初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题精品课后作业题

13.4　课题学习　最短路径问题

典型例题

题型一　两点在一条直线异侧时，求最短路径

例1　如图13-4-1所示，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.

解：如图13-4-2所示，连接AB，则线段AB与直线l的交点P就是所求.(根据：两点之间线段最短)

图13-4-1　　　　　　　图13-4-2

题型二　两点在一条直线同侧时，求最短路径

例2　(贵州黔南中考)如图13-4-3，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.

图13-4-3

在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是(　　)

A.转化思想

B.三角形的两边之和大于第三边

C.两点之间，线段最短

D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

解析：∵ 点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，

∴ CB＝CB′.

又∵ AB′交l于点C，且两条直线相交只有一个交点，

∴ CB′+CA最短，即CA+CB的值最小.

将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理：两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边即可.　　

答案：D

例3　如图13-4-4所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短.

图13-4-4　　　　　    　 图13-4-5

解：如图13-4-5所示，作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点.

例4　如图13-4-6所示，河的同侧有A，B两个村庄，现要把A村庄的产品运往B村庄，规定要走a千米的河岸路，且使所走路线最短，问河边码头应建在何处？

图13-4-6　　　　　图13-4-7

解：如图13-4-7所示.

作法：(1)过点A作AE∥l，在AE上截取AA′＝a；

(2)作点B关于l的对称点B′，连接A′B′交l于点N；

(3)过点A作AM∥A′B′，交l于点M，则点M，N即为所求.

题型三　一点在两相交直线内部

例5　如图13-4-8所示，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，与点A组成三角形，使三角形周长最小.

图13-4-8　　　　　图13-4-9

解：如图13-4-9所示，分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM，ON于点B，C，则点B，C即为所求.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

拓展资料

多样的最短路径问题

众所周知，“平面内两点的所有连线中，线段最短”，人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题，最短路线问题通常出现在初中数学中.对于数学中的最短路线问题可以概括为两类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图.

Ⅰ.求三点之间距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案

例1　为改善工业区市民的吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B，C供水站供水.已知A，B，C之间的距离相等，为了节约成本，降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图13-4-10中用实线画出你所设计方案的路线图.

解析：根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线

及设计图.

(1)可设计AB+AC路径；

(2)可设计AD+BD+CD路径；

(3)可设计AE+EB+EC(E为△ABC的重心)路径.

通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为(3).

Ⅱ.求一点，使它与其余两点之和最小的设计方案

例2　为了改善农民生活水平，提高生产力，如图13-4-11所示，A，B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一浇灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得浇灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图.

解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而将求两条线段

之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题.

Ⅲ.在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路径

例3　如图13-4-12所示，在圆柱形木桶外，有一只小虫子要从桶外的A点爬到与它相对的桶内的B点.木桶的厚度不计，则小虫爬行最短路线应该怎么画？

图13-4-12　　　　　图13-4-13

解析：把圆柱的半个侧面展开如图13-4-13所示，作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点E，连接BE，则最短的路线就是沿AE→EB爬行.

Ⅳ.在长方体(正方体)中，求最短路径

例4　如图13-4-14所示，在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则最短路程为多少？

图13-4-14

解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：

(1)将右表面展开与下表面在同一平面内，可得其路程为s1＝；

(2)将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为s2＝；

(3)将前表面展开与右表面在同一平面内，可得其路程为s3＝.

然后比较s1，s2，s3的大小，即可得到最短路程.