初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品同步达标检测题

第十三章　轴对称

13.1　轴对称

典型例题

题型一　轴对称图形的判断

例1　 (2020·山西中考) 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是(　　)

A           B         C          D

解析：D中图形沿着过上下两边中点的直线进行折叠，直线两旁的部分能完全重合，是轴对称图形；其他图形不符合轴对称图形的定义，不是轴对称图形.　　

答案：D

例2　(青海中考)以下图形中对称轴的数量小于3的是(　　)

    A　　　   B　　　　　C　　　　 　D

解析：A中图形有4条对称轴；B中图形有6条对称轴；C中图形有4条对称轴；D中图形有2条对称轴.

答案：D

题型二　运用轴对称图形的性质作图

例3　在图13-1-1中，画出下面轴对称图形的另一半.

图13-1-1

分析：根据轴对称图形的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，即可画出图形.

解：如图13-1-2.

图13-1-2

题型三　轴对称性质的综合运用

例4　如图13-1-3所示，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上.其中正确的有(　　)

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

解析：①由轴对称的性质可知，关于某条直线对称的两个图形全等，所以△ABC≌△A′B′C′；②由轴对称的性质可知对应角∠BAC＝∠B′A′C′，等号两边都加上∠CAC′，可得∠BAC′＝∠B′AC；③点C与点C′为对应点，对称轴垂直平分对应点的连线，所以③正确；④BC和B′C′为对应线段，由轴对称的性质可知，BC和B′C′所在直线的交点一定在对称轴上.由以上分析可知①②③都正确，只有④错误，所以选B.　　

答案：B

图13-1-3　　　　　　　　图13-1-4

例5　如图13-1-4所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在N，M的位置上，EN交AD于点G，已知∠EFG＝58°，求∠BEG的度数.

分析：根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可知∠EFG＝∠FEC，再根据EF是折痕可知∠FEG＝∠FEC，利用平角的性质就可求得所要求的角.

解：∵ 四边形ABCD是长方形，∴ AD∥BC，

∴ ∠EFG＝∠FEC.

∵ ∠EFG＝58°，∴ ∠FEC＝58°.

又EF是折痕，∴ ∠FEG＝∠FEC.

∴ ∠BEG＝180°-2∠FEC＝180°-2×58°＝64°.

例6　(2020·哈尔滨中考)如图13-1-5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是B′，则∠CAB′的度数是(　　)

A.10° B.20° C.30° D.40°

解析：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴ ∠C＝40°.

∵ △ADB与△ADB′关于直线AD对称，∴ ∠AB′D＝∠B＝50°，

∴ ∠CAB′＝50°-40°＝10°.

答案：A

题型四　线段垂直平分线的性质与判定的运用

例7　(2019·山东东营中考)如图13-1-6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连接CF，若AC＝3，CG＝2，则CF的长为(　　)

A. B.3 C.2 D.

解析：由作图可知，DE是边BC的垂直平分线，那么BC＝2CG＝4.在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AB＝5.因为∠ACB＝90°，所以DE∥AC.因为G为BC的中点，所以F为AB的中点，所以CF＝AB＝.　　

答案：A

例8　在△ABC中，AB>AC>BC，且D为BC上一点，要求在AB上找一点P，在AC上找一点Q，使得△APQ与△PQD全等，以下是甲、乙两人的作法：

(甲)连接AD，作AD的中垂线分别交AB，AC于点P、点Q，则P，Q两点即为所求；

(乙)过点D作与AC平行的直线交AB于点P，过点D作与AB平行的直线交AC于点Q，则P，Q两点即为所求.

对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(　　)

A.两人都正确  B.两人都错误

C.甲正确，乙错误  D.甲错误，乙正确

解析：如图13-1-7①，连接PD，QD，∵ PQ垂直平分AD，

① 　　　　　　　②

图13-1-7

∴ PA＝PD，QA＝QD.又PQ＝PQ，

∴ △APQ≌△DPQ(SSS)，∴ 甲正确.

如图13-1-7②，∵ PD∥AQ，DQ∥AP，

∴ 四边形APDQ为平行四边形，

∴ PA＝DQ，PD＝AQ.

而PQ＝QP，∴ △APQ≌△DQP (SSS)，∴ 乙正确.

答案：A

例9　如图13-1-8所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD垂直平分EF.

分析：要证AD垂直平分EF，只需证点A在EF的垂直平分线上，点D在EF的垂直平分线上即可.

证明：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ DE＝DF.∴ 点D在EF的垂直平分线上.

在Rt△AED与Rt△AFD中，

∴ Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴ AE＝AF，

∴ 点A在EF的垂直平分线上，∴ AD垂直平分EF.

图13-1-8　　　　          图13-1-9

例10　如图13-1-9所示，在△ABC中，∠BAC＝126°，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，求∠PAQ的度数.

分析：欲求∠PAQ的度数，关键是找出∠PAQ与已知角∠BAC之间的关系，可结合线段垂直平分线的性质与三角形内角和定理及其推论来求解.

解：∵ MP垂直平分AB，∴ PA＝PB.

易证△AMP≌△BMP，∴ ∠B＝∠PAB.

∵ NQ垂直平分AC，∴ QA＝QC.

易证△AQN≌△CQN，∴ ∠C＝∠QAC.

又∵ ∠BAC＝126°，∴ ∠B+∠C＝180°-126°＝54°，

∴ ∠PAB+∠QAC＝54°，∴ ∠PAQ＝126°-54°＝72°.

题型五　轴对称的拓展创新题

例11　小明同学学习了轴对称后，忽然想起了过去做过的一道题：有一组数排列成方阵，如图13-1-10所示，试计算这组数的和.小明想方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竟得到非常巧妙的方法，你能试试看吗？

分析：根据轴对称的性质，对角线两边对称位置上的两个数的和都是

10，然后数出10的个数与对角线上5的个数，列式进行计算即可得解.

解：如图13-1-11所示，从方阵中的数可以看出，一条对角线上的数都是5，把正方形沿此对角线所在直线翻折一下，对称位置的两数之和都是10，所以这个方阵中数的和＝10×(1+ 2+3+4)+ 5×5＝10×10+ 25＝100+25＝125.

图13-1-11

拓展资料

对称与剪纸

上下对称剪纸是剪纸里一个很重要的方法，下面就为大家介绍一下上下对称剪纸方法的主要步骤.

准备：取四张色纸，分两份，从中间对叠一次，用书钉订好.

图13-1-12

描图：找出图13-1-12剪纸图样中上下对称的对称线，用尺子把它画出来.把订好纸的折叠线边对准图样中的对称线，只画原图样的一半即可.

剪制：关键是如何处理连接边.在剪制时，要留意连接边的取舍，什么部位应保留取决于所要剪的主题内容.

怎么样？你学会剪纸了吗？试试看！

奇怪的车号

一辆汽车肇事后司机开车逃跑了，私家侦探小王立即赶到了出事地点.

一位证人说：“当时发现车的后面有一辆车突然拐向小路，飞驶而去，我顺手记下了那辆车的车牌号.”小王说：“那可能就是肇事的车，我马上叫警察搜捕这辆18UA01号车！”几小时后，警察局告知小王，证人提供的车号18UA01是个空号.现在已经把近似车号的车都找来了，有18UA81号、18UA10号、10AU81号和18AU01号，共四辆车.小王环顾了所有的车号，终于从这四辆车中找出了那辆肇事车.

请问他是如何判断的呢？

参考答案：小王想，见证人提供的虽然是空号，但肇事汽车必定与此车号有联系.经过分析，他判定是10AU81号车肇的事.理由是见证人从自己汽车的后视镜中看到并记下的车号恰好是相反的，左右位置颠倒了.

棋子该怎样放

围棋是一种智力游戏(如图13-1-13)，起源于中国.围棋的规则十分简单，却拥有十分广阔的落子空间.使得围棋变化多端，比其他棋类复杂深奥，这就是围棋的魅力所在.下围棋可增强一个人的计算能力、创造能力、思维能力、判断能力，对人脑的智力开发很有帮助.

如图13-1-14是围棋棋盘的一部分，含有7×7＝49个小方格.请你放入一些棋子(每个方格中放一个或不放)，使得棋盘的每行、每列中都只含3枚棋子(先试着做一下，看看能找到几种放法).

图13-1-13　　　　　　 图13-1-14　

也许你花了不少时间才把棋子放好，但仔细想一想就会发现，既然要求每行、每列中都只含有3枚棋子，我们就可以以棋盘的对角线为对称轴，来尽可能对称地放棋子，这样只要第1行中只含3枚棋子，根据棋子关于对角线AC和BD对称可知，棋盘的第1列、第7行和第7列都只含3枚棋子，因此前10枚棋子可按图13-1-14中棋子位置的编码顺序来排列.为了满足第2行也含3枚棋子，我们不妨将第11、12枚棋子如图13-1-14摆放，再根据对称性，第13、14、15、16、17、18枚棋子马上可以放好，这样21枚棋子可以很快地摆放完.注意，最后补上第19、20、21枚棋子，整个棋盘关于对角线AC对称，但并不关于对角线BD对称.