初中数学21.1 一元二次方程优秀课堂检测

人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编

专题02 解一元二次方程

考试时间：120分钟 试卷满分：100分

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2022八下·淮北期末）若实数a，b，c满足，则（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【完整解答】解：∵，

∴，

∴

故答案为：C

【思路引导】先求出，再代入计算求解即可。

2．（2分）（2022八下·柯桥期末）方程（x－2）2 = 4（x-2）（　　）

A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2

【答案】D

【完整解答】解：移项得
（x－2）2 - 4（x—2） =0
（x-2）（x-2-4）=0
∴x-2=0或x-6=0，
解之：x1=2，x2=6.
故答案为：D.
【思路引导】观察方程的特点：将（x-2）看着整体，方程两边都含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.

3．（2分）（2022·贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（　　）

A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0

【答案】B

【完整解答】解：根据题意，

∵是一元二次方程的一个根，

把代入，则

，

解得：；

∴，

∴，

∴，，

∴方程的另一个根是；

故答案为：B.

【思路引导】将x=-2代入方程中可得m的值，则方程可化为x2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据此解答.

4．（2分）（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（　　）

A．2或6 B．2或8 C．2 D．6

【答案】A

【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，

∴，

∴

∵是方程的两个实数根，

∵，

又

∴

把代入整理得，

解得，

故答案为：A.

【思路引导】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m，x1x2=m2-4m-1，然后结合已知条件可得m的值.

5．（2分）（2022·雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．9

【答案】C

【完整解答】解：x2+6x+c＝0，

移项得：

配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：

故答案为：C.

【思路引导】首先将常数项c移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+3)2=9-c，结合题意可得9-c=2c，求解可得c的值.

6．（2分）（2022九下·泉州开学考）已知x，y为实数，且满足 ，记 的最大值为M，最小值为m，则 （　　）. 

A． B． C． D．

【答案】C

【完整解答】解：∵ ， 

∴ ，

∴ ，

∵

，

当且仅当   ，

即   ，   ，

或   ，   时，等号成立，

∴ 的最小值为   ，

∴ 最小值为：   ，

即   ，

∵

，

当且仅当   时，

即   ，   ，

或   ，   时等号成立，

∴ 的最大值为   ，

∴ 的最大值为   ，

即   ，

∴ ，

故答案为：C.

 【思路引导】利用已知等式可得  ，根据  =，根据偶次幂的非负性知当且仅当时， 的最小值为  ，即可得出

最小值为   ，即   ；根据  

，根据偶次幂的非负性当且仅当   时，   的最大值为   ，即得M，再代入计算即可.

7．（2分）（2021七下·娄底期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（　　） 

A．非负数 B．0 C．正数 D．负数

【答案】C

【完整解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1

＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，

∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，

∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，

即原式的值总是正数.

故答案为：C.

【思路引导】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．

8．（2分）（2020八上·越秀期末）若 ， ， 是 的三边长，且 ，则 的形状是（　　）  

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．等边三角形 D．不能确定

【答案】C

【完整解答】解：∵ ，

∴2 ，

∴ ，

∴a=b=c

∴这个三角形是等边三角形．

故答案为：C．

【思路引导】首先利用完全平方公式对等式进行变形，然后利用平方的非负性得出a、b、c的数量关系，即可判定．

9．（2分）（2019九上·涪城月考）若点 是抛物线 上的点,则 的最小值是（　　）  

A． B． C． D．

【答案】C

【完整解答】解：根据题意可得：

把 的坐标代入表达式，即：

，

，

函数的最值为 ，

所以代入得 的最小值为： ；

故答案为：C.

【思路引导】根据题意把 的坐标代入表达式，得出 ,求 的最小值即： ，求出最小值即可.

10．（2分）（2022·海陵模拟）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是（　　）

A．x＞y B．x＝y

C．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能

【答案】A

【完整解答】解：∵3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，

∴，

∴，

∵不论a为何值，，

∴，

∴，

∴．

故答案为：A．

【思路引导】先求出，再求出，最后求解即可。

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（2022·福建）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为　     　.

【答案】8

【完整解答】解： 把y=0代入得：，

解得：，，

把y=0代入得：，

解得：，，

∵，

∴，

∴，

即，

，

令，则，

解得：，，

当时，，解得：，

∵，

∴不符合题意舍去；

当时，，解得：，

∵，

∴符合题意；

综上分析可知，n的值为8.

故答案为：8.
【思路引导】把y=0代入y=x2+2x-n中可得x2+2x-n=0，利用公式法表示出x1、x2，同理表示出x3、x4，根据AD=2BC可得AD2=4BC2，即(x1-x4)2=4(x2-x3)2，代入化简可得，然后利用换元法进行求解即可.

12．（2分）（2022·绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为　     　．

【答案】20

【完整解答】解：∵

△=9-4=5＞0，

∴，，

∴=，

故答案为：20；

【思路引导】先求出一元二次方程的解，再将其代入计算即可。

13．（2分）（2022·四川）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是　     　．

【答案】6

【完整解答】解： ∵a－b2＝4，
∴b2＝a-4，
a2－3b2＋a－14
=a2-3(a-4)+a-14
=a2-2a-2
=(a-1)2-3，
∵b2＝a-4≥0，
∴a≥4，
∵当a>1时，a2-2a-2的值随a增加而增大，
∴当a=4时，a2-2a-2的最小值为6，
即a2－3b2＋a－14的最小值是6.
故答案为：6.

【思路引导】由a－b2＝4得出b2＝a-4，将其代入原式得到一个关于a的二次三项式，先求出a的范围为a≥4，然后根据二次函数的性质求最值即可.

14．（2分）（2022八下·嵊州期中）已知方程 ，则 的值为　     　．

【答案】3

【完整解答】解：∵ ，
∴，
∴ 或，
∴ 或（舍去），
∴.
故答案为：3.
 

【思路引导】把  看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程，舍去不符合题意的值，即可解答.

15．（2分）（2020七上·重庆月考）已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值等于　     　.

【答案】4

【完整解答】解：∵m﹣n2=1，

即n2=m-1≥0，

∴m≥1，

∵，
∴（m+3）2≥16，

∴（m+3）2-12≥4，

∴代数式 有最小值：4

故答案为：4

【思路引导】把m-n2=1变形为n2=m-1，利用非负数的性质可得出m的取值范围，先把 将代数式转化为只含字母m的代数式，再配方根据非负数的特点求出（m+3）2的范围，则知的范围，从而得出最小值.

16．（2分）已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2=　     　．

【答案】39

【完整解答】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，

∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2=80，

（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1=80，

2（x﹣2017）2+2=80，

2（x﹣2017）2=78，

（x﹣2017）2=39．

故答案为：39

【思路引导】利用完全平方公式进行化简，然后开根号，求解。

17．（2分）设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　     　．

【答案】3

【完整解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，

∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，

即原式=0+0+3=3，

∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．

故答案为：3

【思路引导】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.

18．（2分）（2022·柳江模拟）一元二次方程的解是　              　.

【答案】

【完整解答】解：，

，

.

故答案为：.

【思路引导】观察方程的特点：此方程缺一次项，因此利用直接开平方法解方程即可.

19．（2分）（2022·泗洪模拟）已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝　         　时，这个二次三项式的值等于﹣1.

【答案】﹣1或﹣5

【完整解答】解：由时，代数式的值等于，可得，

解得：

∴二次三项式为

令二次三项式的值为得：

移项得：

∴

解得，

故答案为：或.

【思路引导】由于当x＝−2时，代数式的值等于−4，故把x＝−2代入代数式之后可得到关于m的方程，进而求出m的值；再令代数式的值等于−1，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程，就可以求出对应的x的值．

20．（2分）（2022·南通模拟）已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，进而可知 的最小值是 4.依此方法，代数式 的最小值是　     　.

【答案】1

【完整解答】解：

所以代数式 的最小值是1；

故答案为：1.

【思路引导】根据配方法，将原式化为一个平方式与一个常数的和，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可.

三．解答题（共8小题，满分60分）

21．（6分）（2022八下·惠山期末）解方程：

（1）（3分）；

（2）（3分）.

【答案】（1）解：(x+1)(x-7)=0

(x+1)=0，(x-7)=0

（2）解：

x(x+1)-(x-1)(x+1)=3

x=2

检验：当x=2时，(x-1)(x+1) ≠0，

x=2是原方程的解.

【思路引导】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，观察方程发现方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可；
（2）给方程两边同时乘以(x-1)(x+1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即可.

22．（4分）（2022·建湖模拟）先化简，再求值：，其中.

【答案】解：原式，

，

.

∵，

∴，

解得，，

∵ 且 且，

∴当时，原式，

∴化简结果为，值为6.

【思路引导】对第一个分式的分子进行分解，同时通分计算括号内异分母分式的减法，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，利用因式分解法求出方程的解，然后选取一个使分式有意义的x的值代入进行计算即可.

23．（5分）（2022八下·长沙竞赛）已知关于x的方程 只有一个实数根，求实数a的值. 

【答案】解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0，△=4（2a－1），

（1）当△=0，即a= 时，显然x= 是原方程的解.

（2）当△＞0，即a＞ 时，x1= （1+ ），x2= （1－ ），

显然x1＞0，∴x1≠－1，x1≠0，它是原方程的解，

∴只需x2=0或－1时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根，

∴当x2=0时，即 （1－ ）=0，得：a=1；

当x2=－1时，即 （1－ ）=－1，得：a=5.

综上，当a= ，1，5时原方程只有一个实数根.

【思路引导】将原方程去分母得到整式方程，算出方程根的判别式的值，分当△=0时，a=，显然x=是原方程的解；当△＞0时，根据求根公式求出x，只需x2为增根，此时原方程只有一个实数根，求解可得a的值.

24．（5分）（2022八下·金华月考）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，求这个三角形的周长.

【答案】解：由题意得：

①当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程x2﹣4x+k＝0得：

，

解得：，

∴原方程为x2﹣4x+3＝0，

解得：，，

∴这个等腰三角形的三边长为3、3、1，符合三角形三边关系，

∴这个三角形的周长为3+3+1=7；

②当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，

∴，

解得：，

∴原方程为x2﹣4x+4＝0，

解得：，

∴这个等腰三角形的三边长为3、2、2，符合三角形三边关系，

∴这个三角形的周长为3+2+2=7；

故这个三角形的周长是7.

【思路引导】①当边长3是等腰三角形的腰长时，把x=3代入方程中求出k的值，然后求出方程的解，根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长；②当边长3是等腰三角形的底边时，根据判别式为0求出k的值，然后求出方程的解，根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长.

25．（5分）若a为一元二次方程x2- x=-4的较大的个根，b为一元二次方程（y-4）2=18的较小的一个根，求a-b的值.

【答案】解：方程x2-4 x=-4配方得（x-2 ）2=4，

得x1=2 +2，x2=2 -2.

解方程（y-4）2=18，得y1=3 +4，y2=-3 +4.

由题意，得a=2 +2，b=-3 +4.

∴a-b=（2 +2）-（-3 +4）=5 -2

【思路引导】先根据配方法分别解方程x2- x=-4，结合a是较大的根，确定a值，再利用直接开平方法解方程（y-4）2=18 ，结合b是较大的根，确定b值，最后代值计算即可.

26．（9分）（2022七下·苏州期中）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：

材料一：已知m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值.

解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，

∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，

∴（m-n）2+（n-4）2=0，

∵（m-n）2≥0，（n-4）2≥0

∴（m-n）2=0，（n-4）2=0

∴m=n=4.

材料二：探索代数式x2+4x+2与-x2+2x+3是否存在最大值或最小值？

①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2.

∴代数式x2+4x+2有最小值-2；

②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，∵-（x-1）2≤0，∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4.

∴代数式-x2+2x+3有最大值4.

学习方法并完成下列问题：

（1）（1分）代数式x2-6x+3的最小值为　     　；

（2）（4分）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？

（3）（4分）已知△ABC的三条边的长度分别为a，b，c，且a2+b2+74=10a+14b，且c为正整数，求△ABC周长的最小值.

【答案】（1）-6

（2）解：由题意，长方形平行于围墙的一边长度为（100-2x）米

花圃的最大面积为：平方米

∵，且

∴

所以花圃的最大面积为1250平方米

（3）解：∵a2+b2+74=10a+14b

∴（a2-10a+25）+（b2-14b+49）=0

即

∵，

∴，

即a−5=0，b−7=0

∴a=5，b=7

根据三角形三边的不等关系，7-5<c<7+5

即2<c<12

∵c为正整数

∴c=3，4，5，6，7，8，9，10，11这几个数

∵△ABC的周长为a+b+c=12+c

∴当c=3时，△ABC的周长最小，且最小值为12+3=15

【完整解答】解：（1）x2-6x+3=（x2-6x+9）-6=（x-3）2-6

∵（x+2）2≥0

∴x2-6x+3=（x-3）2−6≥-6

∴代数式x2+4x+2有最小值-6

故答案为：-6；

【思路引导】（1）对原式进行配方可得x2-6x+3=(x-3)2-6，然后结合偶次幂的非负性可得代数式的最小值；
（2）由题意可得：长方形平行于围墙的一边长度为(100-2x)米，根据矩形的面积公式可得花圃的面积为x(100-2x)平方米，配方可得x(100-2x)=-2(x-25)2+1250，根据偶次幂的非负性可得面积的最大值；
（3）对已知条件进行变形可得(a-5)2+(b-7)2=0，根据偶次幂的非负性可得a-5=0、b-7=0，求出a、b的值，根据三角形的三边关系可得c的范围，结合c为正整数可得c的取值，据此不难求出△ABC周长的最小值.

27．（14分）（2021九上·隆昌期中）（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用.

例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式.

配方：x2﹣6x+8

＝x2﹣6x+32﹣32+8

＝（x﹣3）2﹣1

分解因式：x2﹣6x+8

＝（x﹣3）2﹣1

＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）

＝（x﹣2）（x﹣4）

（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：

（1）（3分）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式.

（2）（3分）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式.

（3）（4分）若a、b、c分别是 ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断 ABC的形状，并说明理由.

（4）（4分）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.

【答案】（1）解：x2﹣4x﹣5

＝x2﹣4x+22﹣22﹣5

＝（x﹣2）2﹣9.

（2）x2﹣2x﹣35

＝x2﹣2x+1﹣1﹣35

＝（x﹣1）2﹣62

＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）

＝（x+5）（x﹣7）.

（3）△ABC为等边三角形，理由如下：

∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，

∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，

∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，

∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，

∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，

∴a＝b，b＝1，c＝1，

∴a＝b＝c，

∴△ABC为等边三角形.

（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15

＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2

＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，

∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，

∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，

∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.

【思路引导】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方；
（2）利用配方法进行变形，再利用平方差公式分解即可；
（3） △ABC为等边三角形，理由 ：将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形为（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， 再根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，从而判断即可；
（4）利用配方法将原式变形为（x+2）2+（y﹣3）2+2，再据偶次幂的非负性进行判断即可.

28．（12分）（2022八下·济南期末）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：

例1．分解因式：

x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4

＝（x+1）2﹣4

＝（x+1+2）（x+1﹣2）

＝（x+3）（x﹣1）

例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：

2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6

＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6

＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6

＝2（x﹣1）2﹣8

又∵2（x﹣1）2≥0

∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．

仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：

（1）（4分）分解因式：m2﹣6m﹣7；

（2）（4分）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；

（3）（4分）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．

【答案】（1）解：m2﹣6m﹣7

＝m2﹣6m+9﹣9﹣7

＝（m﹣3）2﹣16

＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）

＝（m+1）（m﹣7）

（2）解：2x2+y2﹣8x+6y+20

＝（2x2﹣8x）+y2+6y+9+11

＝2（x2﹣4x+4﹣4）+y2+6y+9+11

＝2（x﹣2）2﹣8+（y+3）2+11

＝2（x﹣2）2+（y+3）2+3．

∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，

∴当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3．

（3）解：∵a2+b2＝8a+6b﹣25，

∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0，

∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0

∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，

∴a＝4，b＝3

∵4﹣3＜c＜4+3，

∴1＜c＜7，

∵c为正整数，

∴c最大取6．

∴△ABC周长的最大值＝3+4+6＝13，

∴△ABC周长的最大值为13．

【思路引导】（1）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）先化简代数式，再根据 2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， 求解即可；
（3）根据题意先求出 a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0， 再求出 a＝4，b＝3 ，最后求解即可。