初中数学人教版八年级上册14.3.2 公式法练习

第12讲  因式分解（二）

 知识点1 十字相乘法

对于像这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b．那么可以直接写成结果：．

【典例】

1.因式分解：x2﹣x﹣12=            ．

【方法总结】

用十字相乘法对一个形如的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.

2.因式分解：4a2+4a﹣15=              ．

【方法总结】

这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.

3.分解因式：3x3﹣12x2﹣15x=              ．

【方法总结】

利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.

4.因式分解：（x+y）2+5（x+y）﹣6=                ．

【方法总结】

如果式子可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.

【随堂练习】

1．（2019春•南京期末）下列等式从左往右因式分解正确的是　　

A． B． 

C． D．

2．（2019春•新化县期末）已知二次三项式分解因式，则的值为　　

A．1 B． C． D．5

3．（2019春•肥东县期末）下列因式分解结果正确的是　　

A． B． 

C． D．

4．（2019春•淮北期末）下列因式分解中正确的是　　

A． B． 

C． D．

5．（2019春•平阴县期末）八年级（1）班实行高效课堂教学，四人一组，每做对一道题得0.5分，“奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题，甲：，乙：，丙：，丁：．则“奋斗组”得　　

A．0.5分 B．1分 C．1.5分 D．2分

6．（2019春•昌图县期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为　　

A． B．1 C． D．7

7．（2019春•覃塘区期末）已知多项式分解因式为，则的值为　　

A． B． C． D．2

二．填空题（共1小题）

8．（2019春•肥城市期末）若当时，代数式的结果为0，那么将分解因式的结果为　　．

知识点2 分组分解法

分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.

【典例】

1.多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是________

【方法总结】

对于多项式（大于三项）分组时，尽量：有公因式的分在一组，可以利用公式法的分在一组（有平方和的一般用完全平方公式，有平方差的一般用平方差公式），然后根据实际情况选取其他的因式分解的方法进行计算.

2.把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是_____

【方法总结】

对式子进行分组时，有平方和的一般利用完全平方公式，这时需要再找到两个底数乘积的2倍（负2倍也行）即可. 利用完全平方公式因式分解之后，再根据题意继续因式分解.

3.分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2=                ．

【方法总结】

在进行分组时，有平方和的，如果还能找到两个平方底数的（负）2倍的项，那么这三项就可以分到一组，利用完全平方公式进行因式分解.

4.分解因式：a2+4a﹣b2﹣2b+3=                ．

【方法总结】

在利用分组法因式分解时，有时需要对式子中的一些数或者式子进行简单的拆分，拼凑出可以因式分解的式子（如果式子中含有平方项且无法直接使用公式法因式分解的，一般都需要进行拆分其他的式子或数字进行拼凑）.

【随堂练习】

1．（2019春•合肥期中）下列分解因式错误的是　　

A． B． 

C． D．

2．（2018秋•昆明期末）下列多项式中，不能进行因式分解的是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

3．（2019•大庆）分解因式：　　．

4．（2019春•潜山市期末）分解因式：　　．

5．（2019•马鞍山二模）因式分解：　　．

6．（2018秋•嘉定区期末）因式分解：　　．

三．解答题（共1小题）

7．（2018秋•澄海区期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．

解：设，则原式

（1）该同学因式分解的结果是否彻底？　　（填“彻底”或“不彻底” ．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　　．

（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

知识点3  因式分解的综合应用

【典例】

1.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值____

【方法总结】

这类题主要考察因式分解和三角形的三边关系，首先先要对式子因式分解，分解完之后，再根据三角形三边关系来判断式子中各项的正负. 有时也会考察判断三角形的形状，同样，先因式分解题干中的式子，在利用三角形的边关系来判断.

2阅读材料：

方程x2﹣x﹣2=0中，只含有一个未知数且未知数的次数为2．像这样的方程叫做一元二次方程．把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）=0．我们知道两个因式乘积为0，其中有一个因式为0即可，因此方程可以转化为：x﹣2=0或x+1=0．

解这两个一次方程得：x=2或x=﹣1．

所以原方程的解为：x=2或x=﹣1．

上述将方程x2﹣x﹣2=0转化为x﹣2=0或x+1=0的过程，是将二次降为一次的“降次”过程，从而使得问题得到解决．

仿照上面降次的方法，解决下列问题：

（1）解方程x2﹣3x=0；

（2）2a2﹣a﹣3=0；

【方法总结】

此类题属于“新定义题型”，首先要读懂题意，明白题干中告知的对于新题型的解题思路是什么，然后根据已经学习过的知识，进行分析解答，此类题认真审题读懂题意是关键.

3.阅读理解以下文字：

我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．

例如：方程2x2+3x=0就可以这样来解：

解：原方程可化为x（2x+3）=0，

所以x=0或者2x+3=0．

解方程2x+3=0，得x=﹣．

所以解为x1=0，x2=﹣．

根据你的理解，结合所学知识，方程x2﹣5x=6的解是_______

【随堂练习】

1．（2019•安徽）已知三个实数，，满足，，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．（2019春•东台市期中）已知：，，，请你巧妙的求出代数式的值　　

A．3 B．2 C．1 D．0

二．填空题（共7小题）

3．（2019•福建三模）已知，，则的值　　．

4．（2019•兴化市二模）已知：，，则的值等于　　．

5．（2019春•南京期中）已知，，，则代数式　　．

6．（2018秋•沙坪坝区校级期末）若，则的值为　　．

7．（2019春•江阴市期中）已知，则　　．

8．（2018秋•官渡区期末）已知，，则　　．

9．（2019春•水城县期末）若，则　 　．

   综合运用

1.因式分解：x2﹣x﹣12=            ．

2.因式分解：﹣2x2+12x﹣18=          ．

3.分解因式：4x2﹣4x﹣3=              ．

4.因式分解：（k+1）x2+（3k+1）x+2k﹣2=                   ．

5.分解因式：（a﹣b）2+6（b﹣a）+9=          ．

6.分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2=               ．

7.分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3=                ．

8.分解因式：a2﹣4ab+4b2+3a﹣6b=                ．

9.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，判断式子b2﹣a2+2ac﹣c2的结果是______（填正负性）

10.若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是_______