2023年河南省南阳市第二中学校等两校中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年河南省南阳市第二中学校等两校中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳二中等两校中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
2．（3分）时至今日，“双减”政策依然是一个热门话题．将“减负提质培优”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，将它折成正方体后，与“减”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A．提 B．质 C．培 D．优
3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB．若∠DOE＝2∠AOC，则∠BOD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．60° D．75°
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）某校规定学生的学期学业成绩由平时成绩和期中成绩、期末成绩三部分组成，依次按照2：3：5的比例确定学期学业成绩．若小明的平时成绩为90分，期中成绩为80分，期末成绩为94分，则小明的学期学业成绩为（　　）分．
A．86 B．88 C．89 D．90
6．（3分）若关于x的方程﹣x2+2x+a＝0无实数根，那么a的值可以为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5．①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交AB，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线BQ交AD于点P，交CD的延长线于点E，则AB：DE＝（　　）

A．2：1 B．2：5 C．4：3 D．3：2
8．（3分）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A．6×107cm2 B．0.6×106cm2 C．6×106cm2 D．60×106cm2
9．（3分）如图，菱形OACB的边OB在x轴上，点A的坐标为（1， ），若菱形OACB绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点C的对应点C60的坐标为（　　）

A．（﹣，﹣3） B．（﹣3，﹣） C．（﹣，2） D．（2，﹣）
10．（3分）在钝角三角形ABC中（如图1），AB＝AC，点P为边AB上一动点，连接PC，在直线CP的上方构造等腰直角三角形CPQ，使CP＝PQ，连接BQ，设BP的长为x，△BPQ的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（　　）


A．20 B．10 C．8 D．4
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第一，三象限，请写出一个符合条件的函数表达式：　 　．
12．（3分）不等式组的解集是　 　．
13．（3分）小明将四张正面分别标有数字﹣3，﹣2，0，1的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字都是方程x2+2x﹣3＝0的解的概率是 　 　．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2AB＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，点C的对应点为点D．若DE∥BC，则图中阴影部分的面积为 　 　．

15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，把△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，点A的对应点为A′，若△AA′C为直角三角形，连接AB'，则线段AB'的长为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）20230+﹣（）﹣1；
（2）÷．
17．（9分）某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从4个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：

（1）参加此次问卷调查的学生人数是 　 　；
（2）在扇形统计图中，选择“作品1”的学生所对应扇形的圆心角的度数是 　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级学生共有200名，请估计七年级学生中选择“作品3”的人数．

18．（9分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接PD，求△CPD的面积；
（3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．

19．（9分）悟颖塔位于河南省汝南县，楼阁式塔身为实体，塔身下部为石砌须弥座．某数学兴趣小组运用“解直角三角形”的知识来计算悟颖塔的高度AB，先将无人机垂直上升至60m高的点P处，在点P处测得悟颖塔顶端A的俯角为25°，再将无人机沿水平方向继续飞行12m到达点Q，在点Q处测得塔底端B的俯角为45°，求悟颖塔的高度AB．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.41，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

20．（9分）王林在步行街摆摊出售A，B两款摆件．已知B款摆件的进价比A款摆件多10元，150元购进的A款摆件与200元购进的B款摆件数量相同．
（1）求A，B两款摆件每个的进价；
（2）王林计划用2800元全部购进A，B两款摆件，且A款摆件的购进数量不超过40件．已知每个A款摆件的售价为45元，每个B款摆件的售价为50元．若王林全部售出这两款摆件可获利w元，则如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？
21．（9分）如图是从独轮车中抽象出来的几何模型，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，∠ACB＝30°，求线段OE的长．

22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：△AOC∽△COB；
（3）若点D为抛物线上位于x轴下方一点，且∠ABD＝2∠BCO，求点D的坐标．

23．（10分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情景：在矩形ABCD中，点E为AD边上一动点，点F为BC边上一点，连接EF，将四边形CDEF沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，设∠EFC＝α．
（1）如图1，若∠EFC＝75°，AD＝AB，点F为BC的中点，延长D'C'交AB于点P．则PC'与PB的数量关系是 　 　，写出图中一个30°的角：　 　；
（2）如图2，若点F为BC的中点，AD＝2AB，45°＜α＜90°，延长D'C'交AB于点P．求PC'与PB的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出的值．



2023年河南省南阳二中等两校中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：A．
2．（3分）时至今日，“双减”政策依然是一个热门话题．将“减负提质培优”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，将它折成正方体后，与“减”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A．提 B．质 C．培 D．优
【解答】解：与“减”字所在面相对的面上的汉字是优，
故选：D．
3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB．若∠DOE＝2∠AOC，则∠BOD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．60° D．75°
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
即∠BOD+∠DOE＝90°，
∵∠DOE＝2∠AOC，
∴∠DOE+2∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝30°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝30°．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【解答】解：A．＝2，选项A不符合题意；
B．不是同类二次根式，不能合并，选项B不符合题意；
C．（﹣a）2•a3＝a2•a3＝a5，选项C符合题意；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）某校规定学生的学期学业成绩由平时成绩和期中成绩、期末成绩三部分组成，依次按照2：3：5的比例确定学期学业成绩．若小明的平时成绩为90分，期中成绩为80分，期末成绩为94分，则小明的学期学业成绩为（　　）分．
A．86 B．88 C．89 D．90
【解答】解：小明的学期学业成绩为：＝89（分）．
故选：C．
6．（3分）若关于x的方程﹣x2+2x+a＝0无实数根，那么a的值可以为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：∵关于x的方程﹣x2+2x+a＝0没有实数根，
∴Δ＜0，即22﹣4×（﹣1）×a＜0，
解得a＜﹣1．
观察选项，a的值可能是﹣2．
故选：A．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5．①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交AB，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线BQ交AD于点P，交CD的延长线于点E，则AB：DE＝（　　）

A．2：1 B．2：5 C．4：3 D．3：2
【解答】解：由作法得BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠APB＝∠CBP，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝3，
∵AD＝5，
∴PD＝AD﹣AP＝2，
∵AB∥DE，
∴△ABP∽△DEP，
∴AB：DE＝AP：DP＝3：2．
故选：D．
8．（3分）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A．6×107cm2 B．0.6×106cm2 C．6×106cm2 D．60×106cm2
【解答】解：200cm2×30万＝2×102×3×105cm2＝6×107cm2．
故选：A．
9．（3分）如图，菱形OACB的边OB在x轴上，点A的坐标为（1， ），若菱形OACB绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点C的对应点C60的坐标为（　　）

A．（﹣，﹣3） B．（﹣3，﹣） C．（﹣，2） D．（2，﹣）
【解答】解：∵点A的坐标为（1， ），
∴OA＝＝2，
∵四边形AOBC是菱形，
∴AC＝OA＝OB＝2，AC∥OB，
∴C（3，），
∵每秒旋转45°，则第60秒时，得
45°×60＝2700°，
2700°÷360°＝7.5周，
∴OC旋转了7周半，
∴点C在第三象限，B（﹣3，﹣），
故选：B．
10．（3分）在钝角三角形ABC中（如图1），AB＝AC，点P为边AB上一动点，连接PC，在直线CP的上方构造等腰直角三角形CPQ，使CP＝PQ，连接BQ，设BP的长为x，△BPQ的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（　　）


A．20 B．10 C．8 D．4
【解答】解：由图2可得，当x＝2，y＝2，点P运动到点A的位置，
过点Q、C分别作BA的垂线，垂足为D、E，如图：

∵AB＝AC＝PQ＝2，S△BPQ＝BP•DQ＝2，三角形CPQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PC，即AC＝AQ＝2，
∴QD＝＝2，
∴AD＝＝＝4，
∵∠QPC＝90°，
∴∠CAE＝∠AQD，
∴△ACE≌△QAD（AAS），
∴CE＝AD＝4，
∴S△ABC＝AB•EC＝×2×4＝4．
故选：D．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第一，三象限，请写出一个符合条件的函数表达式：　y＝x（答案不唯一）　．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴函数表达式为y＝x．
故答案为：y＝x（答案不唯一）．
12．（3分）不等式组的解集是　﹣2＜x＜1　．
【解答】解：，
解①得x＞﹣2，
解②得x＜1，
则不等式组的解集是：﹣2＜x＜1．
故答案是：﹣2＜x＜1．
13．（3分）小明将四张正面分别标有数字﹣3，﹣2，0，1的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字都是方程x2+2x﹣3＝0的解的概率是 　　．
【解答】解：x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
如图所示：
，
由树状图可得一共有12种可能，符合题意的有2种情况，
故所抽卡片的数字都是方程x2+2x﹣3＝0的解的概率是：＝．
故答案为：．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2AB＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，点C的对应点为点D．若DE∥BC，则图中阴影部分的面积为 　﹣　．

【解答】解：如图，作PM⊥BC于点M，

∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2AB＝4，
∴∠C＝30°，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠DBC＝∠D＝30°，
∴PB＝PC，
∴BM＝CM＝2，
∴PM＝＝，
∴阴影部分的面积为﹣×4×＝﹣．
故答案为：﹣．
15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，把△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，点A的对应点为A′，若△AA′C为直角三角形，连接AB'，则线段AB'的长为 　3或　．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝＝，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，AB＝5，
∴BC2+（2BC）2＝52，
∴BC＝，
∴AC＝2，
由旋转的性质得AC＝A′C＝2，BC＝B′C＝，∠A′CB′＝90°
只有∠ACA′＝90°，如图1，∴∠ACB′＝180°，
∴点A，C，B′共线，
∴AB'＝AC+B′C＝3．
如图2，同理可得AB′＝AC﹣B′C＝，
故答案为：3或．


三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）20230+﹣（）﹣1；
（2）÷．
【解答】解：（1）20230+﹣（）﹣1
＝1+2﹣3
＝0；
（2）÷
＝
＝．
17．（9分）某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从4个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：

（1）参加此次问卷调查的学生人数是 　50　；
（2）在扇形统计图中，选择“作品1”的学生所对应扇形的圆心角的度数是 　64.8°　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级学生共有200名，请估计七年级学生中选择“作品3”的人数．

【解答】解：（1）参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%＝50（人）；
故答案为：50；
（2）选择“作品1”的学生所对应扇形的圆心角的度数是：360°×＝64.8°．
故答案为：64.8°；
（3）“作品2”的人数为：50﹣9﹣18﹣7＝16（人），
补全条形统计图如图所示，

（4）200×＝72（人）．
答：估计七年级学生中选择“作品3”的人数为72人．
18．（9分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接PD，求△CPD的面积；
（3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．

【解答】解：（1）∵OP＝2OA＝6，OB＝2，
∴OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣2），
∵一次函数y1＝mx+n的图象过点A、B，
∴，
解得：，
∴一次函数表达式为，
∵一次函数的图象过点D（3，a），
∴＝﹣4，
∴D（3，﹣4），
将点D（3，﹣4）代入中得：，
解得：k＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵OP＝2OA＝6，
∴PA＝3，P（﹣6，0），
∵CP⊥x轴，
∴点C的横坐标为﹣6，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴＝2，
∴C（﹣6，2），
∴PC＝2，
∴S△CPD＝S△CPA+S△PAD＝＝＝9；
（3）当mx+n﹣＞0，即时，
也就是一次函数的值大于反比例函数的值，
观察图象可知，此时x＜﹣6或0＜x＜3．
19．（9分）悟颖塔位于河南省汝南县，楼阁式塔身为实体，塔身下部为石砌须弥座．某数学兴趣小组运用“解直角三角形”的知识来计算悟颖塔的高度AB，先将无人机垂直上升至60m高的点P处，在点P处测得悟颖塔顶端A的俯角为25°，再将无人机沿水平方向继续飞行12m到达点Q，在点Q处测得塔底端B的俯角为45°，求悟颖塔的高度AB．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.41，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

【解答】解：延长BA，交PQ的延长线于点C，
则∠ACQ＝90°，
由题意得，BC＝60m，PQ＝12m，
在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，
∴CQ＝BC＝60m，
∴PC＝PQ+QC＝12+60＝72（m），
在Rt△ACP中，tan∠APC＝tan25°＝≈0.47，
解得AC≈33.84，
∴AB＝BC﹣AC≈26.2m．
∴悟颖塔的高度AB约为26.2m．

20．（9分）王林在步行街摆摊出售A，B两款摆件．已知B款摆件的进价比A款摆件多10元，150元购进的A款摆件与200元购进的B款摆件数量相同．
（1）求A，B两款摆件每个的进价；
（2）王林计划用2800元全部购进A，B两款摆件，且A款摆件的购进数量不超过40件．已知每个A款摆件的售价为45元，每个B款摆件的售价为50元．若王林全部售出这两款摆件可获利w元，则如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设A款摆件每个的进价为a元，B款摆件每个的进价为（a+10）元，
由题意可得：，
解得a＝30，
经检验，a＝30 是原分式方程的解，
∴a+10＝40，
答：A款摆件每个的进价为30元，B款摆件每个的进价为40元；
（2）设购买A款摆件x件，则购买B款摆件件，
由题意可得，w＝（45﹣30）x+（50﹣40）×＝7.5x+700，
∴w随x的增大而增大，
∵A款摆件的购进数量不超过40件．
∴x≤40，
∴当x＝40时，w取得最大值，此时w＝1000，此时＝40，
答：当购买A款摆件40件，B款摆件40件时，能获得最大利润，最大利润是1000元．
21．（9分）如图是从独轮车中抽象出来的几何模型，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，∠ACB＝30°，求线段OE的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC．
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC＝AB，
∴BD＝CD＝6，
在Rt△ABD中，AD＝BD•tanB＝BD•tanC＝6×＝2，
根据勾股定理，得AB＝＝＝4．
∴OD＝AB＝2，AC＝AB＝4，
∵S△ADC＝AC•DE＝DC•AD，
∴×DE＝6×2．
解得DE＝3，
在Rt△ODE中，根据勾股定理，得
OE＝＝＝．

22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：△AOC∽△COB；
（3）若点D为抛物线上位于x轴下方一点，且∠ABD＝2∠BCO，求点D的坐标．

【解答】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）证明：在y＝﹣x2﹣x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∵A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴＝2＝，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB；
（3）解：设BD交y轴于F，在y轴上取点E，使CE＝BE，连接BE，作F关于x轴对称点F'，连接BF'交抛物线于D，如图：

设E（0，m），
∵B（1，0），C（0，2），BE＝CE，
∴1+m2＝（m﹣2）2，
解得m＝，
∴E（0，），OE＝，
∵BE＝CE，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴∠BEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠ECB，
∵∠ABD＝2∠BCO，
∴∠BEO＝∠ABD，
∵∠BOE＝90°＝∠FOB，
∴△BOE∽△FOB，
∴＝，即＝，
∴OF＝，
∴F（0，﹣），
由B（1，0），F（0，﹣）得直线BF解析式为y＝x﹣，
联立，解得或（与B重合，舍去），
∴D（﹣，﹣）．
23．（10分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情景：在矩形ABCD中，点E为AD边上一动点，点F为BC边上一点，连接EF，将四边形CDEF沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，设∠EFC＝α．
（1）如图1，若∠EFC＝75°，AD＝AB，点F为BC的中点，延长D'C'交AB于点P．则PC'与PB的数量关系是 　PC'＝PB　，写出图中一个30°的角：　∠BFC'　；
（2）如图2，若点F为BC的中点，AD＝2AB，45°＜α＜90°，延长D'C'交AB于点P．求PC'与PB的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出的值．


【解答】解：（1）连接PF，

∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD为矩形，AD＝AB，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵将正方形CDEF沿EF折叠，
∴FC＝FC'，∠C＝∠D'C'F＝90°，
∴∠PC'F＝90°，BF＝C'F，
又∵PF＝PF，
∴Rt△PBF≌Rt△PC'F（HL），
∴PB＝PC'，
∵∠EFC＝75°，将四边形CDEF沿EF折叠，
∴∠EFC＝∠EFC'＝75°，
∴∠BFC'＝180°﹣∠EFC﹣∠EFC'＝30°，
故答案为：PC'＝PB，∠BFC'；
（2）PC'＝PB．
理由：连接PF，

∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∵将矩形CDEF沿EF折叠，
∴FC＝FC'，∠C＝∠D'C'F＝90°，
∴∠PC'F＝90°，BF＝C'F，
∴Rt△PBF≌Rt△PC'F（HL），
∴PB＝PC'；
（3）①若点E为AD的三等分点，且AE＝2DE，

∵AD＝6，
∴AE＝4，ED＝2，
过点E作EM⊥BC于M，
∴四边形ABME为矩形，
∴BM＝AE＝4，EM＝AB＝3，
∴FM＝BM﹣BF＝4﹣1＝3，
∴EF＝＝＝3，
∵将矩形CDEF沿EF折叠，
∴ED＝ED'＝2，C'D'＝CD＝3，∠D＝∠D'＝90°，
∴C'E＝＝＝，
∴；
②若点E为AD的三等分点，且DE＝2AE，

∴DE＝4，EA＝2，
过点E作EN⊥BC于N，
同理可得FN＝1，EN＝3，
∴EF＝＝＝，
同理由折叠可得ED＝ED'＝4，C'D'＝CD＝3，∠D＝∠D'＝90°，
∴C'E＝＝＝5，
∴，
综上所述，的值为或．