人教版数学八上15.1 分式 备课资料（典型例题）

第十五章　分　式

15.1　分　式

典型例题

题型一　分式与整式

例1　在下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？

-3x，，x2y，-7xy2，-x，，，，-5，+3，.

分析：判断一个式子是分式的关键是分母中含有字母.

解：整式有-3x，x2y，-7xy2，-x，，-5.

分式有，，，+3，.

点拨：分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母.分式满足三个条件：(1)是形如的式子；(2)A，B为整式；(3)分母B中含有字母.三个条件缺一不可.

判断一个代数式是不是分式，只能看形式，不能看化简的结果，所以是分式，这是解答本题的易错点.

题型二　分式有意义、无意义的条件

例2　(1)(2020·贵阳中考)当x＝1时，下列分式没有意义的是(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)(2020·南京中考)若式子1-在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　.

解析：(1)当分式的分母等于0时，分式没有意义，当x＝1时，只有B选项中分式的分母为x-1＝0.故选B.

(2)若式子1-在实数范围内有意义，则x﹣1≠0，解得x≠1．

答案：(1)B　(2)x≠1

例3　当x取什么值时，下列分式有意义？

(1)；(2)；(3)；(4).

分析：对于一个分式来说，当分母不等于0时，分式有意义.

解：(1)当2x≠0，即x≠0时，分式有意义.

(2)当3x-5≠0，即x≠时，分式有意义.

(3)当|x|-1≠0，即x≠±1时，分式有意义.

(4)因为x无论取什么实数，x2+2都大于0，所以x取任何实数，分式都有意义.

点拨：由于分式的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时分式才有意义，而当B＝0时分式无意义.

例4　当a取何值时，分式无意义？

分析：当分式的分母为0时，分式无意义.

解：当a-1＝0，即a＝1时，分式无意义.

点拨：判断分式是否有意义，关键是看分母是否等于0，等于0则无意义，反之则有意义.

题型三　分式的值为0的条件

例5　(1)(2020·浙江金华中考)分式的值是零，则x的值为(　　)

A.2 B.5 C.-2 D.-5

(2)(2019·贵阳中考)若分式的值为0，则x的值是　　　　.

解析：分式的值为0的条件是分子为0同时分母不为0.

(1)由题意，得x+5＝0，且x-2≠0，解得x＝-5.故选D.

(2)由题意得解得x＝2.

答案：(1)D　(2)2

点拨：求解分式的值为0的条件的题目时，首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值.

题型四　分式的基本性质

例6　根据分式的基本性质，分式可变形为(　　)

A.-  B.- C. D.-

解析：A.同时改变了两个符号，分式的值不变，故本选项正确；B.只改变了整个分式的符号，故本选项错误；C.只改变了分子的符号，故本选项错误；D.改变了三个符号，故本选项错误.　　

答案：A

方法归纳

根据分式的基本性质，在分式、分子、分母的符号中，改变其中两个的符号，分式的值不变.

例7　若分式中的m，n的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值(　　)

A.是原来的20倍  B.是原来的10倍

C.是原来的  D.不变

解析：若分式中的m，n的值同时扩大到原来的10倍，则＝＝·.故选C.

答案：C

例8　(2020·河北中考) 若a≠b，则下列分式化简正确的是(　　)

A.  B.

C.   D.

解析：分式的分子、分母加上(或减去)同一个整式，分式的值可能改变，故和不成立；

，与不一定相等，故不成立；

根据分式的基本性质可知，分式的分子、分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，故成立，选项D正确.

答案：D

例9　写出下列等式中未知的分子或分母.

(1)＝；(2)＝；

(3)＝.

解析：填在括号里的式子，必须使等号左右两边的值相等，解题的关键是根据分式的基本性质，从分子或分母的已知部分入手，观察等号两边的分子或分母发生了怎样的变化.(1)中，右边的分子是由左边的分子除以6mn得到的，所以右边的分母是由左边的分母24mn2除以6mn得到的；(2)中，右边的分母是由左边的分母乘a得到的，所以右边的分子是由左边的分子a-b乘a得到的；(3)中，右边的分子是由左边的分子除以x得到的，所以右边的分母是由左边的分母x2除以x得到的.

答案：(1)4n　(2)a2-ab　(3)x

例10　(1)不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项系数都化为整数.

(2)不改变分式的值，使下列分式的分子与分式本身都不含负号：

①-；②-.

分析：(1)利用分式的基本性质将分数系数化为整数系数；(2)一个分式中，分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变.

解：(1)由于和的最简公分母是6，

故把分式的分子和分母都乘6，得

＝＝.

(2)①-＝＝；

②-＝-＝.

点拨：(1)分式的分子和分母的系数中有分数的，应先确定这些分数的最简公分母，把分子和分母同乘这个最简公分母，把系数中的分数化为整数.

(2)分式的分子、分母和分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变.

题型五　分式的约分

例11　(1)(浙江台州中考)化简的结果是(　　)

A.-1 B.1 C. D.

(2)下列约分正确的是(　　)

A.＝a3 B.＝a+b C.＝  D.＝

解析：(1)根据平方差公式把分子进行因式分解，再约分.

＝＝.

(2)选项A，原式＝＝a5，故错误.选项B，不能约分，故错误.选项C，原式＝＝，故错误.选项D，原式＝＝，故正确.

答案：(1)D　(2)D

方法归纳

分式约分的关键是找出分子、分母的公因式，然后把分子、分母的公因式约去，将结果化成最简分式或整式，如果分子、分母是多项式，一般应先将它们因式分解，再找公因式.

例12　(山东滨州中考)下列分式中，最简分式是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：A.原式为最简分式，符合题意；B.原式＝＝，不符合题意；

C.原式＝＝，不符合题意；D.原式＝＝，不符合题意.　　

答案：A

题型六　分式的通分

例13　(1)分式，，的最简公分母是　　　　.

(2)分式，，的最简公分母是　　　　.

解析：(1)分母中，系数4，6，3的最小公倍数是12，字母a的最高次幂是a2，字母b的最高次幂是b2，字母c的最高次幂是c2，所以它们的最简公分母是12a2b2c2；(2)将分母因式分解3a-3b＝3(a-b)；a2-b2＝(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2＝(a+b)2，所以它们的最简公分母是3(a+b)2(a-b).

答案：(1)12a2b2c2　(2)3(a+b)2(a-b)

例14　通分：

(1)与；(2)与；

(3)，，.

分析：通分要先确定最简公分母.(1)中最简公分母是2a2b2c；(2)(3)中要先把各分母因式分解，再确定最简公分母.

解：(1)因为最简公分母是2a2b2c，

所以＝＝，

＝＝.

(2)因为最简公分母是(x+5)(x-5)，

所以＝＝，

＝.

(3)因为最简公分母是(x+2)(x-2)，

所以＝＝，

＝，＝＝.

点拨：在通分中，常用到因式分解.利用对分式分母的因式分解，找出各分式分母的最简公分母，然后把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式.

题型七　分式的化简求值

例15　(江苏扬州中考)当a＝2 016时，分式的值是　　　　.

解析：式子中的分子含有可因式分解的多项式，故先因式分解，化简后再代入求值.

＝＝a+2，

把a＝2 016代入得，原式＝2 016+2＝2 018.

答案：2 018

点拨：当分子、分母中含有可因式分解的式子时，要先将其因式分解，再化简.

例16　已知＝3，求的值.

分析：先对分式的分子、分母因式分解再化简，得出x与y之间关系的式子是关键.

解：原式＝＝.

方法1：由＝3，得x＝3y，则原式＝＝＝2.

方法2：原式＝＝＝＝2.

点拨：此类题目既可以变形已知条件，也可以变形所求的式子.变形已知条件时，使变形所得到的式子在所求的式子中用得上，如方法1；变形所求的式子时，应与已知条件有明显的关系，利于直接代入，如方法2.

例17　若实数a，b满足+＝2，求的值.

分析：方法1：根据分式的基本性质，把所求代数式的分子和分母都除以ab，再进行适当的变形，把已知条件整体代入即可得解；方法2：对已知式子进行变形，可得a2+b2＝2ab，将其整体代入所求代数式即可.

解：方法1：由+＝2知ab≠0，

∴ ＝＝

＝＝.

方法2：由+＝2知ab≠0且a2+b2＝2ab，

∴ ＝＝＝.

点拨：方法1是采用将所求代数式变形，使其含有已知式，再将已知式整体代入求解；方法2是采用将已知式变形，再将变形后的式子代入所求代数式.

题型八　分式的值为正数或负数的条件

例18　(1)当x　　　　时，分式的值为正；

(2)当x　　　　时，分式的值为负.

解析：(1)由题意，得>0.根据实数的运算法则，同号两数相除得正，异号两数相除得负，可知x+2与1同号，∴ x+2>0，∴ x>-2.

(2)由题意，得<0.∵ x2+1>0，∴ 1-x<0，

∴ x>1.　　

答案：(1)x>-2　(2)x>1

例19　当x取何值时，分式的值为正数？

分析：由题意可知>0.根据实数的运算法则，同号两数相除得正可知，3-x与x-2同号，所以有两种情况，即或解这两个不等式组即可.

解：由题意可知或

解不等式组得2<x<3.

解不等式组该不等式组无解.

所以当2<x<3时，分式的值为正数.

例20　当x取何值时，分式的值为负数？

分析：由分式的意义可知＝(x-2)÷(2x+6)，类比有理数的除法法则可知x-2与2x+6异号，所以有两种情况，即或解这两个不等式组即可.

解：由题意可知或

解不等式组该不等式组无解.

解不等式组得-3<x<2.

所以当-3<x<2时，分式的值为负数.

方法归纳

针对分式取值为正或负的问题，分两类解决：一类是分子不含有未知数，此时根据同号得正、异号得负的原则确定分母取值而列出不等式解决即可；另一类是分子、分母都含有未知数，此时根据同号得正、异号得负的原则，列出不同的不等式组，解出结果之后，通过讨论确定正确的结果.

题型九　分式的应用

例21　有四块小场地：第一块是边长为a米的正方形，第二块是边长为b米的正方形，其余两块都是长a米，宽b米的长方形，另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2(a+b)米，用最简单的式子表示出大长方形的宽.

分析：运用长方形、正方形的面积公式求解.

解：＝＝.

方法归纳

先求出四块小场地的面积，再利用长方形的面积公式求出大长方形的宽，运用约分化简.

例22　甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，若相向而行，则经过m h相遇；若同向而行，则经过n h甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的多少倍？

分析：设甲、乙二人的速度分别为x km/h，y km/h，A，B两地距离为s，列出关于x，y的方程组求解.

解：设甲、乙二人的速度分别为x km/h，y km/h，A，B两地距离为s，则

∴ ∴ ＝＝.

方法归纳

通过列方程或方程组得出所要表示的量，再进行计算.运用分式的基本性质进行化简.

题型十　体现整体思想的分式求值问题

要求某个分式的值时，有时不能直接求解，而要根据题目的特点，将已知式与待求式进行合理变形，找出它们之间的联系，采用整体代入法求解.这个过程体现了整体代入的数学思想.

例23　已知a+＝3，求a2+的值.

分析：将已知条件a+看成一个整体，再将要求的a2+看成一个整体，联想到完全平方公式即可求出结果.

解：∵ a+＝3，∴ ＝32.

即a2+2+＝9，∴ a2+＝7.

例24　已知a2+＝，求a-的值.

分析：由a和互为倒数，且已知式子中有2个平方项，联想到完全平方公式，再根据来求a-.

解：a2+＝的两边都减去2，得

a2-2+＝，

即a2-2·a·+＝，

∴ ＝.

∴ a-＝±.

点拨：当根据已知条件求字母的值很困难时，可将已知条件与所求代数式利用数学公式进行变形，利用整体代入法来求得所给代数式的值，而不必求单个字母的值.

拓展资料

两支蜡烛

房间里的电灯突然熄灭，保险丝烧断了.小明点燃了书桌里备用的两支蜡烛，在烛光下继续做他的事，直到电灯重新亮起，熄灭蜡烛.

小明当时没有注意断电开始的时刻，也没有注意是什么时候来的电，也不知道蜡烛的原始长度，只记得两支蜡烛点燃前是一样长的，但粗细不同，其中粗的一支能用5个小时(完全用完)，细的一支能用4个小时(完全用完).两支蜡烛都是经小明点燃的新蜡烛.小明没找到蜡烛的剩余部分，家里人把它扔掉了.

──残烛几乎都烧光了，已不值得保留，家里人这样回答.

──你能记得残余部分有多长吗？

──两支蜡烛不一样.粗蜡烛的长度等于细蜡烛长度的四倍.

关于这两支蜡烛的情况就知道这些了.

亲爱的同学们，如果是你遇到这种情况，你能推算出蜡烛燃烧的时间吗？

我们来一起分析这个问题

设两支蜡烛原来的长度都是l，蜡烛点燃了x小时，则粗蜡烛每小时燃烧的长度是l，细蜡烛每小时燃烧的长度是l.根据余下的蜡烛中，粗蜡烛的长度是细蜡烛长度的四倍列方程，得l -x＝，解得x＝3.75，3.75小时＝3小时45分钟.

所以两支蜡烛燃烧的时间为3小时45分钟.

酒里的水多还是水里的酒多

有这样一道趣题：有两个杯子分别盛有等体积的酒和水.先从盛酒的杯子中取出一勺酒，倒入盛有水的杯子中搅匀，再从盛水的杯子中取出一勺混合的水和酒，倒入盛酒的杯子中.现在两个杯子中都有酒和水.那么，究竟是盛酒杯子中的水多，还是盛水杯子中的酒多呢？

这道题目看起来似乎无从下手.其实，运用我们所学过的分式知识就可以解决.

因为混合前两个杯子中盛的酒和水的体积一样，不妨设为m L，勺的容积为n L.

一开始，盛酒的杯子中有酒m L，有水0 L；盛水的杯子中有水m L，有酒0 L.

第一次混合后，盛酒的杯子中有酒(m-n)L，有水0 L；盛水的杯子中有水m L，有酒n L.

此时盛水的杯子中共有(m+n)L混合的水和酒，其中酒的浓度为，水的浓度为.

第二次混合后，从盛水的杯子中取出的n L混合的水和酒中含酒n·＝(L)，含水n·＝(L).

此时盛酒的杯子中有水L，盛水的杯子中有酒n-＝-＝

(L)，所以盛酒杯子中的水与盛水杯子中的酒一样多.

为什么盛酒杯子中的水与盛水杯子中的酒一样多呢？你想过这个问题没有？我们可以从盛酒杯子中酒和水的体积变化来分析.盛酒杯子中的酒经过勺子这么舀来舀去，其中酒的体积减小了，水的体积增加了，而盛酒杯子中的液体总体积没有发生变化，因此减少的酒的体积必然等于增加的水的体积(也就是此时盛酒杯子中的水的体积).减少的酒跑到哪儿了呢？当然是被勺子舀到盛水杯子中去了.这减少的酒的体积当然也就是此时盛水杯子中的酒的体积.因此，盛酒杯子中的水与盛水杯子中的酒一样多.你明白了吗？(注：此处假设酒水混合体积不变)