证明：在△ADE与△BCA中，
∴ △ADE≌△BCA(ASA)，
∴ AD＝BC.
例7　(2020·四川南充中考)如图12-2-7，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE.求证：AB＝CD.
证明：∵ AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
图12-2-7
∴ ∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，
∴ ∠ACB+∠ECD＝90°，
∠ECD+∠CED＝90°，
∴ ∠ACB＝∠CED.
在△ABC和△CDE中，
∴ △ABC≌△CDE，
∴ AB＝CD.
例8　(2019·湖北宜昌中考)如图12-2-8所示，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE.
图12-2-8
(1)求证：△ABE≌△DBE.
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数.
(1)证明：∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠DBE.
在△ABE和△DBE中，

∴ △ABE≌△DBE(SAS).
(2)解：∵ ∠A＝100°，∠C＝50°，∴ ∠ABC＝30°.
∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴ ∠AEB＝180°-∠A-∠ABE＝180°-100°-15°＝65°.
题型二　全等形的计数问题
例9　如图12-2-9所示，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中(包括实线、虚线在内)的全等三角形共有(　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
解析：由折叠知△CDB≌△C′DB.
图12-2-9
由长方形的性质知AB＝DC，AD＝BC.
在△ABD和△CDB中，
∴ △ABD≌△CDB(SSS)，
∴ △ABD≌△C′DB≌△CDB.
在△ABE和△C′DE中，
∴ △ABE≌△C′DE(AAS).
∴ 共有4对全等的三角形.　　
答案：C
点拨：在数全等三角形的对数时，先通过观察看哪几个三角形可能全等，然后再去尝试证明.为做到不重不漏，可先按从小到大的顺序依次观察图形，然后观察组合图形，但在证明两个三角形全等时，应先证明已知条件足够多的.
例10　(2019·广西河池中考)如图12-2-10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
图12-2-10
解析：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD∥BC，AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.
在△ABE和△BCF中，

∴ △ABE≌△BCF(SAS)，∴ ∠BFC＝∠AEB.
∵ AD∥BC，AB∥CD，
∴ ∠DAE＝∠AEB，∠BFC＝∠ABF，∴ ∠ABF＝∠AEB.
故图中与∠AEB相等的角的个数是3.　　
答案：C
题型三　三角形全等的判定与性质的综合应用
例11　如图12-2-11所示，AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上的两点，且AE＝CF.求证：BF＝DE.
图12-2-11
分析：观察图形，BF，DE分别在△BCF和△DAE或△ABF和△CDE中，可通过证明三角形全等来解决问题.由已知条件不能直接证明这两个三角形全等，但可由已知条件先证明△ABC≌△CDA，
由此得∠1＝∠2及∠3＝∠4，从而可证△BCF≌△DAE或△ABF≌△CDE.
证法1：在△ABC和△CDA中，

∴ △ABC≌△CDA(SSS).
∴ ∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等).
在△BCF和△DAE中，
∴ △BCF≌△DAE(SAS).
∴ BF＝DE(全等三角形的对应边相等).
证法2：同“证法1”，得△ABC≌△CDA(SSS)，
∴ ∠3＝∠4(全等三角形的对应角相等).
∵ AE＝CF，∴ AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE.
在△ABF和△CDE中，
∴ △ABF≌△CDE(SAS).
∴ BF＝DE(全等三角形的对应边相等).
点拨：寻找解决问题的思路时，可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件.同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等.
题型四　有关角和线段的求值问题
例12 (2020·江西中考)如图12-2-12，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为　　　　.
解析：∵ CA平分∠DCB，∴ ∠ACD＝∠ACB.
图12-2-12
在△ACD和△ACB中，∴ △ACD≌△ACB(SAS)，
∴ ∠DAC＝∠BAC.
∵ ∠DAC+∠EAC＝180°，∠EAC＝49°，
∴ ∠DAC＝180°-∠EAC＝180°-49°＝131°，
∴ ∠BAC＝∠DAC＝131°，
∴ ∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝131°-49°＝82°.
答案：82°
例13　(2019·江苏苏州中考)如图12-2-13所示，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB.将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.
图12-2-13
(1)求证：EF＝BC.
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.
(1)证明：∵ 线段AC绕点A旋转到AF的位置，∴ AC＝AF.
∵ ∠CAF＝∠BAE，
∴ ∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF＝∠BAC.
在△ABC和△AEF中，

∴ △ABC≌△AEF(SAS).∴ EF＝BC.
(2)解：∵ AE＝AB，∴ ∠AEB＝∠ABC＝65°.
∵ △ABC≌△AEF，∴ ∠AEF＝∠ABC＝65°，
∴ ∠FEC＝180°-∠AEB-∠AEF＝180°-65°-65°＝50°.
∵ ∠FGC是△EGC的外角，∠ACB＝28°，
∴ ∠FGC＝∠FEC+∠ACB＝50°+28°＝78°.
图12-2-14
例14　如图12-2-14所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线PQ上，过点A作AD⊥PQ，过点B作BE⊥PQ，垂足分别为D，E，且AD＝14 cm，BE＝13 cm.求DE的长.
分析：先根据“AAS”判定△ADC≌△CEB，再根据全等三角形的性质得
到AD＝CE，DC＝EB，从而把AD与BE的长转化为CE与DC的长，再求和即
可得到线段DE的长.
解：∵ △ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，
∴ AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴ ∠2+∠3＝180°-90°＝90°.
又∵ AD⊥PQ，∴ ∠1+∠2＝90°，
∴ ∠1＝∠3(同角的余角相等).
∵ AD⊥PQ，BE⊥PQ，
∴ ∠ADC＝∠CEB＝90°.
在△ADC和△CEB中，
∴ △ADC≌△CEB(AAS)，∴ AD＝CE，DC＝EB.
∵ AD＝14 cm，BE＝13 cm，
∴ CE＝14 cm，DC＝13 cm，∴ DE＝CE+DC＝27 cm.
点拨：在解答线段求值的问题时，应利用三角形的全等、线段的中点等进行线段值的转化，并结合线段的和差倍分求得线段的最终长度.
题型五　证明线段的位置关系
例15　如图12-2-15所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.
图12-2-15
解：BF⊥AE.
∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACE＝∠BCD＝90°.
又∵ BD＝AE，BC＝AC，
∴ Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)，
∴ ∠CBD＝∠CAE.
又∵ ∠CAE+∠E＝90°，∴ ∠EBF+∠E＝90°.
∴ ∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
点拨：两线段的垂直关系是中考的常考考点，在本题中，可向学生渗透“8字导角”模型.
如图12-2-16①所示，
若∠B＝∠E，则∠A＝∠D.
　　　
① ② 图12-2-16
如图12-2-16②所示，
若∠B＝90°，∠C＝∠A，则∠D＝90°.
方法归纳
用三角形全等探求线段的特殊位置关系的方法：线段的特殊位置关系常见的有平行和垂直.一般先运用三角形全等证明出相等的两角，然后利用三角形内角和、等角的余角相等、邻补角的定义等将其转化为具有特殊位置关系的两个角的关系，从而判断两条线段所在的直线的位置关系，最后确定两条线段的位置关系.
例16　(2019·湖北孝感中考)如图12-2-17所示，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE.
图12-2-17
证明：∵ ∠C＝∠D＝90°，
∴ △ACB和△BDA是直角三角形.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴ Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，
∴ ∠ABC＝∠BAD，
∴ AE＝BE.
题型六　文字题
例17　求证：三角形的一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等.
分析：这是一道文字题，需要先根据题意画出图形，再结合题意，写出已知、求证，最后证明.
已知：如图12-2-18所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥ AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E.
求证：BE＝CF.
证法1：∵ AD为△ABC的中线，∴ BD＝CD.
∵ BE⊥AD，CF⊥AD，
图12-2-18
∴ ∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED与△CFD中，

∴ △BED≌△CFD(AAS).
∴ BE＝CF.
证法2：∵ AD为△ABC的中线，
∴ BD＝DC，
∴ S△ABD＝S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等).
∵ S△ABD＝AD·BE，S△ACD＝AD·CF，
∴ AD·BE＝AD·CF，∴ BE＝CF.
点拨：在几何中，有很多问题可以通过面积相等，利用转换法使问题简化，从而达到事半功倍的效果.
例18　求证：三角形一边的中线小于其他两边和的一半.
分析：通过“创造”全等三角形，转化为三角形的一边小于其他两边的和.
已知：如图12-2-19所示，在△ABC中，D是BC边上的中点.
求证：AD<.
图12-2-19
证明：如图12-2-19所示延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE.
∵ D是BC的中点，∴ BD＝CD.
在△BED和△CAD中，
∴ △BED≌△CAD(SAS).
∴ BE＝CA(全等三角形的对应边相等).
在△ABE中，AE ∵ AE＝AD+DE＝2AD，
∴ 2AD 题型七　全等三角形的探究题
例19　如图12-2-20①所示，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF.
(1)求证：△AFC≌△DEB.
(2)如果将△EBD沿着AD边的方向平行移动，点B在点C右侧时，如图12-2-20②所示；点B与点C重合时，如图12-2-20③所示，其余条件不变，那么结论是否仍成立？并说明理由.
　　
①　 　 ②　　 　　 　③
图12-2-20
分析：在图形变化过程中，只是两个三角形的位置发生了变化，两个三角形的大小、形状均不变.
(1)证明：∵ DE∥AF，∴ ∠FAC＝∠EDB.
∵ AB＝CD，∴ AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD.
在△AFC和△DEB中，
∴ △AFC≌△DEB(SAS).
(2)解：图12-2-20②仍然成立.图12-2-20③仍然成立.理由：△AFC与△DEB形状、大小未变.
点拨：在图形的变化过程中，把握住图形的形状和大小是否发生变化，原有的规律是否存在是解答此类题目的关键.
题型八　方案设计题
例20 为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：
　　　
①　　　　　 　　②　
图12-2-21
方案①：如图12-2-21①所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长.
方案②：如图12-2-21②所示，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即是AB的距离.
问：(1)方案①是否可行？　　　　，理由是　　　　.
(2)方案②是否可行？　　　　，理由是　　　　.
(3)小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要　　　　就可以了，请把小明所说的条件补上.
解析：(1)在方案①中，AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，BC＝CE，由“SAS”知△ACB≌△DCE，∴ AB＝DE. (2)在方案②中，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，由“ASA”知△ABC≌△EDC，∴ AB＝DE.(3)由于BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，还差一对对应角相等就能判定△ABC≌△EDC，故只需把BF⊥AB和BF⊥DE改为AB∥DE就可以了.
答案：(1)可行　由“SAS”知△ABC≌△DEC，∴ AB＝DE
(2)可行　由“ASA”知△ABC≌△EDC，∴ AB＝ED
(3)AB∥ DE
题型九　探究三角形全等的条件问题
例21　(2020·北京中考)如图12-2-22所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上(不与点B，C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是　　　　(写出一个即可).
图12-2-22
解析：D为BC中点时，可用SSS证明△ABD≌△ACD；AD⊥BC时，可用HL证明△ABD≌△ACD；AD平分∠BAC时，可用SAS证明△ABD≌△ACD.
答案：D为BC的中点(或AD⊥BC或AD平分∠BAC，答案不唯一)
点拨：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意AAA，SSA不能判定两个三角形全等.判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若两边及一角对应相等时，角必须是两边的夹角.


题型十　“截长、补短法”证明线段的和差关系
例22　如图12-2-23所示，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC+BD.
图12-2-23
分析：证明AB＝AC+BD是我们学习了证明线段相等后遇到的新题型，通常是采用“截长、补短法”，即一种是在“和线段”AB上截取AF＝AC，再证BF＝BD，这种方法叫“截长法”；另一种是延长AC到F，使AF＝
AB，再证CF＝BD，这种方法叫“补短法”.
证法1：(截长法)如图12-2-24所示，在AB上截取AF＝AC，连接EF.
在△ACE和△AFE中，
图12-2-24

∴ △ACE≌△AFE(SAS).
∴ ∠C＝∠5(全等三角形的对应角相等).
∵ AC∥BD，∴ ∠C+∠D＝180°.
∵ ∠5+∠6＝180°，∴ ∠D＝∠6.
在△BEF和△BED中，
∴ △BEF≌△BED(AAS).
∴ BF＝BD.
∴ AF+BF＝AC+BD，即AB＝AC+BD.
证法2：(补短法)如图12-2-25所示，延长AC到F，使AF＝AB，连接EF.
图12-2-25
在△AEF和△AEB中，

∴ △AEF≌△AEB(SAS).
∴ EF＝EB，∠F＝∠3.
∵ ∠3＝∠4，∴ ∠F＝∠4.
∵ AC∥BD，∴ ∠5＝∠D.
在△CEF和△DEB中，
∴ △CEF≌△DEB(AAS).
∴ CF＝DB(全等三角形的对应边相等).
∵ AB＝AC+CF，∴ AB＝AC+BD.
点拨：“截长法”是在长线段上截取一段，使截取的线段等于另一条线段，然后证明剩下的线段与第三条线段相等.“补短法”是延长短线段，使延长后的线段等于长线段，再证明延长的部分等于另一条线段.本题无论用哪种方法，目的都是把证明线段和差问题转化为证明线段相等问题.
例23　如图12-2-26所示，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点.
求证：AB-AC>PB-PC.
分析：欲证AB-AC>PB-PC，不难想到利用三角形的三边关系来证明.由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造第三边，使之等于AB-AC，可以在AB上截取AN＝AC，然后证明△NAP≌△CAP，证得PC＝PN，便可得到结论；或者延长AC到点M，使AM＝AB，然后证明△ABP≌△AMP，证得PB＝PM，也可得到结论.
证法1：(截长法)如图12-2-26所示，在AB上截取AN＝AC，连接PN.
在△APN和△APC中，
图12-2-26

∴ △APN≌△APC(SAS).∴ PN＝PC.
在△BPN中，PB-PN ∵ BN＝AB-AC，∴ AB-AC>PB-PC.
证法2：(补短法)如图12-2-26所示，延长AC至M，使AM＝AB，连接PM.
在△ABP和△AMP中，
∴ △ABP≌△AMP(SAS).∴ PB＝PM.
在△PCM中，CM>PM-PC，
∵ CM＝AM-AC＝AB-AC，
∴ AB-AC>PB-PC.
题型十一　动态探究性问题
例24 如图12-2-27所示，在△ABC中，∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AB所在直线上的动点，且BD＝AE，直线AD与CE交于点F.
图12-2-27
(1)当点D，E在边BC，AB上运动时，∠DFC的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若变化，写出其变化规律.
(2)当点D，E运动到CB，BA的延长线上时，(1)中的结论是否改变？请说明理由.
解：(1)不变.
在△ABD和△CAE中，
∴ △ABD≌△CAE(SAS).
∴ ∠BAD＝∠ACE.
∴ ∠DFC＝∠DAC+∠ACE＝∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°.
(2)不改变.理由如下：
如图12-2-28所示，∵ ∠ABD＝180°-∠ABC＝120°，
∠CAE＝180°-∠BAC＝120°，
∴ ∠ABD＝∠CAE.
图12-2-28
在△ABD和△CAE中，

∴ △ABD≌△CAE(SAS)，∴ ∠D＝∠E.
∵ ∠EAF＝∠BAD，∴ ∠DFC＝∠EAF+∠E＝∠BAD+∠D＝∠ABC＝60°.

拓展资料
用全等三角形研究“筝形”
观察如图12-2-29所示的这些图片，你能从图片中看出有哪些基本图形吗？

图12-2-29
1.“筝形”的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.
用符号语言表示(如图12-2-30所示)：
在四边形ABCD 中，AB ＝AD，BC ＝DC，则四边形ABCD 是筝形 .
2.探究“筝形”的性质：
图12-2-30
在筝形ABCD 中，
边：AB ＝AD，BC ＝DC.
角：∠ABC ＝∠ADC.
对角线：AC⊥BD，且AC所在的直线平分BD.
筝形的面积为两对角线乘积的一半.
追问1　你能应用所学的知识证明这些猜想吗？
证明：如图12-2-31所示，连接AC，连接BD交AC的延长线于点O.
由“筝形”的定义可知，AB＝AD，BC＝DC.
∵ AC＝AC，
图12-2-31
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴ ∠ABC＝∠ADC，∠BAC＝∠DAC.
又∵ AB＝AD，AO＝AO，
∴△ABO≌△ADO(SAS)，
∴ BO＝DO，∠AOB＝∠AOD＝90°，∴ AC⊥BD.
∵ △ABC≌△ADC，
∴ “筝形”ABCD 的面积S＝2·S△ABC＝2×AC· BO＝AC·BD.
追问2　你能从边、角、对角线等方面用文字语言归纳出“筝形”所具有的性质吗？
归纳得出“筝形”的性质如下：
(1)筝形两组邻边分别相等；
(2)筝形至少一组对角相等；
(3)筝形的一条对角线平分一组对角，并且垂直平分另一条对角线；
(4)筝形的面积为两对角线乘积的一半.