2022连云港东海县高二下学期期中考试数学含解析

2021～2022学年第二学期期中考试

高二数学试题

用时：120分钟  满分：150分

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1. 从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数为（    ）

A. 6 B. 7 C. 15 D. 30

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，从6名同学中选出正、副组长各1名是个排列问题，可得答案.

【详解】从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有种，

故选：D

2. 已知随机变量，且，则的值为（    ）

A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性即可求解.

【详解】解：，

故选：C.

3. 被除的余数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用二项式定理展开，可得出被除的余数.

【详解】因为

，

因此，被除的余数是.

故选：A.

4. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.

【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，故从甲箱中摸到红球的概率为；

从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，故从乙箱中摸到红球的概率为；

综上所述：摸到红球的概率为

故选：C

5. 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出随机变量、、时的概率，再利用互斥事件的加法公式计算作答.

【详解】依题意，随机变量满足的事件是、、的3个互斥事件的和，

而，，，

所以.

故选：B

6. 在直三棱柱中，，，若，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作中点，连接，证为与所成角，再根据余弦定理去求的余弦值即可

【详解】如图，作中点，连接，在直三棱柱中，由，分别是，的中点，得，所以四边形为平行四边形，所以，所以为与所成角，由，设，易得，由余弦定理得，

故选：B

7. 在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.

【详解】由已知，

所以，，

故选：D.

8. 设，则（    ）

A 10206 B. 5103 C. 729 D. 728

【答案】A

【解析】

【分析】首先两边同时取导数，再写出展开式的通项，最后利用赋值法计算可得；

【详解】解：因为，

两边同时取导数得，

其中展开式的通项为，

所以当为奇数时系数为负数，为偶数时系数为正数，

即，，，，，，，

令，则，

所以；

故选：A

二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

9. 根据变量与的对观测数据，求得相关系数，线性回归方程，则下列说法正确的是（    ）

A. 与正相关且相关性较弱

B. 与负相关且相关性很强

C. 每增加1个单位时平均减少0.6

D. 若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据相关系数的意义可判断AB，由线性回归方程的斜率可判断C，因为回归方程过中心点，故将代入回归方程即可判断D．

【详解】因为相关系数，线性回归方程，则与负相关且相关性很强；

因为线性回归方程的斜率为，则每增加1个单位时平均减少0.6；故A错，BC正确；

因为回归方程过中心点，若，则，故D错．

故选：BC

10. 设随机变量的可能取值为，并且取是等可能的.若，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由等可能得出，结合求出值，再由期望公式和方差公式计算后判断.

【详解】由题意，

，，

，

，

.

故选：AC.

11. 下列等式成立的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用排列数公式推理、计算判断A，B；利用组合数公式、组合数性质推理、计算判断C，D作答.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C不正确；

对于D，由组合数性质：知，，D正确.

故选：ABD

12. 在棱长为1的正方体中，点，分别是上底面和侧面的中心，则（    ）

A.

B.

C. 点到平面的距离为

D. 直线与平面所成的角为60°

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立图所示的直角坐标系,利用向量法逐一求解.

【详解】解：建立图所示的直角坐标系，

由题意得,

所以,

所以,故A错，

,故B对，

设平面的法向量为，则,即,令，得

，故点到平面的距离，

故C对，

根据正方体的可知，平面,故直线与平面所成的角的正弦值为：

,又，故60°，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13. 已知，，则_______.

【答案】6

【解析】

【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.

【详解】由，，得

，，

.

.

故答案为：.

14. 在的展开式中，含的项的系数是_______.

【答案】25

【解析】

【分析】根据多项式乘法法则得结论.

【详解】是由题中五个一次式中4个取，一个取常数项相乘得出，所以其系数为.

故答案为：25.

15. 在件产品中，有件合格品，3件不合格品.若从中任意抽出2件，至少有一件不合格品的概率为，则_______.

【答案】12

【解析】

【分析】根据题意可求其对立事件的概率，再解方程求解.

【详解】依题意得，至少有一件不合格品的概率为

所有都合格的概率为，

即 ，

化简得

解得：或（舍去）

故答案为：.

16. 4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，1.将这4张卡片排成一排，可构成_______个不同的四位数.（用数字作答）

【答案】336

【解析】

【分析】根据给定条件，按出现1的个数分类，求出每一类中四位数个数即可计算作答.

【详解】依题意，4张卡片应全部取出，含数字1的卡片用数字只有1种方法，不用1也只有1种方法，

当四位数中没有数字1时，排卡片有种方法，含有数字1的卡片只能用2和7，

不含数字1的卡片上数字各有两种取法，从而得四位数有个，

当四位数中有一个数字1时，选一张含有数字1的卡片有种方法，排卡片有种方法，不含数字1的卡片上

数字各有两种取法，从而得四位数有个，

当四位数中有两个数字1时，取两个数位排含数字1的卡片，有种方法，另两个数位排不含数字1的卡片，

有种方法，不含数字1的卡片上数字各有两种取法，从而得四位数有个，

由分类加法计数原理得：不同四位数有个.

所以可以构成不同四位数个数是336.

故答案为：336

【点睛】思路点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．

四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.学校从全体学生中随机抽取了200人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示：

（1）根据所提供数据，完成列联表；

（2）判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）表格见解析   

（2）有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.

【解析】

【分析】（1）根据题意，即可得到 列联表；

（2）根据列联表中数据，求得，结合附表，即可得到结论.

【小问1详解】

解：根据题意，得到 列联表为：

【小问2详解】解：提出假设：对“网络安全宣传倡议”了解情况与性别无关，

根据列联表中数据，可以求得，

因为当成立时，，这里的，

所以我们有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.

18. 如图，在正方体中，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，交交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；

（2）以为正交基底建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：在正方体中，连接，交交于点，则为中点，

因为为中点，所以，

又因为平面，平面，所以平面.

【小问2详解】

解：在正方体中，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系

设正方体的棱长为2，则，，，，

所以，，

设平面的一个法向量，则，

取，可得，所以平面的一个法向量为，

又平面的一个法向量为，

所以，

又由二面角为钝二面角，所以二面角余弦值为.

19. 已知某型号汽车的平均油耗（单位：L/100km）与使用年数之间有如下数据：

（1）利用最小二乘法求关于的线性回归方程；

（2）试估计该型号汽车使用第8年时的平均油耗.（附：，）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据表格所给数据运用最小二乘法求其线性回归方程即可；

（2）利用（1）的线性回归方程，将第年代入方程即可估计平均油耗.

【小问1详解】

由表中数据可得：

，

代入公式，求得回归系数

，

因此，线性回归方程为：

【小问2详解】

由（1）知，

当时，，

所以，该型号汽车使用第8年时的平均油耗约为.

20. 甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为.如果比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”比赛规则.

（1）求甲获胜的概率；

（2）记甲、乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，即可求解.

(2)列出的所有取值，求出对应概率，再列出分布列，即可求出期望.

【小问1详解】

记甲获胜为事件，说明甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，

所以

答：甲获胜的概率为

【小问2详解】

可能取值是3、4、5，

所以

则

21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，点在线段上（不与端点重合），.

（1）求证：平面；

（2）是否存在点使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）在正方形中，可得，又由，根据线面垂直的判定定理，，即可证得平面；

（2）以为正交基底建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，结合直线与平面所成角为，列出方程求得的值，即可得到结论.

【小问1详解】

证明：在正方形中，可得，

又由，且，平面，平面，

根据线面垂直的判定定理，可得平面.

【小问2详解】

解：在平面中，过点作交于点.

由（1）知平面，所以，又由，

以为正交基底建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

设，则，所以，

，

设平面的一个法向量为，则，

取，可得，所以平面的一个法向量，

因为直线与平面所成角为，

所以，解得

综上可得，存在点使得直线与平面所成角为，且.

22. 2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，记小明得分的概率为，.

（1）求，的值；

（2）求.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

分析】（1）由得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，根据互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解；

（2）由小明得分有两种情况，一种是小明在得分的情况下又答1题错误；另一种是小明在得分的情况下又答1题正确，可得，进而利用配凑法，根据等比数列的定义可得是以为首项，为公比的等比数列，则有，从而利用累加法可求.

【小问1详解】

解：得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，所以，

得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，所以；

【小问2详解】

解：因为小明得分有两种情况，一种是小明在得分的情况下又答1题错误；

另一种是小明在得分的情况下又答1题正确.

所以，即，

因为，

所以，

因此是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

当时，，

，

又符合上式，

所以.