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2023年河南省周口市中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年河南省周口市中考数学一模试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省周口市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
2．（3分）“石瓢”最早称为“石镜”，后来顾景舟引用“弱水三千，只取一瓢”，改称“石镜”为“石瓢”，从此相沿均称“石瓢”，如图是一盏做工精湛的“景舟石瓢”，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O．若∠1＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．120° B．60° C．40° D．30°
4．（3分）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．7a﹣5a＝2 B．9a÷3a＝3a C．a5÷a3＝a2 D．（3a2）3＝9a6
6．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为20，BD＝8，则tan∠HOD的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
8．（3分）疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（ ）
体温℃
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
人数/人
4
8
8
10
m
2
A．这个班有40名学生
B．m＝8
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点A的对应点记作点A1；第二次滚动到②的位置，点A1的对应点记作点A2；第三次滚动到③的位置，点A2的对应点记作点A3；…依次进行下去，发现点A（﹣3，0），A1（0，3），A2（9，0），…，则点A2023的坐标为（ ）
A．（8088，3） B．（8088，0） C．（8089，3） D．（8089，0）
10．（3分）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个无解的一元一次不等式组为 ．
12．（3分）已知正比例函数为y＝mx|m+1|，则m的值为 ．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0．从﹣4，﹣2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，则选取的数字能令方程有实数根的概率为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已知EF＝8，BE＝3，CG＝3．则图中阴影部分的面积 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（π+1）0+2﹣2﹣；
（2）化简：．
17．（9分）网络时代，在享受网络带来的便利的同时，也要注意增强自身网络安全意识，保护个人信息，谨防网络诈骗，拒绝网络沉迷．为了了解九年级学生本学期参加“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”的情况，某校进行了相关知识测试，随机抽取40名学生的测试成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息一：如表是该校学生“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”样本成绩频数分布表．
成绩m（分）
频数（人）
频率
50≤m＜60
2
a
60≤m＜70
b
※
70≤m＜80
※
0.15
80≤m＜90
16
※
90≤m＜100
※
0.30
合计
40
1.00
该校抽取的学生成绩在80≤m＜90的这一组的具体数据是：89，89，88，83，80，82，86，84，88，85，86，88，88，89，85，89．
信息二：如图是该校学生“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”样本成绩频数分布直方图．
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝ ；b＝ ；
（2）补全该校学生样本成绩频数分布直方图；
（3）抽取的40名学生的测试成绩的中位数是 ；
（4）若该校共有1800人，成绩不低于80分的为“优秀”，则该校成绩“优秀”的人数约为多少人？
18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），连接OA．
（1）尺规作图：在第一象限作点B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B）
（2）求线段AB的解析式；
（3）若反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．点B是否在反比例函数y＝（k＞0）的函数图象上？说明理由．
19．（9分）我校“综合与实践”小组的同学决定用自己学到的知识开展测量校园内的“大树”高度的实践活动，他们分别在C，E两处用高度为1.6m的测角仪CD和EF测得大树顶部A的仰角分别为45°，30°，两人间的水平距离（CE）为24m，已知点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，且AB⊥CE，求大树的高度AB．（结果保留根号）
20．（9分）商家发现最近很多社区开展“弘扬传统文化”的活动，为了适应市场需求，服务商场周围群众，商场现要从厂家购进两种不同型号和价格的“中国象棋”，已知用600元购进“A型象棋”与用400元购进“B型象棋”的数量相同，且每副“B型象棋”比每副”A型象棋”的价格便宜10元．
（1）求这两种“中国象棋”每副的价格；
（2）该商场计划购进“B型象棋”的数量比“A型象棋”数量的2倍还多60副，且两种“中国象棋”的总数量不超过360副，售价见店内海报（如图所示）．该商场应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
21．（9分）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，点F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E、AC＝CE．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AC＝5，AD＝8，求BE的长．
22．（10分）已知抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）抛物线对称轴为 ，点A坐标为 ；
（2）当m＞0时，不等式3m≤mx2﹣2mx的解集为 ；
（3）已知点M（2，﹣4），N（，﹣4），连接MN所得的线段与该抛物线有交点，求m的取值范围．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P是直线AC上一动点．
操作：连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD，连接DC，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形ABCD的形状是 ；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接DB，判断四边形ABDC的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若AB＝4，AP＝3，请直接写出CD的长．
2023年河南省周口市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．（3分）“石瓢”最早称为“石镜”，后来顾景舟引用“弱水三千，只取一瓢”，改称“石镜”为“石瓢”，从此相沿均称“石瓢”，如图是一盏做工精湛的“景舟石瓢”，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
3．（3分）如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O．若∠1＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．120° B．60° C．40° D．30°
【解答】解：由图可知，∠1+3＝180°．
∵∠1＝120°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝60°．
故选：B．
4．（3分）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
【解答】解：根据题意得，
（3.85×10﹣9）÷（5×10﹣4）
＝（3.85÷5）×（10﹣9÷10﹣4）
＝0.77×10﹣5
＝7.7×10﹣6，
故选：C．
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．7a﹣5a＝2 B．9a÷3a＝3a C．a5÷a3＝a2 D．（3a2）3＝9a6
【解答】解：7a﹣5a＝2a，故选项A错误，不符合题意；
9a÷3a＝3，故选项B错误，不符合题意；
a5÷a3＝a2，故选项C正确，符合题意；
（3a2）3＝27a6，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为20，BD＝8，则tan∠HOD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，周长为20，
∴AD＝5，OA＝OC，OB＝OD＝4，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴OA＝＝3，
∵H为AD边中点，
∴OH＝DH＝AH，
∴∠HOD＝∠HDO，
∴tan∠HOD＝tan∠HDO＝＝；
故选：C．
7．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
8．（3分）疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（ ）
体温℃
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
人数/人
4
8
8
10
m
2
A．这个班有40名学生
B．m＝8
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
【解答】解：由扇形统计图可知，体温为36.1°C的学生人数所占百分比为＝10%，
故这个班有学生＝40（名），
所以m＝40﹣4﹣8﹣8﹣10﹣2＝8，
故选项A、B不符合题意；
这些体温的众数是36.4，故选项C符合题意；
这些体温的中位数是＝36.35，故选项D不符合题意．
故选：C．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点A的对应点记作点A1；第二次滚动到②的位置，点A1的对应点记作点A2；第三次滚动到③的位置，点A2的对应点记作点A3；…依次进行下去，发现点A（﹣3，0），A1（0，3），A2（9，0），…，则点A2023的坐标为（ ）
A．（8088，3） B．（8088，0） C．（8089，3） D．（8089，0）
【解答】解：∵A（﹣1.5，0），B（0，2），
∴OA＝3，OB＝4，
∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，
观察图形可得，每滚动3次，图形的形状与初始位置相同，
∴AA3＝4+5+3＝12，
∴A3的横坐标为：12﹣3＝9，
∵2023÷3＝674…1，
∴AA2023＝674×12+3＝8091，
∴OA2023＝809﹣3＝8088，
∴A2023的坐标为（8088，3）．
故选：A．
10．（3分）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【解答】解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个无解的一元一次不等式组为 ．
【解答】解：根据不等式组解集的口诀：大大小小找不到（无解），
可写x≤2，x≥3，
即．
12．（3分）已知正比例函数为y＝mx|m+1|，则m的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵正比例函数为y＝mx|m+1|，
∴|m+1|＝1，
解得m＝﹣2或0，
∵m≠0，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0．从﹣4，﹣2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，则选取的数字能令方程有实数根的概率为 ．
【解答】解：若要方程有实数根，则Δ≥0且k﹣2≠0；
即k≤3且k﹣2≠0，
故给定的5个数字中，﹣4，2，0能令方程有实数根，
故选取的数字能令方程有实数根的概率为．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已知EF＝8，BE＝3，CG＝3．则图中阴影部分的面积 19.5 ．
【解答】解：∵将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC，
∵BC＝EF＝8，S△DEF＝S△ABC，
∴S△ABC﹣S△DBG＝S△DEF﹣S△DBG，
∴S梯形ACGD＝S梯形BEFG，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣3＝5，BE＝3，
∴S梯形ACGD＝S梯形BEFG＝（5+8）×3＝19.5．
故答案为：19.5．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 或3 ．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连接AC，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，
∴CB′＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BE＝；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（π+1）0+2﹣2﹣；
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣×+3
＝1+﹣+3
＝4；
（2）原式＝•
＝•
＝．
17．（9分）网络时代，在享受网络带来的便利的同时，也要注意增强自身网络安全意识，保护个人信息，谨防网络诈骗，拒绝网络沉迷．为了了解九年级学生本学期参加“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”的情况，某校进行了相关知识测试，随机抽取40名学生的测试成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息一：如表是该校学生“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”样本成绩频数分布表．
成绩m（分）
频数（人）
频率
50≤m＜60
2
a
60≤m＜70
b
※
70≤m＜80
※
0.15
80≤m＜90
16
※
90≤m＜100
※
0.30
合计
40
1.00
该校抽取的学生成绩在80≤m＜90的这一组的具体数据是：89，89，88，83，80，82，86，84，88，85，86，88，88，89，85，89．
信息二：如图是该校学生“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”样本成绩频数分布直方图．
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝ 0.05 ；b＝ 4 ；
（2）补全该校学生样本成绩频数分布直方图；
（3）抽取的40名学生的测试成绩的中位数是 87 ；
（4）若该校共有1800人，成绩不低于80分的为“优秀”，则该校成绩“优秀”的人数约为多少人？
【解答】解：（1）a＝2÷40＝0.05，
成绩为70≤m＜80的人数为0.15×40＝6（人），
成绩为90≤m＜100的人数为0.3×40＝12（人），
所以b＝40﹣（2+6+16+12）＝4，
故答案为：0.05，4；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）抽取的40名学生的测试成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据分别为86分、88分，
所以抽取的40名学生的测试成绩的中位数为＝87，
故答案为：87；
（4）1800×＝1260（人），
答：该校成绩“优秀”的人数约为1260人．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），连接OA．
（1）尺规作图：在第一象限作点B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B）
（2）求线段AB的解析式；
（3）若反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．点B是否在反比例函数y＝（k＞0）的函数图象上？说明理由．
【解答】解：（1）过点A作圆弧交OA和OA的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于AG的长度为半径作画弧交于点R，
连接AR，以点A为圆心AO长度为半径作弧交AR于点B，则∠OAB＝90°，AB＝AO；
（2）如上图，过点A作直线MN交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，
∵∠OAB＝90°，则∠BAM+∠NAO＝90°，
∵∠NAO+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠BAM，
∵AB＝OA，∠ONA＝∠AMB＝90°，
∴△ONA≌△AMB（AAS），
∴AM＝ON＝4，BM＝AN＝2，
∴点B（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝k（x﹣2）+4，
将点B的坐标代入上式得：2＝k（6﹣2）+4，
解得：k＝﹣，
则直线AB的表达式为：y＝﹣（x﹣2）+4＝﹣x+5；
（3）即点B不在反比例函数上，理由：
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×4＝8，
即反比例函数表达式为：y＝，
当x＝6时，y＝≠2，即点B不在反比例函数上．
19．（9分）我校“综合与实践”小组的同学决定用自己学到的知识开展测量校园内的“大树”高度的实践活动，他们分别在C，E两处用高度为1.6m的测角仪CD和EF测得大树顶部A的仰角分别为45°，30°，两人间的水平距离（CE）为24m，已知点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，且AB⊥CE，求大树的高度AB．（结果保留根号）
【解答】解：连接DF，交AB于点G，
由题意得，CD＝EF＝BG＝1.6m，CE＝DF＝24m，BC＝DG，BE＝FG，∠ADG＝45°，∠AFG＝30°，
设DG＝xm，则FG＝（24﹣x）m，
在Rt△ADG中，
∵∠ADG＝45°，
∴AG＝DG＝xm，
在Rt△AGF中，tan30°＝，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解且符合题意，
∴AB＝AG+BG＝+1.6＝（）m．
∴大树的高度AB为（）m．
20．（9分）商家发现最近很多社区开展“弘扬传统文化”的活动，为了适应市场需求，服务商场周围群众，商场现要从厂家购进两种不同型号和价格的“中国象棋”，已知用600元购进“A型象棋”与用400元购进“B型象棋”的数量相同，且每副“B型象棋”比每副”A型象棋”的价格便宜10元．
（1）求这两种“中国象棋”每副的价格；
（2）该商场计划购进“B型象棋”的数量比“A型象棋”数量的2倍还多60副，且两种“中国象棋”的总数量不超过360副，售价见店内海报（如图所示）．该商场应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每副“A型象棋”x元，
根据题意得：，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意，
30﹣10＝20（元），
答：每副“A型象棋”30元，每副“B型象棋”20元；
（2）设商场购进“A型象棋”m副，获得的总利润为w元，
根据题意得：m+（2m+60）≤360，
解得m≤100，
w＝（40﹣30）m+（25﹣20）（2m+60）＝20m+300，
∵20＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值为2300元，
2×100+60＝260（副），
答：商场购进“A型象棋”100副，“B型象棋”260副，所获利润最大，最大利润为2300元．
21．（9分）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，点F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E、AC＝CE．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AC＝5，AD＝8，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵AP为⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠FAE＝90°，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵∠CAE+∠CAF＝90°，∠CEA+∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴AC＝CF；
（2）解：如图，连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
∵∠CAF＝∠CFA，∠D＝∠ABC，
∴∠D＝∠CFA，
∴AF＝AD＝8，
∵AC＝5，
∴EF＝2AC＝10，
在Rt△FAE中，AE＝＝＝6，
∵∠CAE＝∠CEA，∠FAB＝∠ACB＝90°，
∴△ACB∽△EAF，
∴AC：AE＝AB：EF，即5：6＝AB：10，
∴AB＝，
∴BE＝AB﹣AE＝﹣6＝．
22．（10分）已知抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）抛物线对称轴为 x＝1 ，点A坐标为 （﹣1，0） ；
（2）当m＞0时，不等式3m≤mx2﹣2mx的解集为 x≤﹣1或x≥3 ；
（3）已知点M（2，﹣4），N（，﹣4），连接MN所得的线段与该抛物线有交点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
令y＝0，则y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3）＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
故答案为：x＝1，（﹣1，0）；
（2）不等式看可化为：mx2﹣2mx﹣3m≥0，
由函数和不等式的关系得：x≤﹣1或x≥3，
故答案为：x≤﹣1或x≥3；
（3）
当抛物线过点M时：4m﹣4m﹣3m＝﹣4，
解得：m＝，
当抛物线过点（1，﹣4）时：m﹣2m﹣3m＝﹣4，
解得：m＝1，
∴1≤m≤．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P是直线AC上一动点．
操作：连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD，连接DC，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形ABCD的形状是 正方形 ；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接DB，判断四边形ABDC的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若AB＝4，AP＝3，请直接写出CD的长．
【解答】解：（1）∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°，点P与点A重合，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，AD＝AB＝BC，
.∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，AB＝AC，
∴四边形ABCD是正方形；
故答案为：正方形；
（2）①四边形ABDC是平行四边形．
证明：如图1，将线段BI绕点P逆时针旋转90°，点P与C重合，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠CBA＝90°，BA＝BC，
∴∠BCD＝∠ABC，AB＝CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；
②猜想：DC⊥BC．
证明：如图2，过点P作PE⊥AC交AB于点E，连接ED，则∠APE＝90°，
∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC＝∠AEP＝45°，
∴AP＝EP，
∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD，
∴PD＝PB，
∵∠APE＝∠BPD＝90°，
∴∠APE+∠EPB＝∠BPD+∠EPB，
∴∠APB＝∠EPD，
在△APB和△EPD中，
，
∴△APB≌△EPD（SAS），
∴∠PAE＝∠PED＝45°，AB＝ED，
∴∠AED＝∠AEP+∠PED＝90°，
∴∠AED＝∠ABC＝90°，
∴ED∥BC，
∵AB＝BC，
∴ED＝BC，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴DC⊥BC；
（3）CD＝3±4．
∵∠BAC＝45°，PE⊥AC，
∴△EPA是等腰直角三角形，
∴AE＝AP
设AC是中点为M，如图1，当点P在射线MC上时，
由（2）中②可知，四边形EBCD是矩形，AB＝AE﹣BE＝AE﹣CD＝AP﹣CD，
∴4＝3﹣CD，
∴CD＝3﹣4．
如图2，当点P在射线MA上时，
由（2）中②可知，四边形EBCD是矩形，AB＝BE﹣AE＝CD﹣AE＝CD﹣AP，
∴4＝CD﹣3，
∴CD＝3+4．
综上所述，CD＝3±4．
2023年河南省周口市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
2．（3分）“石瓢”最早称为“石镜”，后来顾景舟引用“弱水三千，只取一瓢”，改称“石镜”为“石瓢”，从此相沿均称“石瓢”，如图是一盏做工精湛的“景舟石瓢”，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O．若∠1＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．120° B．60° C．40° D．30°
4．（3分）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．7a﹣5a＝2 B．9a÷3a＝3a C．a5÷a3＝a2 D．（3a2）3＝9a6
6．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为20，BD＝8，则tan∠HOD的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
8．（3分）疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（ ）
体温℃
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
人数/人
4
8
8
10
m
2
A．这个班有40名学生
B．m＝8
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点A的对应点记作点A1；第二次滚动到②的位置，点A1的对应点记作点A2；第三次滚动到③的位置，点A2的对应点记作点A3；…依次进行下去，发现点A（﹣3，0），A1（0，3），A2（9，0），…，则点A2023的坐标为（ ）
A．（8088，3） B．（8088，0） C．（8089，3） D．（8089，0）
10．（3分）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个无解的一元一次不等式组为 ．
12．（3分）已知正比例函数为y＝mx|m+1|，则m的值为 ．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0．从﹣4，﹣2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，则选取的数字能令方程有实数根的概率为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已知EF＝8，BE＝3，CG＝3．则图中阴影部分的面积 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（π+1）0+2﹣2﹣；
（2）化简：．
17．（9分）网络时代，在享受网络带来的便利的同时，也要注意增强自身网络安全意识，保护个人信息，谨防网络诈骗，拒绝网络沉迷．为了了解九年级学生本学期参加“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”的情况，某校进行了相关知识测试，随机抽取40名学生的测试成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息一：如表是该校学生“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”样本成绩频数分布表．
成绩m（分）
频数（人）
频率
50≤m＜60
2
a
60≤m＜70
b
※
70≤m＜80
※
0.15
80≤m＜90
16
※
90≤m＜100
※
0.30
合计
40
1.00
该校抽取的学生成绩在80≤m＜90的这一组的具体数据是：89，89，88，83，80，82，86，84，88，85，86，88，88，89，85，89．
信息二：如图是该校学生“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”样本成绩频数分布直方图．
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝ ；b＝ ；
（2）补全该校学生样本成绩频数分布直方图；
（3）抽取的40名学生的测试成绩的中位数是 ；
（4）若该校共有1800人，成绩不低于80分的为“优秀”，则该校成绩“优秀”的人数约为多少人？
18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），连接OA．
（1）尺规作图：在第一象限作点B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B）
（2）求线段AB的解析式；
（3）若反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．点B是否在反比例函数y＝（k＞0）的函数图象上？说明理由．
19．（9分）我校“综合与实践”小组的同学决定用自己学到的知识开展测量校园内的“大树”高度的实践活动，他们分别在C，E两处用高度为1.6m的测角仪CD和EF测得大树顶部A的仰角分别为45°，30°，两人间的水平距离（CE）为24m，已知点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，且AB⊥CE，求大树的高度AB．（结果保留根号）
20．（9分）商家发现最近很多社区开展“弘扬传统文化”的活动，为了适应市场需求，服务商场周围群众，商场现要从厂家购进两种不同型号和价格的“中国象棋”，已知用600元购进“A型象棋”与用400元购进“B型象棋”的数量相同，且每副“B型象棋”比每副”A型象棋”的价格便宜10元．
（1）求这两种“中国象棋”每副的价格；
（2）该商场计划购进“B型象棋”的数量比“A型象棋”数量的2倍还多60副，且两种“中国象棋”的总数量不超过360副，售价见店内海报（如图所示）．该商场应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
21．（9分）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，点F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E、AC＝CE．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AC＝5，AD＝8，求BE的长．
22．（10分）已知抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）抛物线对称轴为 ，点A坐标为 ；
（2）当m＞0时，不等式3m≤mx2﹣2mx的解集为 ；
（3）已知点M（2，﹣4），N（，﹣4），连接MN所得的线段与该抛物线有交点，求m的取值范围．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P是直线AC上一动点．
操作：连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD，连接DC，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形ABCD的形状是 ；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接DB，判断四边形ABDC的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若AB＝4，AP＝3，请直接写出CD的长．
2023年河南省周口市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．（3分）“石瓢”最早称为“石镜”，后来顾景舟引用“弱水三千，只取一瓢”，改称“石镜”为“石瓢”，从此相沿均称“石瓢”，如图是一盏做工精湛的“景舟石瓢”，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
3．（3分）如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O．若∠1＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．120° B．60° C．40° D．30°
【解答】解：由图可知，∠1+3＝180°．
∵∠1＝120°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝60°．
故选：B．
4．（3分）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
【解答】解：根据题意得，
（3.85×10﹣9）÷（5×10﹣4）
＝（3.85÷5）×（10﹣9÷10﹣4）
＝0.77×10﹣5
＝7.7×10﹣6，
故选：C．
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．7a﹣5a＝2 B．9a÷3a＝3a C．a5÷a3＝a2 D．（3a2）3＝9a6
【解答】解：7a﹣5a＝2a，故选项A错误，不符合题意；
9a÷3a＝3，故选项B错误，不符合题意；
a5÷a3＝a2，故选项C正确，符合题意；
（3a2）3＝27a6，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为20，BD＝8，则tan∠HOD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，周长为20，
∴AD＝5，OA＝OC，OB＝OD＝4，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴OA＝＝3，
∵H为AD边中点，
∴OH＝DH＝AH，
∴∠HOD＝∠HDO，
∴tan∠HOD＝tan∠HDO＝＝；
故选：C．
7．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
8．（3分）疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（ ）
体温℃
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
人数/人
4
8
8
10
m
2
A．这个班有40名学生
B．m＝8
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
【解答】解：由扇形统计图可知，体温为36.1°C的学生人数所占百分比为＝10%，
故这个班有学生＝40（名），
所以m＝40﹣4﹣8﹣8﹣10﹣2＝8，
故选项A、B不符合题意；
这些体温的众数是36.4，故选项C符合题意；
这些体温的中位数是＝36.35，故选项D不符合题意．
故选：C．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点A的对应点记作点A1；第二次滚动到②的位置，点A1的对应点记作点A2；第三次滚动到③的位置，点A2的对应点记作点A3；…依次进行下去，发现点A（﹣3，0），A1（0，3），A2（9，0），…，则点A2023的坐标为（ ）
A．（8088，3） B．（8088，0） C．（8089，3） D．（8089，0）
【解答】解：∵A（﹣1.5，0），B（0，2），
∴OA＝3，OB＝4，
∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，
观察图形可得，每滚动3次，图形的形状与初始位置相同，
∴AA3＝4+5+3＝12，
∴A3的横坐标为：12﹣3＝9，
∵2023÷3＝674…1，
∴AA2023＝674×12+3＝8091，
∴OA2023＝809﹣3＝8088，
∴A2023的坐标为（8088，3）．
故选：A．
10．（3分）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【解答】解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个无解的一元一次不等式组为 ．
【解答】解：根据不等式组解集的口诀：大大小小找不到（无解），
可写x≤2，x≥3，
即．
12．（3分）已知正比例函数为y＝mx|m+1|，则m的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵正比例函数为y＝mx|m+1|，
∴|m+1|＝1，
解得m＝﹣2或0，
∵m≠0，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0．从﹣4，﹣2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，则选取的数字能令方程有实数根的概率为 ．
【解答】解：若要方程有实数根，则Δ≥0且k﹣2≠0；
即k≤3且k﹣2≠0，
故给定的5个数字中，﹣4，2，0能令方程有实数根，
故选取的数字能令方程有实数根的概率为．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已知EF＝8，BE＝3，CG＝3．则图中阴影部分的面积 19.5 ．
【解答】解：∵将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC，
∵BC＝EF＝8，S△DEF＝S△ABC，
∴S△ABC﹣S△DBG＝S△DEF﹣S△DBG，
∴S梯形ACGD＝S梯形BEFG，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣3＝5，BE＝3，
∴S梯形ACGD＝S梯形BEFG＝（5+8）×3＝19.5．
故答案为：19.5．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 或3 ．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连接AC，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，
∴CB′＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BE＝；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（π+1）0+2﹣2﹣；
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣×+3
＝1+﹣+3
＝4；
（2）原式＝•
＝•
＝．
17．（9分）网络时代，在享受网络带来的便利的同时，也要注意增强自身网络安全意识，保护个人信息，谨防网络诈骗，拒绝网络沉迷．为了了解九年级学生本学期参加“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”的情况，某校进行了相关知识测试，随机抽取40名学生的测试成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息一：如表是该校学生“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”样本成绩频数分布表．
成绩m（分）
频数（人）
频率
50≤m＜60
2
a
60≤m＜70
b
※
70≤m＜80
※
0.15
80≤m＜90
16
※
90≤m＜100
※
0.30
合计
40
1.00
该校抽取的学生成绩在80≤m＜90的这一组的具体数据是：89，89，88，83，80，82，86，84，88，85，86，88，88，89，85，89．
信息二：如图是该校学生“郑州市2022年中小学生网络安全专题教育”样本成绩频数分布直方图．
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝ 0.05 ；b＝ 4 ；
（2）补全该校学生样本成绩频数分布直方图；
（3）抽取的40名学生的测试成绩的中位数是 87 ；
（4）若该校共有1800人，成绩不低于80分的为“优秀”，则该校成绩“优秀”的人数约为多少人？
【解答】解：（1）a＝2÷40＝0.05，
成绩为70≤m＜80的人数为0.15×40＝6（人），
成绩为90≤m＜100的人数为0.3×40＝12（人），
所以b＝40﹣（2+6+16+12）＝4，
故答案为：0.05，4；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）抽取的40名学生的测试成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据分别为86分、88分，
所以抽取的40名学生的测试成绩的中位数为＝87，
故答案为：87；
（4）1800×＝1260（人），
答：该校成绩“优秀”的人数约为1260人．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），连接OA．
（1）尺规作图：在第一象限作点B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B）
（2）求线段AB的解析式；
（3）若反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．点B是否在反比例函数y＝（k＞0）的函数图象上？说明理由．
【解答】解：（1）过点A作圆弧交OA和OA的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于AG的长度为半径作画弧交于点R，
连接AR，以点A为圆心AO长度为半径作弧交AR于点B，则∠OAB＝90°，AB＝AO；
（2）如上图，过点A作直线MN交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，
∵∠OAB＝90°，则∠BAM+∠NAO＝90°，
∵∠NAO+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠BAM，
∵AB＝OA，∠ONA＝∠AMB＝90°，
∴△ONA≌△AMB（AAS），
∴AM＝ON＝4，BM＝AN＝2，
∴点B（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝k（x﹣2）+4，
将点B的坐标代入上式得：2＝k（6﹣2）+4，
解得：k＝﹣，
则直线AB的表达式为：y＝﹣（x﹣2）+4＝﹣x+5；
（3）即点B不在反比例函数上，理由：
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×4＝8，
即反比例函数表达式为：y＝，
当x＝6时，y＝≠2，即点B不在反比例函数上．
19．（9分）我校“综合与实践”小组的同学决定用自己学到的知识开展测量校园内的“大树”高度的实践活动，他们分别在C，E两处用高度为1.6m的测角仪CD和EF测得大树顶部A的仰角分别为45°，30°，两人间的水平距离（CE）为24m，已知点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，且AB⊥CE，求大树的高度AB．（结果保留根号）
【解答】解：连接DF，交AB于点G，
由题意得，CD＝EF＝BG＝1.6m，CE＝DF＝24m，BC＝DG，BE＝FG，∠ADG＝45°，∠AFG＝30°，
设DG＝xm，则FG＝（24﹣x）m，
在Rt△ADG中，
∵∠ADG＝45°，
∴AG＝DG＝xm，
在Rt△AGF中，tan30°＝，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解且符合题意，
∴AB＝AG+BG＝+1.6＝（）m．
∴大树的高度AB为（）m．
20．（9分）商家发现最近很多社区开展“弘扬传统文化”的活动，为了适应市场需求，服务商场周围群众，商场现要从厂家购进两种不同型号和价格的“中国象棋”，已知用600元购进“A型象棋”与用400元购进“B型象棋”的数量相同，且每副“B型象棋”比每副”A型象棋”的价格便宜10元．
（1）求这两种“中国象棋”每副的价格；
（2）该商场计划购进“B型象棋”的数量比“A型象棋”数量的2倍还多60副，且两种“中国象棋”的总数量不超过360副，售价见店内海报（如图所示）．该商场应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每副“A型象棋”x元，
根据题意得：，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意，
30﹣10＝20（元），
答：每副“A型象棋”30元，每副“B型象棋”20元；
（2）设商场购进“A型象棋”m副，获得的总利润为w元，
根据题意得：m+（2m+60）≤360，
解得m≤100，
w＝（40﹣30）m+（25﹣20）（2m+60）＝20m+300，
∵20＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值为2300元，
2×100+60＝260（副），
答：商场购进“A型象棋”100副，“B型象棋”260副，所获利润最大，最大利润为2300元．
21．（9分）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，点F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E、AC＝CE．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AC＝5，AD＝8，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵AP为⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠FAE＝90°，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵∠CAE+∠CAF＝90°，∠CEA+∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴AC＝CF；
（2）解：如图，连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
∵∠CAF＝∠CFA，∠D＝∠ABC，
∴∠D＝∠CFA，
∴AF＝AD＝8，
∵AC＝5，
∴EF＝2AC＝10，
在Rt△FAE中，AE＝＝＝6，
∵∠CAE＝∠CEA，∠FAB＝∠ACB＝90°，
∴△ACB∽△EAF，
∴AC：AE＝AB：EF，即5：6＝AB：10，
∴AB＝，
∴BE＝AB﹣AE＝﹣6＝．
22．（10分）已知抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）抛物线对称轴为 x＝1 ，点A坐标为 （﹣1，0） ；
（2）当m＞0时，不等式3m≤mx2﹣2mx的解集为 x≤﹣1或x≥3 ；
（3）已知点M（2，﹣4），N（，﹣4），连接MN所得的线段与该抛物线有交点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
令y＝0，则y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3）＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
故答案为：x＝1，（﹣1，0）；
（2）不等式看可化为：mx2﹣2mx﹣3m≥0，
由函数和不等式的关系得：x≤﹣1或x≥3，
故答案为：x≤﹣1或x≥3；
（3）
当抛物线过点M时：4m﹣4m﹣3m＝﹣4，
解得：m＝，
当抛物线过点（1，﹣4）时：m﹣2m﹣3m＝﹣4，
解得：m＝1，
∴1≤m≤．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P是直线AC上一动点．
操作：连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD，连接DC，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形ABCD的形状是 正方形 ；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接DB，判断四边形ABDC的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若AB＝4，AP＝3，请直接写出CD的长．
【解答】解：（1）∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°，点P与点A重合，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，AD＝AB＝BC，
.∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，AB＝AC，
∴四边形ABCD是正方形；
故答案为：正方形；
（2）①四边形ABDC是平行四边形．
证明：如图1，将线段BI绕点P逆时针旋转90°，点P与C重合，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠CBA＝90°，BA＝BC，
∴∠BCD＝∠ABC，AB＝CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；
②猜想：DC⊥BC．
证明：如图2，过点P作PE⊥AC交AB于点E，连接ED，则∠APE＝90°，
∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC＝∠AEP＝45°，
∴AP＝EP，
∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD，
∴PD＝PB，
∵∠APE＝∠BPD＝90°，
∴∠APE+∠EPB＝∠BPD+∠EPB，
∴∠APB＝∠EPD，
在△APB和△EPD中，
，
∴△APB≌△EPD（SAS），
∴∠PAE＝∠PED＝45°，AB＝ED，
∴∠AED＝∠AEP+∠PED＝90°，
∴∠AED＝∠ABC＝90°，
∴ED∥BC，
∵AB＝BC，
∴ED＝BC，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴DC⊥BC；
（3）CD＝3±4．
∵∠BAC＝45°，PE⊥AC，
∴△EPA是等腰直角三角形，
∴AE＝AP
设AC是中点为M，如图1，当点P在射线MC上时，
由（2）中②可知，四边形EBCD是矩形，AB＝AE﹣BE＝AE﹣CD＝AP﹣CD，
∴4＝3﹣CD，
∴CD＝3﹣4．
如图2，当点P在射线MA上时，
由（2）中②可知，四边形EBCD是矩形，AB＝BE﹣AE＝CD﹣AE＝CD﹣AP，
∴4＝CD﹣3，
∴CD＝3+4．
综上所述，CD＝3±4．
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