初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形课时练习

这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形课时练习，文件包含人教版初二数学上册秋季班讲义第3讲全等辅助线一-提高班教师版docx、人教版初二数学上册秋季班讲义第3讲全等辅助线一-提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
第3讲 全等辅助线（一）知识点1 截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.如图，在线段上截取. 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.如图，延长到点D，使得.【典例】如图，在中，，的平分线交于点．求证：．  【解析】方法一：（截长）在上截取AE=AB，连接．在和中，，∴（SAS）∴，又∵∴，∴∵AE+EC=AC∴． 方法二：（补短）延长到点使得，连接．在和中，，，∴(SAS)，∴又∵∴∴，∵AB+BE=AE∴．  方法三：（补短）延长到点使得，连接则有，又∵， ∴∴∴，∴ ∴AB+BD=AC              【方法总结】若题目条件或求证结论中含有“”，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系.【随堂练习】1．（2017秋•阳谷县期末）如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC=AB．【解答】证明：如图，在AB上截取AF=AD，连接EF，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∵，∴△DAE≌△FAE（SAS），∴∠AFE=∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∵，∴△BEF≌△BEC（AAS），∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB． 2．（2017秋•柘城县期中）如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD．【解答】证明：在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF．∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠CAE=∠FAE，∠EBF=∠EBD．∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°．在△ACE和△AFE中，，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE．∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠D．在△BEF和△BED中，，∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF=BD．∵AB=AF+BF，∴AB=AC+BD．　知识点2 倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角．例如：其中，延长使得，则．【典例】如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是____．【答案】①、②、④【解析】①正确．∵，，∴AD=2AC．②、④正确．延长到，使，连接．∵是边上的中线，∴．在和中∴（SAS）∴，∴在和中∴(SAS)∴，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．【方法总结】本题综合性强，主要考察全等三角形的倍长中线知识点，在做全等三角形相关题目时，一旦给出“中线”、“中点”等条件时，我们应考虑到是否可以使用倍长中线法.【随堂练习】1．（2017秋•太谷县校级期中）△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB=5，AC=3，求线段AD的长的取值范围．【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵BD=CD，∠ADC=∠BDE，AD=DE，∴△ADC≌△EDB，∴EB=AC，根据三角形的三边关系定理：5﹣3＜AE＜5+3，∴1＜AD＜4．故线段AD的长的取值范围为：1＜AD＜4．综合运用1.如图，中，，，平分交于点．求证：． 【解析】方法一：在上截取点使，连结．∵平分，∴．在与中∵，， ∴，∴∵， ∴∴．又∵∴，∴，∴∵，∴ 方法二：如图，延长到，使，连结．∵，且，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．又∵∴．∴．∴． 2.已知：在中，，，求证：．【解析】方法一：在上取一点，使DE=BD，如图1，在和中，，，．∴．∴，．又∵∴，∴∴．           方法二：延长到点，使，如图2，∴．∵，∴．在和中，∠ADE=∠ADC，，．∴．∴．∵∴． 3.正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF．【解析】延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG ≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，∴AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG ≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE 4. 已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．      　　　　【解析】，理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，利用证得≌，∴，∴． 5. 已知中，平分，且，求证：．【解析】解：延长到，使，连接．则，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴． 6. 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．       【解析】    解：延长到，使，连接∵，，∴，∴，又∵，∴∴，∴，∴． 7.如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥．【解析】解：延长到，使，连结，利用证明，∴，，又，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴∥．