初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法练习题

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第11讲  因式分解（一）  知识点1 提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.【典例】1.因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）=              ．【答案】（2a+b）（2a﹣b）．
【解析】解：通过观察，原式的公因式是2a+b，把公因式提取到括号外边，因此（2a+b）2﹣2b（2a+b）=（2a+b）（2a+b﹣2b）=（2a+b）（2a﹣b）．故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．【方法总结】确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.2.如果x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2=   ．【答案】6
【解析】解：对式子x2y﹣xy2分解因式，可得x2y﹣xy2=xy（x﹣y）∵x﹣y=2，xy=3∴原式=3×2=6．故答案为：6．【方法总结】如果所求的式子是个多项式，先对式子进行因式分解，然后再代入题干中给出的其他条件（或对其他条件进行整理后，再代入）进行计算.3.计算：﹣5652×0.13+4652×0.13=      ．【答案】﹣130
【解析】解：﹣5652×0.13+4652×0.13=0.13×（﹣5652+4652）=0.13×（﹣1000）=﹣130，故答案为：﹣130．【方法总结】以前学习过乘法分配律，a(c+b)=ac+ab, 对于这类题而言，提公因式法更像是乘法分配律的逆运算，先找到相同的数字（有时是幂，需提取最低次幂），提取到括号的外边，然后对剩下的部分整理，再计算. 【随堂练习】1．（2019春•龙华区期末）下列多项式能分解因式的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，无法分解因式，故此选项错误；、，故此选项正确；、，无法分解因式，故此选项错误；、，无法分解因式，故此选项错误；故选：．2．（2019春•武侯区期末）下列分解因式正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，不是分解因式，故选项错误；、，故选项正确；、，不是分解因式，故选项错误；、，不是分解因式，故选项错误．故选：．3．（2019春•贵阳期末）把分解因式，正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：．故选：．4．（2019春•昌图县期末）多项式因式分解时，应提取的公因式为　　A． B． C． D．【解答】解：多项式因式分解时，，故应提取的公因式为：．故选：．5．（2019春•桂林期末）将多项式因式分解应提取的公因式是　　A． B． C． D．【解答】解：多项式因式分解应提取的公因式是，故选：．二．填空题（共2小题）6．（2019春•简阳市 期末）因式分解：　　．【解答】解：．故答案为：．7．（2019春•迁西县期末）如果，，那么　21　．【解答】解：，，．故答案为：21． 知识点2 公式法—平方差公式平方差公式：①公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；②二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积【典例】1.分解因式：a2﹣81=            ．【答案】（a+9）（a﹣9）．
【解析】解：原式= a2- 92=（a+9）（a﹣9）．故答案为：（a+9）（a﹣9）．【方法总结】利用平方差公式进行因式分解，一定要先判断这个多项式是否满足平方差公式因式分解的条件，即: 公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式．2.多项式 （3a+2b）2﹣（a﹣b）2分解因式的结果是（　　）A. （4a+b）（2a+b）   B. （4a+b）（2a+3b） C. （2a+3b）2   D. （2a+b）2【答案】B.
【解析】解：（3a+2b）2﹣（a﹣b）2=[（3a+2b）+（a﹣b）][（3a+2b）﹣（a﹣b）]=（4a+b）（2a+3b），故选：B【方法总结】利用平方差公式：进行因式分解时，需要注意，式子里的a和b可以是数字、字母或者式子. 知识点3 公式法—完全平方公式完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方.【典例】1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）A. 4x2﹣12xy+9y2 B. 2x2+4x+1     C. 2x2+4xy+y2   D. x2﹣y2+2xy【答案】A.
【解析】解：A、4x2﹣12xy+9y2=（2x﹣3y）2，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项正确；而B、C、D均不满足完全平方公式因式分解的条件.故选A【方法总结】需要注意的是，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的 形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.2.分解因式4+12（a﹣b）+9（a﹣b）2=            ．【答案】（2+3a﹣3b）2
【解析】解：原式=22+12（a﹣b）+[3（a﹣b）]2=[2+3（a﹣b）]2=（2+3a﹣3b）2．故答案为：（2+3a﹣3b）2．【方法总结】利用完全平方公式：，进行因式分解时，需要注意，式子里的a和b可以是数字、字母或者式子.另外，分解因式时，需要注意，因式分解一定要分解到不能再分解为止.3.已知x=y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25=      ．【答案】9000
【解析】解：原式=（x﹣y）2﹣25∵x=y+95，即x﹣y=95，∴原式=952-25=9025﹣25=9000，故答案为：9000【方法总结】如果问题中的式子是个多项式，先对问题中的式子进行因式分解（有时是部分因式分解，目的是整理出与条件相接近或相同的式子），然后再代入题干中的条件进行运算.【随堂练习】1．（2018秋•沛县期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，无法分解因式，不合题意；、，无法分解因式，不合题意；、，无法分解因式，不合题意；、，正确，符合题意；故选：．2．（2019春•嘉兴期末）下列因式分解错误的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，不符合因式分解的定义，故此选项正确；、，正确，不符合题意；、，正确，不合题意；、，正确，不合题意；故选：．3．（2019春•普宁市期末）下列因式分解错误的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，正确，不合题意；、，原式分解因式错误，符合题意；、，正确，不合题意；、，正确，不合题意；故选：．4．（2019春•邗江区校级月考）若，，则的值为　　A．200 B． C．100 D．【解答】解：，，．故选：．5．（2019春•滦州市期末）关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是　　A． B． C．12 D．【解答】解：依题意，得，解得：．故选：．6．（2019春•平川区期末）下列各式不能用公式法分解因式的是　　A． B．  C． D．【解答】解：、，可用平差公式，故能用公式法分解因式；、 能用完全平方公式，故能用公式法分解因式；、不能用平方差公式分解因式，故正确；、可用平差公式，故能用公式法分解因式；故选：．7．（2019春•门头沟区期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，是整式的乘法运算，故此选项错误；、，无法运用公式分解因式，故此选项错误；、，正确；、，无法运用公式分解因式，故此选项错误；故选：．8．（2019春•峄城区期末）下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为　　①：②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①，故此选项正确；②，无法运用公式分解因式；③，无法运用公式分解因式；④，故此选项正确；⑤，无法运用公式分解因式；故选：．9．（2019春•渠县期末）如果代数式能够分解成的形式，那么的值是　　A．10 B． C． D．【解答】解：，，故选：．10．（2019春•杭州期末）下列多项式可以用平方差公式分解因式的是　　A． B． C． D．【解答】解：：两个平方项的符号相同，故本选项错误；与的符号相反，能用平方差公式分解因式，故本选项正确；：两个平方项的符号相同，故本选项错误；不是平方项，故本选项错误．故选：．  知识点4 提公因式法与公式法的综合目前，我们已经学习了两种分解因式的方法：提公因式法和公式法. 这两种方法经常需要配合使用，对于一个多项式，有公因式的，需要先提取公因式，然后再使用公式法.【典例】1.把多项式x3﹣4x分解因式所得的结果是（　　）A. x（x2﹣4） B. x（x+4）（x﹣4）  C. x（x+2）（x﹣2）  D. （x+2）（x﹣2）【答案】C.
【解析】解：观察x3﹣4x，发现公因式是x，先提取公因式x所以，原式=x（x2﹣4）因为x2﹣4可以用平方差公式因式分解，所以，x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．故选：C【方法总结】对一个多项式进行因式分解，如果有公因式的，先提取公因式，再使用公式法因式分解.2.把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解，正确的是（　　）A. a（2a+b）2  B. b（2a+b）2   C. b（a+2b）2   D. 4b（a+b）2【答案】B.
【解析】解：4a2b+4ab2+b3=b（4a2+4ab+b2）=b（2a+b）2．故选：B【方法总结】对一个多项式进行因式分解，如果有公因式的，先提取公因式，再使用公式法因式分解.【随堂练习】1．（2019春•苍南县期末）下列因式分解正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、原式，故本选项错误．、原式，故本选项错误．、因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故本选项错误．、原式，故本选项正确．故选：．2．（2019春•大丰区期末）下列各式分解因式正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，故此选项错误；、，正确；、，不是完全平方公式，故此选项错误；、，故此选项错误；故选：．3．（2019春•宝安区期末）下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，不能进行因式分解；、，可以使用平方差公式进行因式分解；、，可以使用提公因式法进行因式分解；、，可以使用完全平方公式进行因式分解；故选：．4．（2019春•重庆期末）下列分解因式正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、原式，错误；、原式，正确；、原式，错误；、原式不能分解，错误，故选：．5．（2019•南关区校级一模）把多项式分解因式，结果正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：原式，故选：．6．（2019•庐阳区校级一模）下列各式中，不能用公式法分解因式的是　　A． B． C． D．【解答】解：，不能用公式法分解因式，故选：．7．（2019•泸州）把分解因式，结果正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：原式，故选：．8．（2019•富顺县三模）下列分解因式正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，不能直接运用公式分解因式，故此选项错误；、，故此选项错误；、，正确；、，故此选项错误；故选：．9．（2019•株洲）下列各选项中因式分解正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，正确．故选：．10．（2019•潍坊）下列因式分解正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，故此选项错误；、，无法分解因式，故此选项错误；、，无法分解因式，故此选项错误；、，正确．故选：．二．解答题（共2小题）11．（2019春•海州区期末）将下列各式因式分解（1）；（2）．【解答】解：（1）原式； （2）．12．（2019春•桥西区期末）因式分解（1）（2）【解答】解：（1），（2）．
   综合运用1.因式分解：16x2y﹣xy=           ．【答案】xy（16x﹣1）．
【解析】解：16x2y﹣xy=xy（16x﹣1）．故答案为：xy（16x﹣1）．2.因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=             ．【答案】n（n﹣m）（m+1）
【解析】解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n），=mn（n﹣m）+n（n﹣m），=n（n﹣m）（m+1）．故答案为：n（n﹣m）（m+1）．3.利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100+299=      ．【答案】﹣299．
【解析】解：（﹣2）101+（﹣2）100+299=﹣2101+2100+299=299（﹣22+2+1）=﹣299．故答案为：﹣299．4.若m﹣n=3，mn=﹣2，则4m2n﹣4mn2+1的值为     ．【答案】﹣23
【解析】解：原式=4mn（m﹣n）+1∵m﹣n=3，mn=﹣2，∴原式=4×（-2）×3+1=﹣24+1=﹣23，故答案为：﹣235.分解因式：x2﹣9y2               ．【答案】（x+3y）（x﹣3y）．
【解析】解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．6.分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是_______.【答案】（a﹣1）2（a+1）2
【解析】解：（a2+1）2﹣4a2=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）=（a﹣1）2（a+1）2．7.已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为    ．【答案】﹣4
【解析】解：原式m2﹣4mn+4n2﹣5=（m﹣2n）2﹣5∵m=2n+1，∴m﹣2n=1，∴原式=1﹣5=﹣4，故答案为：﹣4．8.分解因式：b2﹣12b+36=        ．【答案】（b﹣6）2
【解析】解：原式=（b﹣6）2，故答案为：（b﹣6）29.分解因式：ax4﹣9ay2=                 ．【答案】a（x2+3y）（x2﹣3y）
【解析】解：原式=a（x4﹣9y2）=a（x2+3y）（x2﹣3y），故答案为：a（x2+3y）（x2﹣3y）10.把多项式3a3﹣12a2+12a分解因式的结果是          ．【答案】3a（a﹣2）2
【解析】解：原式=3a（a2﹣4a+4）=3a（a﹣2）2，故答案为：3a（a﹣2）211.把多项式5a3b﹣10a2b+5ab分解因式的结果是           ．【答案】5ab（a﹣1）2
【解析】解：原式=5ab（a2﹣2a+1）=5ab（a﹣1）2，故答案为：5ab（a﹣1）212.因式分解：（x2﹣6）2﹣6（x2﹣6）+9.【答案】
【解析】解：原式=[（x2﹣6）-3] 2=（x2﹣6﹣3）2=（x2﹣9）2=（x+3）2 （x﹣3）2．