2022成都蓉城名校联盟高二下学期期中联考试题数学（理）含解析

蓉城高中教育联盟2021～2022学年度下期高中2020级期中联考

理科数学

考试时间120分钟，满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列求导运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

3. 已知，，则向量与的夹角为（    ）

A. 90° B. 60° C. 30° D. 0°

4. 四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，曲线，与x轴所围成的封闭区域的面积为（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

6. 函数在上的最大值为（    ）

A  B.  C. 2 D. 5

7. 曲线在横坐标为1的点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 若函数在区间上单调递增，则k取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

12. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若直线l一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．

14. 直线l、m的方向向量分别为、，则直线l、m的夹角为______．

15. 圆柱内接于半径为3的球，当圆柱体积最大时其底面半径为______．

16. 1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有______．

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算:

（1）定积分的值；

（2）求函数的导数．

18. 已知函数在处有极值．

（1）求a，b的值；

（2）求的单调区间．

19. 已知曲线．

（1）若，过点作的切线，求切线的方程；

（2）当有3个零点时，求a的取值范围．

20. 如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，AB⊥AC，M，N，P，D分别为，BC，，的中点．

（1）求证：面；

（2）求平面PMN与平面夹角的余弦值．

21. 某商场销售某种商品，该商品每日销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：百元/件）满足关系式，其中，a为常数．已知销售价格为6百元/件时，每日可售出该商品11件．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为4百元/件，当销售价格x为多少百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润．

22. 已知函数．

（1）当时，证明：当时，；

（2）若，函数在区间上存在极大值，求a取值范围．