数学八年级上册15.3 分式方程精品同步达标检测题

这是一份数学八年级上册15.3 分式方程精品同步达标检测题，共15页。试卷主要包含了分式方程在调配问题中的应用等内容，欢迎下载使用。

15.3　分式方程
典型例题
题型一　分式方程的识别
例1　下列关于x的方程中：x+＝2，＝，＝4，x-2＝0，＝，，4x-5＝0，＝x(a，b为非0常数)，哪些是整式方程，哪些是分式方程？
分析：利用整式方程与分式方程的定义判断即可.
解：方程x+＝2，，＝4，是分式方程.
方程x-2＝0，，4x-5＝0，＝x(a，b为非0常数)是整式方程.
点拨：要判断一个方程是否为分式方程，关键看分母中是否含有未知数.
例2　下列关于x的方程中，属于分式方程的是(　　)
A.-3＝
B.＝3-x(a≠0，a为常数)
C. (a≠0，b≠0，a，b为常数)
D.＝1
解析：根据分式方程的定义来判断.A.方程中分母不含未知数，故不是分式方程；B.方程中分母含字母a，但a不是未知数，故该方程也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程；D.方程中分母含未知数x，是分式方程.　　
答案：D
题型二　分式方程的解
例3　方程+3＝0的解为(　　)
A.2 B.0 C. D.
解析：将各选项中的数值代入分式方程，看方程两边是否相等，其中，能使方程两边相等的x的值才是方程的解.　　
答案：C
例4　(湖南株洲中考)关于x的分式方程＝0的解为x＝4，则常数a的值为(　　)
A.a＝1 B.a＝2 C.a＝4 D.a＝10
解析：把x＝4代入分式方程，得到关于a的分式方程，即＝0，解得a＝10，经检验a＝10是方程的解.　　
答案：D
题型三　解分式方程
例5　方程的解是(　　)
A.x＝-1 B.x＝5
C.x＝7 D.x＝9
解析：原方程可化为2(x-2)＝x+5，
2x-4＝x+5，x＝9.
经检验x＝9是原方程的解.
答案：D
例6　(2019·湖南益阳中考)解分式方程＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是(　　)
A.x+2＝3 B.x-2＝3
C.x-2＝3(2x-1) D.x+2＝3(2x-1)
解析：方程两边同时乘以2x-1，得x-2＝3(2x-1).
答案：C
例7　(湖北十堰中考)用换元法解方程＝3时，设＝y，则原方程可化为(　　)
A.y--3＝0 B.y--3＝0
C.y-+3＝0 D.y-+3＝0
解析：设＝y，
则＝3可转化为y-＝3，
即y--3＝0.　　
答案：B
例8　解下列分式方程：
(1)(2020·江苏苏州中考)解方程：；
(2)(2020·陕西中考)解方式方程：;
(3) ；
(4) ＝4.
分析：解分式方程的关键是去分母，因此首先找出各分式的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程，从而求解.第(4)题根据方程的特点可有两种解法.
解：(1)方程两边同乘(x-1)，得x+(x-1)＝2.
解这个一元一次方程，得x＝.
经检验，x＝是原方程的解.
(2)去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得-5x＝-4.
系数化为1，得x＝
检验：当x＝时，x(x－2)≠0，
所以x＝是原分式方程的解．
(3)方程两边同乘(x-1)(x+2)，
得x(x+2)-(x-1)(x+2)＝3，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x-1)(x+2)＝0，
所以x＝1不是原方程的解，原方程无解.
(4)方法1：＝4，
方程两边同乘2x，得600-480＝4×2x，
解得x＝15.
检验：将x＝15代入原方程，左边＝4＝右边，
所以x＝15是原方程的解.
方法2：＝4，
化简得＝1，
方程两边同乘x，得75-60＝x，即x＝15.
检验：将x＝15代入原方程，左边＝右边，
所以x＝15是原方程的解.
点拨：将解得的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验，叫直接检验法.
例9　解方程：

分析：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程.
解：原方程整理得
，
方程两边同乘(x+3)(x+5)(x-5)，
得6(x+3)＝3(x-5)+5(x+5)，
整理得2x＝8，
解得x＝4.
检验：当x＝4时，(x+3)(x+5)(x-5)≠0.
所以x＝4是原方程的根.
点拨：去分母是解分式方程的重要步骤，这样可能会产生增根，所以必须验根.
例10　解方程：.
解：方法1：方程两边分别通分，得
，
即，
方程两边同时乘(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)，得
(2x+11)(x+5)(x+6)＝(2x+11)(x+4)(x+7)，
整理得(2x+11)[(x+5)(x+6)-(x+4)(x+7)]＝0，
即2(2x+11)＝0，
∴ 2x+11＝0，∴ x＝.
检验：当x＝时，(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)≠0，
所以x＝是原方程的根.
方法2：移项，得，
两边同时通分，
得，
即.
∵ 等式两边分式的分子相同、值相等，∴ 两个分式的分母相等.
∴ (x+4)(x+5)＝(x+6)(x+7)，
x2+9x+20＝x2+13x+42，
x2+9x+20-x2-13x-42＝0，
-4x-22＝0，
∴ x＝.
检验：当x＝时，方程的左边＝右边，
∴ x＝是原方程的根.
点拨：本题中将方程两边的分式分别通分，可化成分子相同的特殊方程.
例11　解关于x的方程 (a≠b，且a≠0，b≠0).
分析：此题已说明x是未知数，a，b均为已知数，先找出各分式的最简公分母，然后去分母，化成整式方程，解这个整式方程并检验.
解：方程两边同时乘abx，得bx-a2b＝ax-ab2.
整理，得(a-b)x＝-ab(a-b).
因为a≠b，所以a-b≠0.
方程两边同时除以a-b，得x＝-ab.
检验：当x＝-ab时，最简公分母abx＝-a2b2≠0，所以x＝-ab是原分式方程的解.
点拨：解含有字母系数的分式方程和解数字系数的分式方程一样，均是通过去分母将分式方程转化为整式方程，同时还要检验.
题型四　利用分式方程解的情况来确定所含字母的取值或取值范围
例12　(2020·成都中考)已知x＝2是分式方程的解，那么实数的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析：把x＝2代入分式方程，得，解得k＝4.
答案：B
例13　(2020·黑龙江齐齐哈尔中考)若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为(　　)
A.m<-10 B.m≤-10
C.m≥-10且m≠-6 D.m>-10且m≠-6
解析：，方程两边同乘(x-2)，得3x＝-m+5(x-2)，解得x＝.
∵ 分式方程的解为正数，
∴ 即解得m>-10且m≠-6.
答案：D
例14　(2020·湖北荆门中考)已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为( )
A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定
解析：由关于x的分式方程，解得x=.
∵，∴，解得-7＜k＜14，
∴ 整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13.
又∵分式方程中x≠2且x≠-3，
∴k≠35且k≠0，
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴ 符合条件的所有k值的乘积为正数.
答案：A
例15　(2019·四川巴中中考)若关于x的分式方程＝2m有增根，则m的值为　　　　.
解析：解原分式方程，去分母得，x-2m＝2m(x-2)，若原分式方程有增根，则增根为x＝2，将其代入这个一元一次方程，得2-2m＝2m(2-2)，解得m＝1.
答案：1
点拨：求解此类问题一般先求出增根，然后把增根代入去分母后的整式方程中.
例16　(四川眉山中考)已知关于x的分式方程-2＝有一个正数解，则k的取值范围为　　　　.
解析：去分母，得x-2(x-3)＝k，
解得x＝6-k.
∵ 关于x的方程有一个正数解，
∴ x＝6-k>0，∴ k<6.
又∵ x-3≠0，∴ x≠3，
即6-k≠3，∴ k≠3.
∴ k的取值范围是k<6且k≠3.
答案：k<6且k≠3
例17　若关于x的方程无解，求m的值.
分析：若原分式方程无解，则有两种情况：一是求出的x的值是分式方程化成的整式方程的解，但这个解使最简公分母的值为0；二是所化成的整式方程无解，所以原分式方程无解.
解：将原分式方程去分母，化为整式方程，
得x-2+m(x-1)＝2m+2，
则(m+1)x＝3m+4，　①
(1)当m+1≠0，即m≠-1时，有x＝.
∵ 原方程无解，∴ (x-1)(x-2)＝0，
即x＝1或x＝2.
∴ ＝1或＝2，
解得m＝或m＝-2.
∴ 当m＝或-2时，原方程无解.
(2)当m+1＝0，3m+4≠0，即m＝-1时，方程①无解，则原方程也无解.
综上所述，当m＝-1或或-2时，原方程无解.
例18　若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值.
解：∵ 原方程有增根，
∴ 这个增根必定使最简公分母(x+3)(x-3)＝0，
∴ x＝3或x＝-3.
把原方程两边同乘(x+3)(x-3)，
得m+2(x-3)＝x+3，
当x＝3时，m+2×(3-3)＝3+3，∴ m＝6.
当x＝-3时，m+2×(-3-3)＝-3+3，∴ m＝12.
∴ 方程的增根为x＝3或x＝-3.
当产生增根x＝3时，m＝6；
当产生增根x＝-3时，m＝12.

题型五　分式方程的实际应用
1.分式方程在工程问题中的应用
例19　甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天.求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件.
分析：设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解.
解：设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意，得+5，
化简得600×1.5＝600+5×1.5x，
解得x＝40，则1.5x＝60.
经检验，x＝40是方程的解且符合实际意义.
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.
例20　某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
分析：根据现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相等建立方程.
解：设原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产(x+50)台，根据题意，得＝，解得x＝150，经检验，x＝150是原分式方程的解且符合题意.
答：该工厂原来平均每天生产150台机器.
例21　某灯具厂计划加工9 000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.
解：设该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，
由题意得，＝5，解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意.
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套.
例22　(2020·沈阳中考)某工程队准备修建一条长3 000 m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
分析：求的是工效，工作总量是3 000 m，则是根据工作时间来列等量关系，关键描述语是提前2天完成，等量关系为：原计划时间-实际用时＝2，根据等量关系列出方程.
解：设原计划每天修建盲道x m，
则
解得x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意.
答：原计划每天修建盲道300米.
例23　(2019·江苏常州中考)甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？
分析：本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(30-x)个零件，
根据题意，得，解得x＝18.
经检验，x＝18是原方程的解且符合题意，则30-x＝12.
答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件.
例24　某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000 m的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20 m，且甲工程队铺设350 m所用的天数与乙工程队铺设250 m所用的天数相同.
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么给两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你设计出来.
解：(1)设甲工程队每天能铺设x m，则乙工程队每天能铺设(x-20)m，
根据题意，得，解得x＝70.
经检验x＝70是原方程的解且符合题意.
70-20＝50(m).
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70 m和50 m.
(2)设分配给甲工程队y m，则分配给乙工程队(1 000-y)m，
由题意得≤10，≤10，
解得500≤y≤700，
所以分配方案有3种.
方案一：分配给甲工程队500 m，分配给乙工程队500 m；
方案二：分配给甲工程队600 m，分配给乙工程队400 m；
方案三：分配给甲工程队700 m，分配给乙工程队300 m.
点拨：在解题过程中，注意“以百米为单位”这一条件的限制.
例25　某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目，公司调查发现：乙工程队单独完成工程的时间是甲工程队的2倍，甲、乙两队合作完成工程需要20天.甲工程队每天的工作费用为1 000元，乙工程队每天的工作费用为550元，根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队(只选择一个工程队)，应付给工程队的费用为多少元？
分析：本题应先求出他们完成工程各自所用的天数，再求出他们各自的费用，然后比较选择.
解：设甲工程队单独完成需要x天，则乙工程队单独完成需要2x天，
根据题意，得.
解得x＝30.
经检验x＝30是原方程的解且符合题意.
当x＝30时，2x＝60.
∵ 若选择甲工程队，则应付甲工程队30×1 000＝30 000(元)，
若选择乙工程队，则应付乙工程队30×2×550＝33 000(元)，
∴ 公司应选择甲工程队，应付的工程队费用为30 000元.
点拨：(1)工程问题类的应用题，常常利用工作效率、工作天数与工作总量之间的关系来列方程.(2)在工程问题中，常用1表示工作总量，且工作总量＝工作效率×工作天数.
例26　有三堆质量相等的煤，用小卡车单独运第一堆煤所用的天数是用大卡车单独运第二堆煤所用天数的1.5倍，大、小卡车同时运第三堆煤，6天运了一半，问大、小卡车单独运一堆煤各需多少天？
分析：根据“大、小卡车同时运第三堆煤，6天运了一半”列方程求解.
解：设大卡车单独运一堆煤需x天，则小卡车单独运一堆煤需1.5x天.
由题意得，
解得x＝20，
经检验x＝20是原方程的根且符合题意，
∴ 小卡车单独运一堆煤需1.5x＝1.5×20＝30(天).
答：单独运一堆煤，小卡车需要30天，大卡车需要20天.
2.分式方程在商品销售问题中的应用
例27　(2020·西宁中考)开学在即，由于新冠肺炎疫情学校决定共用6 000元分两次购进口罩2 200个免费发放给学生，若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是　　　　元.
解析：设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.2x元，
依题意得，，
解得x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意.
答案：2.5
例28　(2020·浙江温州中考节选)某经销商3月份用18 000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39 000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元.4月份进了这批T恤衫多少件？
分析：(1)根据4月份用39 000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得4月份进了这批T恤衫的件数.
解：(1)设3月份进了x件T恤衫，则4月份进了2x件T恤衫，根据题意得，
解得x＝150.
经检验，x＝150是所列方程的根，且符合题意.
∴ 2x＝300.
答：4月份进了300件T恤衫.
例29　某超市用50 000元从外地购进一批“T恤衫”，由于销量好，超市又紧急调拨18.6万元购进比上一次多2倍的“T恤衫”，但第二次进价每件比第一次多12元，商场统一按每件80元出售，最后的400件按6.5折处理，并很快售完.求商场在这笔生意上赚多少钱.
分析：等量关系是“第二次每件的进价-第一次每件的进价＝12元”.
解：设第一次购进“T恤衫”x件，则第二次购进“T恤衫”(x+2x)件.
依题意列方程得＝12，
解得x＝1 000，
经检验x＝1 000是原方程的根且符合题意.
∴ 商场在这笔生意上赚了
(1 000×4-400)×80+400×80×0.65-(186 000+ 50 000)＝72 800(元).
答：商场在这笔生意上赚了72 800元.
点拨：在盈亏问题中，利润＝销售额-成本，注意利用该关系建立方程.
例30　上个月某超市购进了两批相同的水果，第一批用了2 000元，第二批用了5 500元，第二批购进的水果的质量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元.
(1)两批水果一共购进了多少千克？
(2)在这两批水果总质量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少应定为每千克多少元？
分析：本题是分式方程与不等式的综合应用，重点考查利用分式方程和不等式解决实际问题的能力.
解：(1)设第一批购进水果x kg，则第二批购进水果2.5x kg，
根据题意，得＝1，
解得x＝200.
经检验x＝200是原方程的解且符合题意.
x+2.5x＝200+2.5×200＝700(kg).
答：两批水果一共购进了700 kg.
(2)设售价为每千克a元，则
≥0.26.
所以630a≥7 500×1.26，所以a≥15.
所以售价至少应定为每千克15元.
点拨：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答此类应用类题目，一定要先仔细审题，有时需要读上几遍才能找到解题需要的等量关系或不等关系.
3.分式方程中的和差倍分问题
例31　(2020·广东中考节选)某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
解：设每个A类摊位占地面积为平方米，则B类占地面积为平方米
由题意得，解得，
经检验为分式方程的解，且符合题意. x-2＝3，
∴每个A类摊位占地面积为5平方米，B类占地面积为3平方米
例32　(2020·江苏连云港中考节选)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100 000元，乙公司共捐款140 000元.如图15-3-1是甲、乙两公司员工的一段对话：

图15-3-1
甲、乙两公司各有多少人？
分析：设乙公司有x人，则甲公司有(x-30)人，根据乙公司人均捐款数＝×甲公司人均捐款数，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.
解：设乙公司有x人，则甲公司有(x-30)人，由题意得
，解得x＝180.
经检验，x＝180是原方程的解，且符合题意.∴ x-30＝150.
答：甲公司有150人，乙公司有180人.

4.分式方程在解决数字问题中的应用
例33　一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是.求这个两位数.
分析：设原两位数的十位数字为x，则这个两位数表示为10x+4，对调后的两位数表示为40+x，根据题意可列出方程.
解：设原两位数的十位上的数字为x.
由题意得，
解得x＝2.
经检验x＝2是原方程的解且符合题意.
所以这个两位数是24.
答：这个两位数是24.
例34　有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数除以个位数字时，商是8，余数是2，求这个两位数.
分析：本题利用的等量关系是(被除数-余数)÷除数＝商.
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1.
由题意得＝8，
解得x＝3.
经检验x＝3是原方程的根且符合题意.
∴ 个位上的数字为x+1＝3+1＝4，
∴ 这个两位数是3×10+4＝34.
答：这个两位数是34.
点拨：关于求数的问题，不能直接设出所要求的数，只有分别设出各个数位上的数字，才能利用题中的等量关系列方程求解，否则，难以找到列出方程的等量关系.注意作为各数位上的数，应该是小于10的整数，且最高位上的数字不能为0.
5.分式方程在顺逆问题中的应用
例35　(2019·四川绵阳中考)一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同，则江水的流速为
　　　　km/h.
解析：设江水的流速为x km/h，根据题意得，
，解得x＝10.
经检验x＝10是原方程的根且符合题意.　　
答案：10
6.分式方程在行程问题中的应用
例36　(2020·江苏泰州中考)近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6 min，求走路线B的平均速度.
分析：设走路线A的平均速度为x km/h，则走路线B的平均速度为(1+50%)x km/h，根据“时间＝路程+速度”结合走路线B比走路线A少用6 min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.
解：设走路线A的平均速度为x km/h，则走路线B的平均速度为(1+50%)x km/h，
依题意，得，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴ (1+50%)x＝75.
答：走路线B的平均速度为75 km/h.
例37　一列火车从车站开出，预计行程600 km，当它开出3 h后，因出现特殊情况，休整耽误了30 min，后来把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度.
分析：可设出原来的速度为x km/h，则提速后速度为1.2x km/h，再根据“以原来速度行600 km需要的时间＝提速后行(600-3x)km的时间+3.5 h”列方程求解，注意检验.
解：设这列火车原来的速度为x km/h，则提速后的速度为1.2x km/h.
依题意，列方程得+3.5，
解得x＝100，
经检验x＝100是原方程的根且符合题意.
答：火车原来的速度为100 km/h.
点拨：根据题意设未知数、列方程、解答，要注意单位必须一致.
例38　(2019·四川宜宾中考)甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物.已知A、C两城相距450千米，B、C两城相距440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城.求两车的速度.
分析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为(x+10)千米/小时，路程已知，且甲车比乙车早半小时到达C城，以时间为等量关系列方程求解.
解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为(x+10)千米/小时.
根据题意，得，
解得x＝80或x＝-110(舍去)，所以x＝80.
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意.
当x＝80时，x+10＝90.
答：甲车的速度为90千米/小时，乙车的速度为80千米/小时.
7.分式方程在调配问题中的应用
例39　(山东泰安中考)某加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)？设安排x人加工A零件，由题意列方程得(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设安排x人加工A零件，由题意列方程得.　　
答案：A
8.分式方程在合格率(达标率)问题中的应用
例40　某部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，测得甲厂有合格的产品48件，乙厂有合格的产品45件，甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%，问甲厂的合格率是多少？
分析：本题可设出从甲、乙两厂抽取的产品件数，依据“甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%”列方程.
解：设某部门在甲、乙两厂各抽取了x件进行检查，
则＝5%.
解方程得x＝60.
经检验x＝60是原方程的根且符合题意.
所以甲厂的合格率是＝80%.
答：甲厂的合格率是80%.
例41　某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生人数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率.
分析：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为(x+6%)，根据“甲、乙两班的学生人数相同”列出方程并解答.
解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为(x+6%)，
依题意得，解得x＝90%，
经检验x＝90%是所列方程的根，且符合题意.
答：乙班的达标率为90%.
拓展资料
圆周率
我国古代伟大的数学成就之一，是南北朝时期的祖冲之对圆周率π的计算.他不但求得3.141 592 6<π<3.141 592 7，而且建议用一个分数≈3.141 592 92…近似地代替π，并把它叫做密率.同时，他把π的另一个近似值≈3.14叫约率.
密率这个分数值的发现，比欧洲人早了一千多年.得出圆周率3.141 6，需要算到圆内接正1 536边形，得出3.141 592 6<π<3.141 592 7，要算到圆内接正24 576边形，这个工作量是非常大的，至少要对9位数字反复进行130次以上加、减、乘、除、乘方和开方的运算，特别是开方更为麻烦.何况当时只能用叫做“算筹”的小竹棍去进行计算.祖冲之计算圆周率付出多少劳动，需要多大的耐心和毅力就可想而知了.十六世纪德国数学家鲁道夫，几乎花费了毕生的精力，把圆周率算到了小数点后面35位.他嘱咐他的孩子，在他死后，要把计算的圆周率刻在他的墓碑上.
不等式与连分数
用分数表示π并不难.因为3.141 59就可以写成.但是，又要分母不大，又要准确，可就难了.
你别小看，在所有分母不超过7的分数中，没有比它更接近π的了.甚至可以这样说：在所有分母不超过55的分数中，没有比更接近π的分数了.
证明起来并不难.因为3.141 59<π<<3.142 86，如果有个分数比更接近π，那么
≤+<2×<2×0.001 3＝0.002 6.
因而p>>54.9.
同样的办法可以证明，在分母不超过16 000的分数中，没有比更接近π的分数了.
惊人的计算
牧羊犬和羊
某牧场养了一大群羊，有一只牧羊犬协助看管，它们平时都相安无事，偶尔玩玩“你跑我追”的游戏.通常，牧羊犬跑两步的距离和羊跑三步的距离一样，而且牧羊犬跑三步所用的时间和羊跑四步的时间一样，一只羊想逃出牧场，牧羊犬是否可以追上呢？如果牧羊犬的速率比羊的大，在一段时间后，牧羊犬就可以追上羊了.那么牧场里的羊可以顺利逃出吗？我们来计算一下吧！
牧羊犬跑两步的距离和羊跑三步的距离一样，我们假定牧羊犬一步的距离是3x米，那么羊一步的距离是2x米，而牧羊犬跑三步所用的时间和羊跑四步的时间一样，所以若牧羊犬跑一步花4t分钟，那么羊跑一步花3t分钟.在同一时间内，如果牧羊犬可跑y米，跑步需花×4t＝分钟.在这段时间中，羊跑了÷3t＝步，跑了×2x＝米.可见牧羊犬的速率比羊的大，所以一段时间后，牧羊犬可以追上羊，可怜的羊是跑不掉的.难道就没有办法了吗？当然，只要羊群练腿劲，还是有机会逃跑的.
汽车的平均速度
一辆汽车从A城开往B城，速度是60 km/h，返回时速度是40 km/h，这辆汽车的平均速度是多少？
在解决这个问题时，小雪认为求的是40与60的平均数，也就是＝50.而燕燕却认为这样做是不对的.她的意思是：如果这辆汽车去时和返回时所用的时间相同，这个答案是正确的，但是很明显，在路程相同的情况下，速度不同，时间当然不同，所以上面的答案是错误的.她认为应该这样做：
解：设这辆汽车的平均速度是x km/h，A城到B城的距离是a千米，根据题意得+.由于a的值不为0，因而方程的两边都除以a得，解得x＝48.
通过燕燕的详细讲解，小雪终于明白了：像这样的速度问题不能简单处理，应该认真分析数量关系，根据数量关系建立方程，才能解决这样的问题.