数学八年级上册第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分教学ppt课件

教学目标

1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明；

2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题；

3.会作最短路径问题.

教学重难点

重点：理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题；

难点：会作最短路径问题.

教学过程

旧知回顾

回忆轴对称图形：

如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

回忆线段的垂直平分线的定义：

垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

导入新课

师问：线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

生答：是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线.

那么线段的垂直平分线有什么样的性质呢？

这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.

教师板书课题.

探究新知                         

一、线段垂直平分线的性质定理

　如图所示,已知线段AB和它的中垂线l,O为垂足.

在直线l上任取一点P,连接PA,PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系?提出你的猜想并说明理由.

事实上,因为线段AB是轴对称图形,垂直平分线l是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴l对折后,点A和点B重合,线段PA和线段PB重合,从而PA＝PB.

教师指导学生画线段AB,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上多确定几个点,让学生测量,有什么发现?

如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分

别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?

由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范.

命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,你能进行证明吗？

已知:如图所示,线段AB和它的垂直平分线l,垂足为O,点P为直

线l上任意一点,连接PA,PB.

求证：PA＝PB.

引导学生利用SAS证明△PAO≌△PBO,从而得到PA＝PB.

证明:在△PAO和△PBO中,

∵

∴ △PAO≌△PBO(SAS),

∴ PA＝PB(全等三角形的对应边相等).

从而得到线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

几何语言：∵ l垂直平分AB，P为l上一点，

∴ PA＝PB.

[知识拓展]　(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.

(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.

(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.

说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.

二、最短路径问题

已知:如图所示,点A,B是直线l外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.

解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP+BP最短.

引导学生分析、证明.

【提出问题】

(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上?

学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l的对称点,对称点与另一点的连线与直线l的交点,即为点P.

(2)在直线l上任取一个异于点P的点P′,怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.

学生小组内交流,教师指定一名学生板演.

解：∵ 点A和点A′关于直线l对称,

∴ AP＝A′P.

∴ AP+BP＝A′P+BP＝A′B(等量代换).

如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P′,连接AP′,BP′,A′P′,则A′P′+BP′>A′B(两点之间线段最短).

即AP′+BP′＝A′P′+BP′≥A′B＝AP+BP.

∴ AP+BP最短.

新知应用

例1　已知:如图所示,D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E.

求证:AC＝AB.

证明:连接BC,

因为点D,E分别是AB,AC的中点,

且CD⊥AB,BE⊥AC,

所以CD,BE分别是AB,AC的垂直平分线,

所以AC＝BC,AB＝CB,

所以AC＝AB.

例2　如图，A，B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A,B两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？

作法：1.作点A关于直线a的对称点A′.

2.连接A′B,交a于点P.

点P即为抽水站的位置.

课堂练习

1.如图1，已知线段AB,BC的中垂线 交于点M,则线段AM,CM的大小关系是（    ）

A.AM＞CM    B.AM＝CM    C.AM＜CM    D.无法确定

2.如图2，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E,下列结论不一定成立的是（     ）

A.AB＝AD                   B.CA平分∠BCD

C.AB＝BD                   D.△BEC≌△DEC

图1              图2            图3           图4

3.如图3，AD⊥BC于点D,D为BC的中点，连接AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连接OC,若∠AOC＝120°，则∠ABC＝ _____.

4.如图4，在△ABC中，AB＝AC,D是AB的中点，且DE⊥AB,已知△BCE的周长为12，且AC-BC＝2，求AC,BC的长.

参考答案

1.B　2.C　3.60°

4.解：∵ D是AB的中点，DE⊥AB，

∴ DE为AB的中垂线.∴ AE＝BE.

∵ △BCE的周长为12，∴ BC+CE+BE＝12.

∴ AC+BC＝12.

∵ AC-BC＝2，∴ AC＝7，BC＝5.

课堂小结

线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

布置作业

完成教材第114页习题.

板书设计

           16.2　线段的垂直平分线

第1课时 线段垂直平分线的性质定理

一、线段垂直平分线的性质定理

二、最短路径问题

教学反思

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