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人教版七年级上册1.3.1 有理数的加法练习
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第3讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则:
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
②异号两数相加,绝对值相等时,和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加,仍得这个数.
有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律:
①加法交换律:两个加数相加,交换加数的位置,和不变.
②加法结合律:三个数加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
有理数加减混合运算的步骤:
①把算式中的减法转化为加法;
②省略加号与括号;
③利用运算律及技巧简便计算,求出结果.
加减混合运算技巧:
把符号相同的加数相结合;
把和为整数的加数相结合;
把分母相同或便于通分的加数相结合;
既有小数又有分数的运算要统一后再结合;
把带分数拆分后再结合;
分组结合;
先拆项后结合.
【典例】
1.计算:
(1)4+(﹣6);
(2)(﹣116)+(-23);
(3)-2-(﹣3.5);
(4)|(﹣7)+(﹣2)|-(﹣3);
(5)[1.4﹣(﹣3.6+5.2)﹣4.3]﹣(﹣1.5).
【解析】解:(1)4+(-6)
=﹣(6﹣4)
=﹣2.
(2)(﹣116)+(-23)
=-(76+23)
=-(76+46)
=﹣116;
(3)-2-(﹣3.5)
=-2+3.5
=3.5-2
=1.5;
(4)|(﹣7)+(﹣2)|-(﹣3)
=9+3
=12;
(6)[1.4﹣(﹣3.6+5.2)﹣4.3]﹣(﹣1.5)
=(1.4﹣1.6﹣4.3)﹣(﹣1.5)
=﹣4.5+1.5
=﹣3.
【难度】中
【结束】
【方法总结】
考查了有理数的加法,在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0,从而确定用哪一条法则.在应用过程中,要牢记“先符号,后绝对值”.
注意:绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算:(1)﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5;
(2)(-478)-(-512)+(-414)-(+3178);
(3)-200956-(+200823)-(-401834)+(-112);
(4)1+(﹣2)+3+(﹣4)…+2015+(﹣2016)+2017+(﹣2018).
【解析】解:(1)﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5
=(﹣2.4)+3.5+(﹣4.6)+3.5
=[(﹣2.4)+(﹣4.6)]+(3.5+3.5)
=-7+7
=0;
(2)(-478)-(-512)+(-414)-(+3178)
=(-478)+512+(-414)+(-3178)
=-478+-3178+[512+-414]
=-10+114
=﹣834.
(3)原式=-200956+(-200823)+401834+(-112)
=(﹣2009)+(﹣56)+(﹣2008)+(﹣23)+4018+34+(﹣1)+(﹣12)
=[(﹣2009)+(﹣2008)+4018+(﹣1)]+[(﹣56)+(﹣23)+34+(﹣12)]
=0+(﹣114)
=﹣114.
(4)1+(﹣2)+3+(﹣4)…+2015+(﹣2016)+2017+(﹣2018)
=(1﹣2)+(3﹣4)…+(2015﹣2016)+(2017﹣2018)
=﹣1+(-1)+(-1)+…+(-1)(共1009个-1)
=﹣1009.
【方法总结】
(1)把和为整数的数结合在一起;(2)把分母相同或容易通分的数结合在一起;(3)拆项法,把带分数拆成整数和分数,再把所有整数和分数分别结合在一起;(4)找规律,相邻两数之和为﹣1.
本题考查的是有理数加减混合运算,掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键.能使用运算律的要使用运算律,以简化计算,减少计算错误.
【随堂练习】
1.(2018秋•江阴市期末)已知a=5,|b|=8,且满足a+b<0,则a﹣b的值为( )
A.3 B.﹣3 C.﹣13 D.13
【解答】解:∵|b|=8,
∴b=±8,
又∵a=5,a+b<0,
∴b=﹣8,
则a﹣b=5﹣(﹣8)=13,
故选:D.
2.(2018秋•滨州期末)若a与b互为相反数,则a+b等于( )
A.0 B.﹣2a C.2a D.﹣2
【解答】解:若a与b互为相反数,则a+b=0,
故选:A.
3.(2018秋•怀柔区期末)在下列变形中,错误的是( )
A.(﹣2)﹣3+(﹣5)=﹣2﹣3﹣5
B.(﹣3)﹣(﹣5)=﹣3﹣﹣5
C.a+(b﹣c)=a+b﹣c
D.a﹣(b+c)=a﹣b﹣c
【解答】解:A.(﹣2)﹣3+(﹣5)=﹣2﹣3﹣5,本选项正确;
B.(﹣3)﹣(﹣5)=﹣3++5,本选项错误;
C.a+(b﹣c)=a+b﹣c,本选项正确;
D.a﹣(b+c)=a﹣b﹣c,本选项正确;
故选:B.
4.(2019•江岸区校级模拟)|a|+|b|=|a+b|,则a,b关系是( )
A.a,b的绝对值相等
B.a,b异号
C.a+b的和是非负数
D.a、b同号或a、b其中一个为0
【解答】解:A、当a、b的绝对值相等时,如a=1,b=﹣1,|a|+|b|=2,|a+b|=0,即|a|+|b|≠|a+b|,故本选项不符合题意;
B、当a、b异号时,如a=1,b=﹣3,|a|+|b|=4,|a+b|=2,即|a|+|b|≠|a+b|,故本选项不符合题意;
C、当a+b的和是非负数时,如:a=﹣1,b=3,|a|+|b|=4,|a+b|=2,即即|a|+|b|≠|a+b|,故本选项不符合题意;
D、当a、b同号或a、b其中一个为0时,|a|+|b|=|a+b|,故本选项符合题意;
故选:D.
5.(2018秋•淮安期末)若|x|=7,|y|=3,且x>y,则y﹣x等于( )
A.﹣4 B.﹣10 C.4或10 D.﹣4或﹣10
【解答】解:∵|x|=7,|y|=3,
∴x=±7,y=±3,
∵x>y,
∴x=7,y=3或x=7,y=﹣3,
∴当x=7,y=3时,y﹣x=﹣4;
当x=7,y=﹣3时,y﹣x=﹣10,
故选:D.
知识点2 乘除运算
有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
任何数同相乘,都得.
有理数乘法的运算步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.
多个有理数相乘:
(1)几个不是的数相乘,负因数的个数是偶数时,积为正数;负因数的个数是奇数时,积为负数,即“奇负偶正”.
(2)几个数相乘,如果其中有因数为,那么积等于.
有理数乘法运算律:
(1)乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.
(2)乘法结合律:一般地,有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.
(3)分配律:一般地,有理数乘法中,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
倒数的概念:乘积是的两个数互为倒数.
有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
,
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
有理数除法的运算步骤:首先确定商的符号,然后再求出商的绝对值.
整除:一个整数a除以一个不为0的整数b,商是整数,而没有余数,则我们说a能被b整除(或说b能整除a).
【典例】
1.计算:(1)(﹣2)×(﹣8);
(2)(﹣8)÷(﹣1.25);
(3)11÷17×(-411);
(4)(-1.5)×45÷(-25)×34.
【解析】解:(1)(﹣2)×(﹣8)=2×8,=16;
(2)(﹣8)÷(﹣1.25)=8÷54=8×45,=325;
(3)11÷17×(﹣411),=﹣11×7×411,=﹣28;
(4)(﹣1.5)×45÷(﹣25)×34,=32×45×52×34,=94.
【方法总结】
(1)根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解;
(2)根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解;
(3)把除法转化为乘法,然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解;
(4)把小数转化为分数,除法转化为乘法,然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解.
本题考查了有理数的乘法和除法,熟记运算法则是解题的关键.
2.计算:
(1)37×(﹣45)×712×58;
(2)292324÷(﹣112);
(3)﹣5×(﹣115)+13×(﹣115)﹣3×(﹣115).
【解析】解:(1)原式=(37×712)×(﹣45×58)=14×(﹣12)=﹣18.
(2)原式=(30﹣124)×(﹣12)=30×(﹣12)﹣124×(﹣12)=﹣360+12=﹣35912;
(3)原式=(﹣115)×[(﹣5)+13﹣3]=(﹣115)×5=﹣11.
【方法总结】
(1)利用乘法交换律和乘法结合律,把分子或分母容易约分的因数结合;
(2)先把除法转换为乘法,再利用乘法的分配律计算;
(3)利用乘法分配律的逆运用,即可解答.
本题考查了有理数的乘除法的运算,解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算.
【随堂练习】
1.(2019•颍上县一模)如果x的倒数是,那么x的值为( )
A. B. C.1 D.
【解答】解:由题意,得x=﹣.
故选:A.
2.(2018秋•道里区期末)下列说法错误的有( )
①任何数都有倒数;
②在一个比例中,若两内项之积为20,则两外项为4和5;
③比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数,比值不变;
④直径是半径的2倍;
A.4个 B.3 个 C.2个 D.1个
【解答】解:①0没有倒数,此结论错误;
②在一个比例中,若两内项之积为20,则两外项之积为20,此结论错误;
③比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数,比值改变,此结论错误;
④只有在同圆或等圆中,直径是半径的2倍,此结论错误;
故选:A.
3.(2018秋•晋安区期末)若2019×24=m,则2019×25的值可表示为( )
A.m+1 B.m+24 C.m+2019 D.m+25
【解答】解:∵2019×24=m,
∴2019×25
=2019×(24+1)
=2019×24+2019
=m+2019,
故选:C.
4.(2018秋•岳池县期末)下列说法正确的是( )
A.绝对值是它本身的数只有0
B.如果几个数积为0,那么至少有一个因数为0
C.整数只包括正整数和负整数
D.﹣1是最大的负有理数
【解答】解:A、绝对值是它本身的数是非负数,故此选项错误;
B、如果几个数积为0,那么至少有一个因数为0,正确;
C、整数只包括正整数和负整数、0,故此选项错误;
D、﹣1是最大的负整数,故此选项错误.
故选:B.
5.(2018秋•湘桥区期末)如图,下列结论正确的是( )
A.c>a>b B. C.|a|<|b| D.abc>0
【解答】解:A、由数轴得:a<b<c,故选项A不正确;
B、∵0<b<1<c,
∴>,
故选项B正确;
C、由数轴得:|a|>|b|,
故选项C不正确;
D、∵a<0,b>0,c>0,
∴abc<0,
故选项D不正确;
故选:B.
6.(2018秋•龙岗区期末)若“!”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1,…,则的值为( )
A. B.49! C.2450 D.2!
【解答】解:==50×49=2450
故选:C.
二.填空题(共1小题)
7.(2019•南京一模)在﹣3、4、﹣2、5四个数中,任意两个数之积的最小值为 ﹣15 .
【解答】解:(﹣3)×4=﹣12,(﹣3)×(﹣2)=6,(﹣3)×5=﹣15;
4×(﹣2)=﹣8,4×5=20,(﹣2)×5=﹣10,
∵﹣15<﹣12<﹣10<﹣8<6<20,
∴在﹣3、4、﹣2、5四个数中,任意两个数之积的最小值为﹣15.
故答案为:﹣15.
知识点3 乘方
乘方的概念:求个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.
(1)一般地,个相同的因数相乘,即,记作,读作“的次方”;
(2)在中,叫做底数,叫做指数;
(3)当看作的次方的结果时,读作的次幂.
注意:,其底数为,;
,其底数为,;
,其底数为,;
,其底数为,;
,带分数的乘方运算,一定要先化成假分数后再运算.
一个数可以看作这个数本身的一次方,例如,就是,指数通常省略不写.
正数的任何次幂都是正数;负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.
特别的,一个数的二次方,也称为这个数的平方;一个数的三次方,也称为这个数的立方.
科学记数法:把一个大于的数表示成的形式(其中,是正整数).
用科学记数法表示一个位整数,其中的指数是,的指数比整数的位数少.
万,亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm(毫米),将这张纸连续对折8次,这时它的厚度是多少?假设连续对折始终是可能的,那么对折15次后,所得的厚度是否可以超过你的身高?先猜猜,然后计算出实际答案.
【解析】解:∵折一次厚度是这张纸的21倍,折两次厚度就是这张纸的22倍,折三次厚度就是这张纸的23倍,
∴这张纸连续对折8次时厚度就是这张纸的28倍,
又∵这张纸的厚度为0.09mm,
∴连续对折8次时这张纸的厚度是:0.09×28=0.09×256,
=23.04(mm).
对折15次后纸的厚度为0.09×215=2949.12(mm)≈2.9m,
所以对折15次后,所得的厚度可以超过自己的身高.
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度,由此可算出折第8次的厚度.一张纸的厚度为0.09mm,对折1次后纸的厚度为0.09×2mm;对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm;对折3次后纸的厚度为0.09×23mm;对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm,据此列出算式.即可求解.
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力.乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.乘方的意义就是多少个某个数字的乘积.
2.若|x-2|+(y-23)2=0,则yx=__________.
【解析】解:根据题意得x-2=0,y-23=0
解得x=2,y=23
则yx=(23)2=49.
故答案是:49.
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性,由“若几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0”可求出x、y的值,然后将x、y的值代入计算即可求解.
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km,比太阳到地球的距离还远690000倍.
(1)用科学记数法表示出暗星到地球的距离;
(2)用科学记数法表示出690000这个数;
(3)如果光的速度大约是300000km/s,那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗?用科学记数法表示出来.
【答案】
【解析】解:(1)将102000000000000用科学记数法表示为:1.02×1014;
(2)将690000用科学记数法表示为:6.9×105;
(3)∵102000000000000÷300000=340000000(s),
∴将340000000用科学记数法表示为:3.4×108.
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为正整数.确定n的值时,要看由原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.
此题考查科学记数法的表示方法,关键是要正确确定a的值以及n的值.
【随堂练习】
1.(2019春•峄城区期末)将9.52变形正确的是( )
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)×(10﹣0.5)
C.9.52=92+9×0.5+0.52
D.9.52=102﹣2×10×0.5+0.52
【解答】解:9.52=(10﹣0.5)2=102﹣2×10×0.5+0.52;
故选:D.
2.(2019•武汉模拟)对于数133,规定第一次操作为13+33+33=55,第二次操作为53+53=250,如此反复操作,则第2019次操作后得到的数是( )
A.25 B.250 C.55 D.133
【解答】解:第一次操作:13+33+33=55
第二次操作:53+53=250
第三次操作:23+53+03=133
∴三次操作后是一个循环
∵2019÷3=673,即2019被3整除
∴2019次操作后的数与第三次操作后的得数相同,为133
故选:D.
3.(2019•鼓楼区校级模拟)若“!”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1,…,则7×6!的值为( )
A.42! B.7! C.6×7! D.6×7!
【解答】解:根据题中的新定义得:原式=7×6×5×4×3×2×1=7!,
故选:B.
4.(2018秋•秦淮区期末)下列各组数中,结果相等的是( )
A.+32与+23 B.﹣23 与(﹣2)3
C.﹣32与(﹣3)2 D.|﹣3|3与(﹣3)3
【解答】解:A、+32=9≠+23=8,错误;
B、﹣23=﹣8=(﹣2)3,正确;
C、﹣32=﹣9≠(﹣3)2=9,错误;
D、|﹣3|3=27≠(﹣3)3=﹣27.错误;
故选:B.
5.(2018秋•凉山州期末)m为任意有理数,下列说法错误的是( )
A.(m+1)2的值总是正的 B.m2+1的值总是正的
C.|m+1|的值为非负数 D.|m|+1的值不小于1
【解答】解:A、当m=﹣1时,(m+1)2的值是0,错误;
B、m2+1的值总是正的,正确;
C、|m+1|的值为非负数,正确;
D、|m|+1的值不小于1,正确;
故选:A.
6.(2019春•九龙坡区校级月考)已知|a|=3,b2=25,且a+b<0,则a﹣b的值为( )
A.2或8 B.﹣2或﹣8 C.2或﹣8 D.﹣2或8
【解答】解:∵|a|=3,b2=25,且a+b<0,
∴a=﹣3,b=﹣5或a=3,b=﹣5,
∴a﹣b=2或8,
故选:A.
综合运用
1.若|a|=2,b=﹣3,c是最大的负整数,a+b﹣c的值为_______.
【解析】解:∵|a|=2,c是最大的负整数,
∴a=±2,c=﹣1.
当a=2时,a+b﹣c=2+(﹣3)﹣(﹣1)=2﹣3+1=0;
当a=﹣2时,a+b﹣c=﹣2+(﹣3)﹣(﹣1)=﹣2﹣3+1=﹣4.
故答案为0或-4.
2.2.5+(﹣214)﹣1.75+(﹣12)=____.
【解析】解:原式=2.5﹣2.25﹣1.75﹣0.5
=2.5﹣0.5﹣(2.25+1.75)
=2﹣4
=﹣2,
故答案为:﹣2.
3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会,印制了105 000张宣传彩页.105 000这个数字用科学记数法表示为___________.
【解析】解:105 000=1.05×105.
故答案为:1.05×105.
4.一根1米长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此剪下去,第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米;第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米.
【解析】解:1米长的绳子,第一次剪去一半后剩下12;
第二次剪去剩下的一半后剩下12的一半是14;
第三次再剪去14的一半后剩下18;
第三次再剪去18的一半剩下116.
第n次后剩下(12)n=12n.
故答案为:116,12n.
5.将一张长方形的纸按如图对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,第一次对折后可得到1条折痕(图中虚线),第二次对折后可得到3条折痕,第三次对折后得到7条折痕,那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条.
【解析】解:∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1=2(条),
对折3次比对折2次折痕多7﹣3=4=22(条),
对折4次比对折3次折痕多15﹣7=8=23(条),
……
∴对折10次比对折9次折痕多29条,
故答案为:29.
6.计算:(﹣0.5)+|0﹣614|﹣(﹣712)﹣(﹣4.75).
【解析】解:原式=﹣0.5+614+712+4.75
=(﹣0.5+712)+(614+4.75)
=(﹣0.5+7.5)+(6.25+4.75)
=7+11
=18.
7.高速公路养护小组,乘车沿东西向公路巡视维护,如果约定向东为正,向西为负,当天的行驶记录如下(单位:千米):
+18,﹣9,+7,﹣14,﹣3,+11,﹣6,﹣8,+6,+15.
(1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向?距出发点多远?
(2)养护过程中,最远处离出发点有多远?
(3)若汽车行驶每千米耗油量为a升,求这次养护小组的汽车共耗油多少升?
【解析】解:(1)18﹣9+7﹣14﹣3+11﹣6﹣8+6+15=+17.
则养护小组最后到达的地方在出发点的东边,17千米处;
(2)养护过程中,通过计算绝对值可知该小组距离出发点的距离依次为18,9,16,2,1,10,4,4,2,17,
所以养护过程中,最远处离出发点是18千米;
(3)(18+9+7+14+3+11+6+8+6+15)a=97a.
答:这次养护小组的汽车共耗油97a升.
8.计算下列各式:
(1)(﹣14)×(﹣100)×(﹣6)×(0.01);
(2)91819×15;
(3)﹣100×18﹣0.125×35.5+14.5×(﹣12.5%);
(4)(1﹣2)×(2﹣3)×(3﹣4)×(4﹣5)×…(19﹣20).
【解析】解:(1)(﹣14)×(﹣100)×(﹣6)×(0.01)
=﹣(100×0.01)×(14×6)
=﹣1×84
=﹣84;
(2)91819×15
=(10﹣119)×15
=10×15﹣119×15
=150﹣1519
=149419;
(3)﹣100×18﹣0.125×35.5+14.5×(﹣12.5%)
=﹣100×0.125﹣0.125×35.5+14.5×(﹣0.125)
=0.125×(﹣100﹣35.5﹣14.5)
=18×(﹣150)
=﹣754;
(4)(1﹣2)×(2﹣3)×(3﹣4)×(4﹣5)×…×(19﹣20)
=(﹣1)×(﹣1)×(﹣1)×(﹣1)×…×(﹣1)(共19个-1)
=﹣1.
9.已知(x+3)2+|3x+y+m|=0中,y的平方等于它本身,求m的值.
【解析】解:依题意得:(x+3)2=0,|3x+y+m|=0,
即x+3=0,3x+y+m=0,
∴x=﹣3,
∴﹣9+y+m=0,即m=9﹣y,
根据y的平方等于它本身,可知y=0或1.
当y=0时,有m=9-0=9,m=9;
当y=1时,有m=9-1=8,m=8.
∴m的值为9或8.
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