数学八年级下册19.2.2 一次函数导学案及答案

知识点01  数学建模的一般思路

数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.

知识点02  正确认识实际问题的应用

在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.

注意：

要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.

知识点03  选择最佳方案问题

运用一次函数选择最佳方案的一般步骤：

（1）从数学角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）

（2）列出不等式或方程（组），求出自变量取不同值时对应的函数值，比较它们的大小

（3）结合实际需求，选择最佳方案

知识点04  题型类型

1、方案分配问题；2、最大利润问题；3、行程问题；4、几何问题；5、分段函数问题；6、其他问题

类型一、方案分配问题 

例1．五一小长假，两位家长计划带领若干名同学去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费，假如这两位家长带领x名同学去旅游．

(1)请分别求出甲、乙旅行社的收费．（用x的代数式表示）

(2)他们应该选择哪家旅行社？请说明理由．

变式1-1（2022·宁夏·银川市第三中学八年级阶段练习）为了方便老师工作，某中学决定购进一批教学用具，在购买教学用具时，该校从甲、乙、丙三家商场了解到同一种型号教学用具的优惠条件如下：

甲：定价为90元，超过5个，超过的部分每个优惠20%；   

乙：定价为90元，每个优惠10% ；

丙：购会员卡100元，每个教学用具70元．

(1)设该校购买x个教学用具，选择甲商场时，所需费用为y1元；选择乙商场时，所需费用为y2元；选择丙商场时，所需费用为y3元；请分别求出y1 ，y2 ，y3与x之间的函数关系式；

(2)当购买教学用具数量大于多少件时，y2＞y3？

变式1-2（2022·陕西西安·一模）蓝田樱桃果实大，细嫩多汁，甜酸适口，娇艳欲滴、馥郁甜香，极具地方特色、小张想在蓝田县某果园购买一些樱桃，经了解，现有甲、乙两家樱桃园的樱桃可供采摘，这两家樱桃的品质相同，定价均为每千克20元，但两家果园的采摘方案不同：

甲樱桃园：游客进园需购买32元的门票，采摘的樱桃按定价的6折优惠；

乙樱桃园：不需要购买门票，采摘的樱桃按定价付款不优惠．

设小张采摘的樱桃数量为x千克，他在甲乙果园采摘所需总费用分别为、元．

(1)分别求出、与x之间的函数关系式；

(2)小张应选择哪家樱桃园采摘樱桃更划算？

类型二、最大利润问题 

例2．（2022·山东青岛·八年级期末）某商店销售A，B两种商品，售价与成本如表所示：

该商店销售A，B两种商品共200件，设其中A种商品销售x件，总利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式；

(2)为了开拓市场，该商店购进A种商品不得少于50件．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件?可获得的最大利润为多少元?

变式2-1 （2022·陕西·凤翔县教学研究室一模）凤翔彩绘泥塑是陕西省宝鸡市凤翔县的一种传统民间艺术，在国内外享有盛誉．因其造型夸张，色彩鲜艳，深受人们喜爱．某超市同时购进甲、乙两种凤翔泥塑共300件，其进价和售价如下表，设购进甲种泥塑x件，销售完300件泥塑的总利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式；

(2)该超市计划最多投入8000元用于购进这两种泥塑，购进多少件甲种泥塑，超市售完这些泥塑可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？

变式2-2（2022·河南·一模）娄底市某学校计划为“最美天使”演讲比赛购买口罩．已知购买2个口罩和4个一次性医用外科口罩共需50元；购买5个口罩和2个一次性医用外科口罩共需85元．

(1)求口罩和一次性医用外科口罩的单价各是多少元？

(2)该学校准备购买口罩和一次性医用外科口罩共3000个，且口罩的数量不少于一次性医用外科口罩数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

变式2-3 某商店进货A、B两种冬奥会纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．

(1)求A，B两种纪念品每件的进价；

(2)若每件A种纪念品在进价的基础上提高20元销售，每件B种纪念品在进价的基础上提高10元销售，用1万元进货，且A种纪念品不少于100件，则这批货销售完，最高利润是多少？

类型三、行程问题 

例3．（2022·陕西咸阳·八年级期末）周末，小丽和爸爸妈妈开车去了离家180千米的姥姥家，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，根据图象解答下列问题：

(1)当时，求y与x之间的函数关系式；

(2)当他们离目的地还有15千米时，求汽车一共行驶的时间．

变式3-1（2022·陕西·西安高新第一中学初中校区一模）如图是某汽车行驶的路程（千米）与时间（分钟）之间的函数关系图，观察图中所提供的信息，解答下列问题：

(1)汽车在分钟内的平均速度是多少？

(2)汽车在中途停了多少分钟？

(3)当时，求关于的函数关系式．

变式3-2（2022·浙江·浦江县实验中学八年级阶段练习）甲、乙两人从同一点出发，沿着跑道训练400米速度跑，甲比乙先出发，并且匀速跑完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的3倍．设甲跑步的时间为x（s），甲、乙跑步的路程分别为（米）、（米），、与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)乙比甲晚出发__________s，乙提速前的160速度是每秒___________米．

(2)m＝__________，n＝_________；

(3)求当甲出发几秒时，乙追上了甲？

类型四、几何问题 

例4．（2022·山东枣庄·八年级期末）平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．

(1)求这两个函数的表达式；

(2)在轴上有一动点，过点作直线垂直于轴，交直线于点，交直线于点．

①当时，求的面积；

②当的长为4时，求点的坐标．

变式4-1如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线经过点B与点．(1)求A、B点的坐标；        (2)求直线的表达式；

(3)在x轴上有一动点，过点M做x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，若EF＝OB，求t的值．

变式4-2（2022·湖北孝感·八年级期末）如图，已知，，且满足．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)如图1，若已知，过B作BF⊥BE且BF＝BE．连AF交y轴于G点，求G的坐标；

(3)如图2，若点C是第一象限内的点，且∠OCB＝45°，过A作AD⊥OC于D点，求证：AD＝CD．

类型五、利用一次函数解决分段函数问题

例5.已知“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，商家给出以下购买方案：当购买的数量不超过2kg时，按原价售出，如果一次购买2kg以上的种子，其中2kg以内的按原价，超过2kg的部分打8折．若某人购买了3千克种子，则需付款______元；设某人的购买量为xkg，付款金额为y元，则付款金额y关于购买量x的函数解析式为______．

变式5 上海某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示，那么当成人按规定剂量服用后，根据图象回答下列问题．

(1)服药后几小时，血液中含量最高；最高每毫升多少微克？

(2)当2≤x≤8时，y关于x的函数解析式；

(3)如果每毫升血液中含药量为3微克或3微克以上时治疗疾病最有效，那么这个新药的有效时长是多少小时？

类型六、其他问题 

例6．（2022·安徽滁州·八年级期末）2022年新春佳节快到了，某校八年级志愿者打算发起为社区孤寡老人们献上真挚的节日祝福活动，决定组织学生开展卖春联筹集慰问金活动．已知同学们从杂货店按每幅1.5元购买进春联，并按每幅4.5元卖出．

(1)求同学们卖出春联的销售额y（元）与销售量x（支）之间的函数关系式；

(2)若从杂货店购买春联的同时，还总共用去40元购买包装袋，求所筹集的慰问金w（元）与销售量x（幅）之间的函数关系式；若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出春联多少幅？（慰问金＝销售额－成本）

变式6-1 （2022·陕西宝鸡·八年级期中）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：

(1)求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）

(2)小明身高为142cm，一般情况下他的指距应是多少cm?

变式6-2 甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升，气球所在位置距离地面的高度（单位）与气球上升的时间（单位）之间的函数关系如图所示．下列说法①甲气球上升过程中与的函数关系为：；②时，甲气球在乙气球上方；③两气球高度差为时，上升时间为；④上升时，乙气球距离地面高度为．其中错误的有_______．（将所有错误的序号都填上）

变式6-3（2022·辽宁盘锦·八年级期末）某乡为了解决干旱问题，要在某河道处建一座水泵站，分别向河同一侧的张村A和李村B送水，经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O点为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系，如图所示，两村的坐标分别为A(2，3)，B(12，7)．

(1)若从节约经费的角度考虑，水泵站建在距离大桥O点    千米的C点可使所用输水管最短．

(2)水泵站建在距离大桥O     千米点的D点，可使它到张村、李村的距离相等．（利用尺规作图请在图中分别标出点C、D的位置，再填空．不写做法，不用证明）

1．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是(       )

A．Q＝0.2t          B．Q＝20﹣0.2t        C．t＝0.2Q         D．t＝20﹣0．2Q

2．汽车由A市驶往相距120km的B市，它的平均速度是30km/h，则汽车距B市的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量的取值范围是                            （        ）

A．      B．    C．    D．

3．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地，甲、乙两人行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则下列说法错误的是（       ）

A．乙经过小时追上甲                             B．甲的速度为12km/h

C．在返回途中二人相遇时离A地的距离是4km         D．乙上坡的速度为10km/h

4．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法中正确的有（     ）

①；②甲的速度是60km/h；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地180km．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

（题3图）                                （题4图）

5．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：

请问：李老板最少要花掉租金（       ）．A．15000元   B．16000元 C．18000元 D．20000元

6．联通公司推出两种手机收费方案．方案一：月租费36元，本地通话话费元/分；方案二：不收月租费，本地通话费为元/分．设小明的爸爸一个月通话时间为分钟．小明爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案一比方案二优惠（       ）

A．60分钟 B．70分钟 C．72分钟 D．80分钟

7．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：

①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；

②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；

③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；

④甲的速度是乙速度的一半．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

8．某市出租车价格是这样规定的：不超过2千米付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x（）千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的关系式为____________．

9．元旦期间，大兴商场搞优惠活动，其活动内容是：凡在本商场一次性购买商品超过100元者，超过100元的部分按8折优惠．在此活动中，小明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒（）件，则应付款（元）与商品数（件）之间的关系式，化简后的结果是______．

10．为了加强训练，迎接中考体育考试，某校某班准备集体购买一批足球和排球，购买2个足球和5个排球需270元；购买4个足球和3个排球需260元．

(1)求足球和排球的单价各是多少？

(2)若某班上计划购买足球和排球共50个，且购买的排球数不低于足球数的3倍，求足球和排球各购买多少个时，所需费用最低？最低费用为多少？

11．为了迎接十四运的召开，绿色西安也将呈现在全国观众面前．市政想绿化某主干道中间的隔离带，准备在隔离带内种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米80元．

(1)请求出当甲种花卉种植面积不少于时，y与x之间的函数关系式；

(2)隔离带内甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，设种植总费用为W元，求出W与x之间的函数关系式，并求出隔离带内种植花卉总费用最少为多少元？

12．某商场每周固定购进100套某种体育用品进行销售．经统计发现：当售价不超过20元时，该体育用品会全部售完；当售价达到45元时，该体育用品会无法售出；当售价不少于20元且不超过45元时，销量（套）是售价（元）的一次函数．

(1)求当时，与的函数关系式；

(2)当售价为多少元时，该体育用品的周销售额达到最大？并求出最大值．