初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数导学案

知识点01  一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.

注意：

（1）当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.

（2）一次函数中的“一次”指的是自变量x的指数为1.

知识点02  一次函数的图象与性质

1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；

当＞0时，直线是由直线向上平移b个单位长度得到的；

当＜0时，直线是由直线向下平移|b|个单位长度得到的.

注意：

一次函数的平移规律为：上加下减；

2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：

3. 、对一次函数的图象和性质的影响：

决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．

4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：

（1）与相交；         （2），且与平行；

特别的：当直线时，

知识点03  待定系数法求一次函数解析式

一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.

注意：

（1）一次函数是一个二元一次方程，这个方程有无数组解；

（2）待定系数法是求一次函数解析式的方法，本质是求一次函数中k和b的值；

（3）先设一次函数的通式，将一次函数图像上的2个点的坐标代入，横坐标代入x，纵坐标代入y，得出关于k和b的二元一次方程组，解出k和b，再将k和b的值代入通式，即可求出一次函数的解析式；

知识点04  一次函数与坐标轴的交点

一次函数与y轴的交点就是（0，b），与x轴的交点为；

注意：

在y轴上的点横坐标为0，故求与y轴的交点，令x=0，即求出的y值即为纵坐标，得（0，b）；

在x轴上的点纵坐标为0，故求与x轴的交点，令y=0，即求出的x值即为横坐标，得；

知识点05  分段函数

对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.

注意：

对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.

导学一：一次函数的概念

重点1 一次函数的概念

例1.下列函数（1）（2）（3）（4）（5）中，一次函数有（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式1-1 给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中一定是一次函数的有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

重点2 利用一次函数的定义求字母的值

例2.若函数是一次函数，则__________．

变式2-1 已知是关于的一次函数，则这个函数的解析式是_______．

变式2-2 已知函数y=（m+1）x2-|m| +n+4．

（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？

重点3 实际问题中的一次函数

例3.某校组织合唱汇演，九年级排练队排成10排，第1排20人，后面每排比前一排多1人，写出每排人数m与排数n的关系式：________，自变量n的取值范围是________．

变式3-1 一出租车油箱内剩余油42L，一般行驶一小时耗油7L，则该车油箱内剩余油量y（L）和行驶时间x（时）之间的函数关系式是_____________（不写自变量取值范围）．

变式3-2 图书馆现有200本图书供学生借阅，如果每个学生一次借4本，则剩下的书y(本)和借书学生人数x(人)之间的关系式是________________．

重点4 几何图形中的一次函数

例4.如图，在平面直角坐标系内，其中，．点，的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线时，线段扫过的面积为（       ）

A．16 B．20 C．32 D．38

变式4-1 如图所示，长方形的顶点在轴上，在轴上，点坐标为，若直线恰好将长方形分成面积相等的两部分，则的值为__________．

变式4-2 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P，Q分别是AB和CD上的任意一点，且AP=CQ，线段EF是PQ的垂直平分线，交BC于F，交PQ于E．设AP=x，BF=y，则y与x的函数关系式为______________．

（变式4-1图）    （变式4-2图）

导学二：一次函数的图象和性质

重点1 一次函数的图象

例1.  下列图象中，不可能是关于x的一次函数y＝mx﹣（m﹣3）的图象的是（　　）

A． B． C．D．

变式1-1 若代数式在实数范围内有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+2的图象可能是（　　）

A．    B．    C．    D．

变式1-2 若，，一次函数的图象大致形状是（       ）

A． B． C．D．

重点2 一次函数的平移

例2.  将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（　　）

A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2（x+3） D．y＝2（x﹣3）

变式2-1 把函数向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是(       )

A． B． C． D．

变式2-2对于一次函数，下列结论错误的是(     )

A．函数的图象与轴的交点坐标是       B．函数值随自变量的增大而减小

C．函数的图象不经过第三象限               D．函数的图象向下平移个单位长度得到的图象

重点3 一次函数的性质

例3.  在一次函数中，随的增大而增大，那么的值可以是（       ）

A．1 B．0 C． D．

变式3-1 对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（　　）

A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞3

变式3-2 若一次函数与图像的交点在第一象限，则一次函数的图像不经过（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式3-3 当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____．

变式3-4 一次函数y＝－3x－2的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式3-5 已知m是整数，且一次函数y=(m+3)x+m+2的图象不过第二象限，则m=______．

重点4 比较大小

例4.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x−1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）

变式4-1一次函数的图象过点，，，则（       ）

A． B． C． D．

变式4-2已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

变式4-3  点（﹣1，）、（2，）是直线上的两点，则_____（填“＞”或“=”或“＜”）

重点5 平面直角坐标系中双图象共存问题

例5.直线和在同一直角坐标系中的图象可能是（       ）

A．   B．   C．    D．

变式5-1 一次函数与正比例函数（m是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（       ）

A．     B．     C．     D．

变式5-2 已知一次函数y=mnx与y=mx+n(m，n为常数，且mn≠0)，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（       ）

A．      B．    C．    D．

重点6 一次函数的图象和性质与几何结合

例6.如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．

求A、B两点的坐标；

求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；

当t为何值时≌，并求此时M点的坐标．

变式6-1 如图，直线交轴于点，直线交轴于点，并且这两条直线相交于轴上一点，平分交轴于点．（1）求的面积．   （2）判断的形状，并说明理由．

（3）点是直线上一点，是直角三角形，求点的坐标．

导学三：一次函数的解析式

重点1 利用待定系数法确定一次函数的解析式

例1.  已知一次函数的图象经过，两点，则该一次函数解析式是______．

变式1-1 如图，该直线是某个一次函数的图象，则此函数的解析式为_____．

变式1-2 已知一次函数的图象经过点（﹣，﹣ ），且图象与x轴的交点到原点的距离为1，则该一次函数的解析式为：_____．

重点2 利用函数的增减性确定一次函数的解析式

例2.  已知一次函数的图象经过点（2，3），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为　_________　（写出一个即可）．

变式2-1 已知一次函数y=kx+b，当自变量取值范围是−4<x<4时，相应的函数值的范围是−2<y<6，则这个函数的解析式为_________．

变式2-2 已知一次函数y＝kx+b（k≠0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，则这个函数解析式为_____．

重点3  利用平移规律求一次函数的解析式

例3.  已知经过点（1，-2）的直线是由向下平移后得到的，那么这条直线的解析式是_______________．

变式3-1 将正比例函数y=3x的图象向上平移后得直线AB，若AB经过点(m，n)，且3m-n+6=0，则直线AB对应的函数表达式为__________．

变式3-2 把直线向上平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式为____．

重点4 利用几何图形求一次函数的解析式

例4.  如图在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点，轴，若，，的面积为6，点为，所在直线的解析式为，则所在直线的解析式为________．

变式4-1 如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是_____．

变式4-2 如图,平面直角坐标系中,□OABC的顶点A坐标为(6,0),C点坐标为(2,2),若经过点P(1,0)的直线平分□OABC的周长,则该直线的解析式为_______________.

（例4图）                     （变式4-1图）                    （变式4-2图）

重点5 与坐标轴的交点

例5.直线与轴交点坐标为_____________．

变式5-1 直线y＝2x﹣4与x轴的交点坐标是_____．

变式5-2 一次函数y= -2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 _____.

变式5-3 如果直线 y=-2x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积是 9，则 k的值为_____．

1.下列函数关系式：①y＝－2x；②y＝；③y＝－2；④y＝2；⑤y＝2x－1.其中是一次函数的是（     ）

A．①⑤ B．①④⑤ C．②⑤ D．②④⑤

2．一次函数的图象经过（       ）

A．第一、二、三象限      B．第二、三、四象限    C．第一、二、四象限     D．第一、三、四象限

3．直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

4．一次函数的图象与y轴的交点坐标是(       )

A．(4，0) B．(0，4) C．(2，0) D．(0，2)

5．一次函数满足，且y随x的增大而减小，则此函数的图像一定不经过(          )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（     ）

A．-5 B．5 C．-6 D．6

7．下列有关一次函数的说法中，正确的是（       ）

A．的值随着值的增大而增大     B．函数图象与轴的交点坐标为

C．当时，              D．函数图象经过第二、三、四象限

8．一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，它的图象是（　　）

A． B． C． D．

9.一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数，且mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）

A．      B．   C．     D．

10．将直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为____．

11．若点M(k﹣1，k+1)关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k﹣1）x+k的图象不经过第________象限．

12．含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(-2，0)，B(0，1)，则直线BC的解析式为______．

13．已知一次函数y＝（2m＋1）x＋m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围为______．

14．已知点A（x1， y1)、B(x2， y2)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为________.

15．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．

（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；

（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．

16．在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（2，a），B（3，﹣3）.

（1）求直线AB的函数表达式；    （2）求a的值；         （3）求△AOP的面积.

17.已知：如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与x轴交于点B．（1）求m，a的值；   （2）求点B的坐标；    （3）求的面积

18.已知直线：y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：y＝﹣x+4与y轴交于点C．

（1）如图1，若＝6，求A、B两点坐标．

（2）在（1）的条件下，直线上是否存在点P使得＝？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．

（3）当m为何值时，△ABC为等腰三角形？请直接写出m的值．