初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法课时练习

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第12讲 因式分解（二）

知识点1 十字相乘法
对于像这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b．那么可以直接写成结果：．
【典例】
1.因式分解：x2﹣x﹣12= ．
【答案】（x﹣4）（x+3）
【解析】解：观察式子，x2﹣x﹣12中二次项系数为1，一次项系数-1，常数项为-12，
∵
即-4×3=-12，1×1=1且-4×1+3×1=-1
∴x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
【方法总结】
用十字相乘法对一个形如的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.
2.因式分解：4a2+4a﹣15= ．
【答案】（2a﹣3）（2a+5）
【解析】解：观察式子，4a2+4a﹣15中二次项系数为4，一次项系数4，常数项为-15
∵
即,2×2=4，5×（-3）=-15且2×5+（-3）×2=4
∴4a2+4a﹣15=（2a﹣3）（2a+5）．
故答案为：（2a﹣3）（2a+5）．
【方法总结】
这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.
3.分解因式：3x3﹣12x2﹣15x= ．
【答案】3x（x+1）（x﹣5）
【解析】解：先观察式子，发现是一个三次三项式，不满足十字相乘对式子的要求，但是式子中每项含有公因式3x，通过上讲的学习，我们知道可以先把公因式提取出来，变形成原式=3x（x2﹣4x+5），括号里的x2﹣4x+5正好可以利用十字相乘因式分解,，然后再进行下面的计算.
∴原式=3x（x2﹣4x+5）
=3x（x+1）（x﹣5）．
故答案为：3x（x+1）（x﹣5）．
【方法总结】
利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.
4.因式分解：（x+y）2+5（x+y）﹣6= ．
【答案】（x+y﹣1）（x+y+6）
【解析】解：设（x+y）=m，则原式（x+y）2+5（x+y）﹣6=m2+5m﹣6
∵m2+5m﹣6可因式分解为m2+5m﹣6=（m-1）（m+6）
∴原式=（x+y﹣1）（x+y+6）．
故答案为：（x+y﹣1）（x+y+6）
【方法总结】
如果式子可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.
【随堂练习】
1．（2018•淄博）分解因式：　　．
【解答】解：

．
故答案为：．
二．解答题（共5小题）
2．（2019春•渝中区校级月考）阅读下列材料
1637年笛卡儿．，在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于的多项式能被整除，则其一定可以分解为与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，是关于的这个方程的一个根．
例如：多项式可以分解为与另外一个整式的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：．
观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积．
令：，
而，因等式两边同次幂的系数相等，则有：，得，从而．
此时，不难发现是方程的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若是多项式的因式，求的值并将多项式分解因式．
（2）若多项式含有因式及，求的值．
（3）若多项式可以分解为两个一次因式之积，求的值将该多项式分解因式．
【解答】解：（1），
，解得
；
（2）设（其中为二次整式），
由材料可知，，是方程的解，
求得，，
；
（3），
令，
则上式，
，
，

3．（2019春•太仓市期中）你会对多项式分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．
对于．
解法一：设，
则原式
．
解法二：设，
则原式
．
解法三：设，，
则原式
．
按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）设，
则原式



；
（2）设，
原式




；
（3）设，






．
4．（2018秋•闵行区期末）分解因式：．
【解答】解：原式
．
5．（2018秋•宁都县期末）仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式，得，
则，
，，
解得，，
另一个因式为，的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式可分解为，则　　．
（2）若二次三项式可分解为，则　 　．
（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【解答】解：（1），
，
解得：；
故答案是：

（2），
．
故答案是：．

（3）设另一个因式为，得，
则，
，，
解得，，
另一个因式为，的值为5．
6．（2018秋•通州区期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　（填“彻底”或“不彻底” ．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【解答】解：（1），
该同学因式分解的结果不彻底．

（2）设
原式



．
故答案为：不彻底．

知识点2 分组分解法
分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.
【典例】
1.多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（　　）
【答案】（a﹣c）（a+b+c）
【解析】解：ab﹣bc+a2﹣c2是一个四项式，有a2和c2平方差，所以可以利用平方差公式；ab和bc有公因式b，所以可以提取公因式，综上，式子可以分成两组，即
原式=（ab﹣bc）+a2﹣c2
=b（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）
=（a﹣c）（a+b+c）
【方法总结】
对于多项式（大于三项）分组时，尽量：有公因式的分在一组，可以利用公式法的分在一组（有平方和的一般用完全平方公式，有平方差的一般用平方差公式），然后根据实际情况选取其他的因式分解的方法进行计算.
2.把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是____
【答案】（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）
【解析】解：观察式子发现，前三项x2+y2﹣2xy可以利用完全平方公式因式分解，可以分在一组，则
原式= （x2+y2﹣2xy）﹣1
=（x﹣y）2﹣1
=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）
【方法总结】
对式子进行分组时，有平方和的一般利用完全平方公式，这时需要再找到两个底数乘积的2倍（负2倍也行）即可. 利用完全平方公式因式分解之后，再根据题意继续因式分解.
3.分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．
【答案】（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）
【解析】解：观察式子，发现有两个平方和，x2和4y2（可以变成（2y）2），而且式子中含有x2和（2y）2）底数的负2倍项﹣4xy，所以三者可以分到一组，因此
原式=（x2﹣4xy+4y2）﹣（x﹣2y）
=（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）
=（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．
故答案为：（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．
【方法总结】
在进行分组时，有平方和的，如果还能找到两个平方底数的（负）2倍的项，那么这三项就可以分到一组，利用完全平方公式进行因式分解.
4.分解因式：a2+4a﹣b2﹣2b+3= ．
【答案】（a+b+3）（a﹣b+1）
【解析】解：观察式子，有平方差a2﹣b2，但它俩分在一组后，剩下的4a﹣2b+3无法进行因式分解，所以a2﹣b2不应该分到一组. 式子中含有a2+4a，如果补充4，即a2+4a+4就可以利用完全平方公式因式分解，同理﹣b2﹣2b补充-1，即﹣b2﹣2b-1也可以利用完全平方公式因式分解，而补充的4和-1，正好等于3，因此a2+4a﹣b2﹣2b+3可变形为
原式=a2+4a+4﹣（b2+2b+1）
=（a+2）2﹣（b+1）2
=（a+b+3）（a﹣b+1）．
故答案为：（a+b+3）（a﹣b+1）．
【方法总结】
在利用分组法因式分解时，有时需要对式子中的一些数或者式子进行简单的拆分，拼凑出可以因式分解的式子（如果式子中含有平方项且无法直接使用公式法因式分解的，一般都需要进行拆分其他的式子或数字进行拼凑）.
【随堂练习】
1．（2019春•蜀山区期中）若，其中，为整数，则的值为　　
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：

，
，
，
，
，，
；
故选：．
2．（2018秋•嘉善县期末）下列式子中，属于的因式是　　
A． B． C． D．
【解答】解：




，
的因式是：，，．
故选：．
二．填空题（共3小题）
3．（2019•宜宾）分解因式：　　．
【解答】解：原式．
故答案为：
4．（2019•邗江区校级模拟）把多项式分解因式，结果是　　．
【解答】解：

．
故答案为：．
5．（2019•浦东新区二模）分解因式：　　．
【解答】解：

．
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
6．（2019春•郴州期末）阅读某同学对多项式进行因式分解的过程，并解决问题：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）该同学第二步到第三步的变形运用了　　（填序号）；
．提公因式法 ．平方差公式
．两数和的平方公式 ．两数差的平方公式
（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？　　（填“能”或“不能” ．如果能，直接写出最后结果　　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分行解．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的平方公式，
故选；
（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能进一步因式分解，
最后结果，
故答案为 能，；
（3）设





．
7．（2019春•雅安期末）（1）因式分解
（2）解不等式组
【解答】解：（1），
，
；
（2），
解①得：，
解②得：，
．
8．（2019春•永州期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　（填“彻底”或“不彻底” ，若不彻底则，该因式分解的最终结果为　　；
（2）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
【解答】解：（1），
该同学因式分解的结果不彻底．
故答案为：不彻底，．
（2）设
原式



．

知识点3 因式分解的综合应用
【典例】
1.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值____
【答案】小于零
【解析】解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
根据三角形的三边关系，可得
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
【方法总结】
这类题主要考察因式分解和三角形的三边关系，首先先要对式子因式分解，分解完之后，再根据三角形三边关系来判断式子中各项的正负. 有时也会考察判断三角形的形状，同样，先因式分解题干中的式子，在利用三角形的边关系来判断.
2阅读材料：
方程x2﹣x﹣2=0中，只含有一个未知数且未知数的次数为2．像这样的方程叫做一元二次方程．把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）=0．我们知道两个因式乘积为0，其中有一个因式为0即可，因此方程可以转化为：x﹣2=0或x+1=0．
解这两个一次方程得：x=2或x=﹣1．
所以原方程的解为：x=2或x=﹣1．
上述将方程x2﹣x﹣2=0转化为x﹣2=0或x+1=0的过程，是将二次降为一次的“降次”过程，从而使得问题得到解决．
仿照上面降次的方法，解决下列问题：
（1）解方程x2﹣3x=0；
（2）2a2﹣a﹣3=0；
【解析】解：（1）方程变形得：x（x﹣3）=0，
可得x=0或x﹣3=0，
解得：x=0或x=3；
（2）方程变形得：（2a﹣3）（a+1）=0，
可得2a﹣3=0或a+1=0，
解得：a=1.5或a=﹣1；
【方法总结】
此类题属于“新定义题型”，首先要读懂题意，明白题干中告知的对于新题型的解题思路是什么，然后根据已经学习过的知识，进行分析解答，此类题认真审题读懂题意是关键.
3.阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程2x2+3x=0就可以这样来解：
解：原方程可化为x（2x+3）=0，
所以x=0或者2x+3=0．
解方程2x+3=0，得x=﹣．
所以解为x1=0，x2=﹣．
根据你的理解，结合所学知识，方程x2﹣5x=6的解是______
【答案】﹣1或6
【解析】解：由原方程x2﹣5x=6，得
（x+1）（x﹣6）=0，
∴x+1=0，或x﹣6=0，
解得，x1=﹣1，x2=6．
【随堂练习】
1．（2019春•九龙坡区校级月考）若，，则代数式的值为　　．
【解答】解：原式

，
原式

二．解答题（共4小题）
2．（2019春•重庆期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式
再将“”还原，得：原式．
上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：　　．
（2）因式分解：
（3）证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
【解答】解：（1）
；

（2）令，则原式变为，
故；

（3）



，
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个整数的平方．
3．（2019春•合浦县期中）已知，求：的值．
【解答】解：，
，





．
4．（2019春•平阴县期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则

解得：，另一个因式为，的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
（2）已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
【解答】解：（1）设另一个因式是，则
，
则，
解得：．
则另一个因式是：，．

（2）设另一个因式是，则
，
则，
解得或，
另一个因式是，的值是（不合题意舍去），
故另一个因式是，的值是2．
5．（2015秋•庐江县期末）如图，在边长为的正方形纸片中剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，求另一边长．

【解答】
解：依题意得剩余部分为：，
而拼成的矩形一边长为，
另一边长是．
答：若拼成的长方形一边长为，则另一边长为：．
综合运用
1.因式分解：x2﹣x﹣12= ．
【答案】（x﹣4）（x+3）
【解析】解：x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
2.因式分解：﹣2x2+12x﹣18= ．
【答案】﹣2（x﹣3）2
【解析】解：﹣2x2+12x﹣18
=﹣2（x2﹣6x+9）
=﹣2（x﹣3）2，
故答案为：﹣2（x﹣3）2．
3.分解因式：4x2﹣4x﹣3= ．
【答案】（2x﹣3）（2x+1）
【解析】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．
故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．
4.因式分解：（k+1）x2+（3k+1）x+2k﹣2= ．
【答案】（kx+x-k+1）（x﹣2）
【解析】解：原式=[（k+1）x﹣k+1]（x﹣2）
=（kx+x-k+1）（x﹣2）
故答案为：（kx+x-k+1）（x﹣2）
5.分解因式：（a﹣b）2+6（b﹣a）+9= ．
【答案】（a﹣b﹣3）2
【解析】解：（a﹣b）2+6（b﹣a）+9
=（a﹣b）2﹣6（a﹣b）+9，
=（a﹣b）2﹣2×（a﹣b）×3+32，
=（a﹣b﹣3）2．
故答案为：（a﹣b﹣3）2
6.分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2= ．
【答案】（2m+n）（m﹣n+1）
【解析】解原式=（2m2﹣mn﹣n2）+（2m+n）
=（2m+n）（m﹣n）+（2m+n）
=（2m+n）（m﹣n+1）．
故答案为：（2m+n）（m﹣n+1）．
7.分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3= ．
【答案】（a+b+1）（a﹣b+3）
【解析】解：a2﹣b2+4a+2b+3
=（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1）
=（a+2）2﹣（b﹣1）2
=（a+b+1）（a﹣b+3）．
故答案为（a+b+1）（a﹣b+3）．
8.分解因式：a2﹣4ab+4b2+3a﹣6b= ．
【答案】（a﹣2b）（a﹣2b+3）
【解析】解：原式=（a﹣2b）2+3（a﹣2b）
=（a﹣2b）（a﹣2b+3）．
故答案为（a﹣2b）（a﹣2b+3）．
9.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，判断式子b2﹣a2+2ac﹣c2的结果是______（填正负性）
【答案】正数
【解析】解：b2﹣a2+2ac﹣c2
=b2﹣（a﹣c）2
=（b+a﹣c）（b﹣a+c）
∵a、b、c为△ABC三边的长，
∴（b+a﹣c）＞0，（b﹣a+c）＞0，
∴b2﹣a2+2ac﹣c2＞0．
所以答案是正数
10.若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是_______
【答案】等腰三角形
【解析】解：∵（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，
∴（a﹣b）（b﹣c）2（c﹣a）=0，
∴a﹣b=0或（b﹣c）2=0或c﹣a=0，
∴a=b或b=c或c=a．
即△ABC是以a、b为腰的等腰三角形或以b、c为腰的等腰三角形或以a、c为腰的等腰三角形．