冀教版九年级上册第24章 一元二次方程24.2 解一元二次方程教学ppt课件

教学目标

1.了解配方法的概念.

2.会通过变形运用直接开平方法降次解方程，并能熟练应用解决一些具体问题.

3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

4.通过配方法解方程进一步体会类比、转化、降次的数学思想方法.

5.通过运用配方法解一元二次方程进行策略研究，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养.

教学重难点

重点：用配方法解一元二次方程及解决有关问题.

难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

教学过程

导入新课

【问题情境】一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

师生活动：教师出示问题，学生独立思考后，小组进行交流，小组代表汇报展示，教师做出点评.在求解时，如果学生存在困难，教师可提出如下问题.

教师追问：什么是平方根？

师生活动：学生根据教师提出的问题独立思考后进行回答.根据平方根的意义教师引导学生求出方程的解.

【解】设其中一个盒子的棱长为dm，则一个正方体的表面积为62 dm2.

根据题意，得10×6x2=1 500，

整理，得2=25.

根据平方根的意义，得=±5.

即1=5， 2=-5(不合题意，舍去).

答：其中一个盒子的棱长为5 dm.

探究新知

探究点一  直接开平方法

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.

师生活动：教师先引导学生判断上面方程是否为一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程.

【解】（1）根据平方根的意义，得x1＝2, x2＝-2.

（2）根据平方根的意义，得x1＝x2＝0.

（3）根据平方根的意义，得x2＝-1，所以方程无解.

    教师追问1：类似地，你能给出下列方程的解吗？

  教师追问2：上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类方程的解的情况吗？

  师生活动：学生口答解方程的过程，归纳出一般形式，并根据的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书.

【归纳总结】一般地，对于方程 ,

（1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根；

（2）当时，方程有两个相等的实数根；

（3）当 时,因为对任意实数，都有，所以方程无实数根.

探究点二  配方法

问题1:你还记得吗？填一填下列完全平方公式.

1. （       ）2；

2. （      ）2.

    做一做：填上适当的数，使下列等式成立.

1.；    

2. ；

3.；    

4..

师生活动：教师出示问题，学生先独立思考、合作学习，然后教师组织交流，进行汇报.如果学生对3，4小题有困难，教师可引导学生复习完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍放中央.

教师追问：上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？对于形如 的式子如何配成完全平方式？

师生活动：学生独立思考后，小组合作探究，学生代表口答，师生共同归纳总结，教师板书.

【解】1.；2..

做一做：1.； 2.；

3. ；4..

【归纳总结】对于二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.对于形如 的式子配成完全平方式应加上一次项系数一半的平方，即.

将方程转化为的形式的方法叫做配方法.

教师追问：仿照上面的例题你能自己举一个例子吗？

师生活动：学生举例，学生点评，教师点评.

问题2：怎样解方程？

师生活动：先让学生观察、尝试.如果学生有困难，教师可以通过如下问题引导学生思考.

教师追问1：我们已经会解哪一类一元二次方程？能将这个方程转化为会解的形式吗？

教师追问2：怎样把方程变成的形式？

师生活动：学生思考教师提出的问题，并根据配方的方法尝试把方程左边化成完全平方的形式，二次项系数为1，应该是加上一次项系数一半的平方，同学在练习本上进行解答，教师选取部分学生解答情况进行展示，师生共同规范步骤.

【解】

思考：如何

教师提问：该方程能不能按上边的方法先移项，然后直接配方？

师生活动：观察方程移项后，二次项系数不为1，所以不能直接配方.

教师提问：观察该方程和上边方程有什么区别？

师生活动：二次项系数不为1.

教师提问：如何把二次项系数化为1？

师生活动：根据等式的基本性质，方程两边同时除以二次项系数可得.

师生活动：

解：移项，得2x2+4x＝-1，

二次项系数化为1，得x2+2x＝，

配方，得，

，∴ x+1＝±，

∴ x1＝-1+，x2＝-1-.

教师追问3：结合上述解答过程，你能说出解一元二次方程的具体步骤是什么？要注意什么问题？

师生活动：学生独立思考、讨论、总结，根据上面例题，教师引导学生得出配方法的具体步骤：

【归纳总结】

要注意保证变形的过程是恒等变形，配方时必须把二次项系数化为1.

新知应用

例1　用配方法解下列方程：

（1） （2）

师生活动：教师出示例题，学生独立完成，请学生板书，师生一起规范格式完成例题.这里要强调根据实际意义检验方程的根.

解：（1）移项，得x2-10x＝11.

配方，得x2-10x+52＝11+52，

即（x-5）2＝36.

两边开平方，得

x-5＝±6.

所以x1＝11，x2＝-1.

（2）移项，得x2+2x＝1.

配方，得x2+2x+12＝1+12，

即（x+1）2＝2.

两边开平方，得x+1＝±.

所以x1＝-1+，x2＝-1-.

教师追问：通过解以上方程，你能归纳配方法解方程的思路吗？

师生活动：先由学生自己归纳，通过补充完善，得出配方法解方程的一般思路，教师板书.

【归纳总结】把方程化为的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解．

可化为的形式的一元二次方程的根：

（1）当时，方程有两个不等的实数根：，；

（2）当时，方程有两个相等的实数根：；

（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.

例2  用配方法解方程：

（1）2x2+3＝6x；（2）3x2-6x+4＝0.

解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得

x2-3x＝.

配方，得，

即.

两边开平方，得.

所以.

（2）移项，得

3x2-6x＝-4，

二次项系数化为1，得

，

配方，得，

即，

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，（x-1）2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根.

例3　试用配方法说明：不论取何实数，多项式的值必定大于零.

师生活动：学生先独立思考，教师组织进行交流，学生发表意见，教师引导学生要想确定代数式的值大于零应该化成完全平方的形式，所以先进行配方，根据配方的方法将二次项系数化为1，再加上一次项系数一半的平方，为保持代数式不变，再减去加上的这个数，最后师生总结解决此类问题的方法.

【解】

因为，所以，

所以的值必定大于零.

【归纳总结】

课堂练习

1．对形如(x+m)2＝n的方程，下列说法正确的是(  )

A．直接开平方得x＝－m±

B．直接开平方得x＝－n ±

C．当n≥0时，直接开平方得x＝－m ±

D．当n≥0时，直接开平方得x＝－n ±

2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（　　）

A．x2-8x+（-4）2=31     　　　B．x2-8x+（-4）2=2

C．x2-8x+42=1                 D．x2-4x+4=-11

3.解下列方程

(1)3(x+1)2＝；

(2)(3x+2)2＝25；

4.解下列方程：

（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；

（3）4x2-6x-3=0；   （4）3x2+6x-9=0.

5.用直接开平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x+1)2＝0.

小明的解答如下：

移项，得4(2x－1)2＝25(x+1)2.①

直接开平方，得2(2x－1)＝5(x+1)．②

小明的解答有无错误？若有，错在第       步，原因是               ，写出正确的解答过程．

6.应用配方法求最值.

(1)的最小值；

(2) 的最大值. 

参考答案

1. C    2. C    

3.解：（1）方程两边都除以3，得，

开平方，得，即或，

∴ .

(2)开平方，得3x+2＝ ± 5，即 3x+2＝5或3x+2＝-5，

∴ x1＝1，x2＝-.

4.解：(1)x2+2x+2=0，

(x+1)2=-1.

此方程无解.

（2）x2-4x-12=0，

(x-2)2=16.

x1=6,x2=-2.

（3），

.

.

（4）x2+2x-3=0，

(x+1)2=4.

x1=-3,x2=1.

5.解：②　＝|a|

正确的解答过程：

移项，得4(2x-1)2＝25(x+1)2.

直接开平方，得2(2x-1)＝±5(x+1)．

所以x1＝-7，x2＝.

6.解：（1），

所以当时，有最小值为3.

（2），所以当时,有最大值为-4.

课堂小结

    教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生进行总结，形成知识框架.

  提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为的形式.

布置作业

     完成教材第39页练习，习题A组.

板书设计

24.2  解一元二次方程

第1课时　配方法

1.配方法的一般步骤：一移、二化、三配、四开、五解.

2.可化为的形式的一元二次方程的根：

（1）当时，方程有两个不等的实数根：

；

（2）当时，方程有两个相等的实数根：；

（3）当时，因为对任意实数x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根.

教学反思

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