人教版八年级下册17.1 勾股定理学案设计

知识点01  勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

注意：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

，， .  ，，

知识点02  勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.

右图中：

，，

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.

右图中：，，化简可证

方法三：右图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，，化简得证；

知识点03  勾股定理的作用

（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

（2）用于解决带有平方关系的证明问题；

（3）利用勾股定理，作出长为 的线段.

类型一、勾股定理

例1.若直角三角形的三边长分别为6，8，m，则m的值为（       ）

A．10 B．2 C．28 D．10或2

变式1-1 若直角三角形的一条直角边和斜边的比为，另一条直角边长为，则直角三角形的斜边长为（        ）

A．3 B．6 C． D．

变式1-2已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．

类型二、用勾股定理理解直角三角形 

例2．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．

变式2-1 在中，，若，则的长是________．

变式2-2若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．

类型三、两点距离公式 

例3．在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为（    ）

A．5 B．3 C．4 D．0

变式3-1 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为(　　)

A．(1，0) B．(﹣5，0) C．(0，1) D．(﹣1，0)

变式3-2点P（－3，4）到坐标原点的距离是（     ）

A．3 B．4 C．－4 D．5

类型四、利用勾股定理求线段长

例4.已知一直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则第三边上的高为________.

变式4-1如图，在和中，，点在上．若，，，则__________．

变式4-2如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=，则BD的长为__________.

（变式4-1图）                 （变式4-2图）

类型五、勾股数 

例5．下列四组数中，是勾股数的是（    ）

A．5，12，13 B．，， C．1，， D．7，24，26

变式5-1下列五组数：①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；⑤9、40、41，其中是勾股数的组数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

变式5-2下列各组数中，勾股数是（　　）

A．32，42，52 B．1，， C．0.6，0.8，1 D．5，12，13

类型六、勾股树中的面积问题 

例6．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（    ）

A．3 B．9 C．16 D．25

变式6-1 小李同学在学习“2.7探索勾股定理”时发现，公式中的、、可以看成以、、为边的正方形面积，利用面积之间的等量关系，验证了勾股定理，他对这个发现进一步进行思考，如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形（、、为底）、半圆，其中不满足这个关系的是（    ）

A．  B．  C．    D．

变式6-2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（　　）

A．16 B．18 C．20 D．22

类型七、勾股定理解决网格问题 

例7．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（　　）

A． B．2 C． D．

变式7-1 在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

变式7-2如图，网格线的交点称为格点，任取个格点构成等腰三角形，则下列可以作为腰长的是（    ）

A． B． C． D．

类型八、勾股定理与折叠问题 

例8．如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．

变式8-1如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿点B的直线折叠这个三角形，使点C在AB边上的点E处，折痕为BD．

（1）求△ADE的周长；

（2）求DE的长．

变式8-2如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．

类型九、用勾股定理求最值问题 

例9．如图是一个长方体盒子，用一根细线绕侧面绑在点A、B处，不计结头，细线最短长度为______．

变式9-1如图，一只蚂蚁从正方体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，正方体棱长为3cm，则蚂蚁所走过的最短路径是______cm．

【变式2】已知点，，点在轴上，且最短，则这个最短距离是 ___．

类型十、勾股定理的证明 

例10．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出证明过程．

变式10-1如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，中间是正方形，请你利用这个图来验证勾股定理．

1．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（       ）

A．13 B．8 C． D．

2．我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是（   ）

A． B． C． D．

3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是(　　)

A．1 B． C．2 D．

4．已知中，，BD是AC边上的高线，，那么BD等于（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（   ）

A．3cm B．2cm C．4cm D．2.5cm 

6．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．已知点及点，P是x轴上一动点，连接，，则的最小值是（　　）

A． B． C．5 D．4 

8．有下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，．其中勾股数有（    ）

A．组 B．组 C．组 D．组

9．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

10．观察图形，每个小正方形的边长均为1，估计阴影正方形的边长的值在哪两个整数之间（  ）

A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5

11．如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（  ）．

A．              B．                C．                D．5

12．如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（    ）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2

13．如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（   ）

A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m

14．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．

（1）求修建的公路CD的长；

（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？

15．已知，点A（﹣2，1）和点B（4，3）．

（1）在坐标平面内描出点A和点B的位置．

（2）连接AB并计算AB的长度．

（3）若点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，求a﹣b的值．

16．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：

（1）AB的长；

（2）△CDF的面积．

17．如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知A点的高度为3米，台阶的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上．

（1）求斜坡的长；

（2）请根据以上条件求出树的高度．（侧倾器的高度忽略不计）

18．如图所示，已知某学校点A到直线河流BD的距离为600米，且与该河流上一个取水站点D相距1000米，现要在河边新建一个取水站点C，使之与学校点A及取水站点D的距离相等，则学校点A与取水站点C的距离是多少米？