数学九年级上册第26章 解直角三角形26.4 解直角三角形的应用教学ppt课件

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第二十六章 解直角三角形
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 与仰角、俯角及方向角有关的问题
理解仰角、俯角及方向角的概念. (重点)
（2）两锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝90°.
（3）边角之间的关系：
（1）三边之间的关系：
（勾股定理）.
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
；
；
；
；
；
.
水平线
视线
视线
︶
仰角
俯角
铅 垂 线
仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在 水平线上方的角.
俯角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角.
眼睛
巧记：上仰下俯
1.仰角和俯角的概念
【探究】如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝30°，求飞机A到控制点B的距离.
解：由题意知∠B＝∠α＝30°.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sin B＝
∴AB＝2AC＝2 400 m．答：飞机A到控制点B的距离为2 400 m．
知识讲解
如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(∠AOC)为50°;俯视旗杆底部B,俯角(∠BOC)为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
知识讲解
【思考】(1)要求旗杆的高,实际是要求图中哪条线段的长度?图中有哪些已知条件?
(2)在Rt△AOC中,如何求线段AC的长度?
(3)在Rt△BOC中,如何求线段BC的长度?
知识讲解
例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
仰角
水平线
俯角
 
 
类似地Rt△ACD中由β=60°求出CD的长度，
进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
 
答：这栋楼高约为277.1m.
变式 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知从A顶部看C的仰角为30 ° ，从A顶部看D的俯角为60 ° ，求建筑物AB、CD的高度.
D
B
C
A
E
120米
解：如图，a = 30°,β= 60°， AE＝120．
．
．
．
．
．
即学即练1如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A,B,O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
450米
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中,
P
A
B
．
．
．
．
模型一
模型三
仰角、俯角问题的常见基本模型：
模型五
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
2.方位角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.
以正南或正北为基准线
东
西
北
南
O
（1）正东，正南，正西，正北
（2）西北方向:_________ 西南方向:__________ 东南方向:__________ 东北方向:__________
射线OA
A
B
C
D
OB
OC
OD
45°
射线OE
射线OF
射线OG
射线OH
45°
45°
45°
2.认识方向角
O
北
南
西
东
（3）南偏西25°
25°
北偏西70°
南偏东60°
射线OA
射线OB
射线OC
70°
60°
方向角通常都写成：北偏……，南偏……的形式.
例1 如图所示,一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40 min后,渔船行驶到B处,此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心,10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航行,有没有进入危险区的可能?
(Rt△BCD中,∠CBD=60°;Rt△ACD中,∠CAD=30°)
(1)如何判断有没有进入危险区的可能?
(点C到直线AB的距离与10海里比较大小)
(2)要求点C到直线AB的距离,需要作什么辅助线?
(过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D)
(3)要求CD的长,CD在哪个直角三角形中?
(Rt△BCD和Rt△ACD中)
(4)Rt△BCD和Rt△ACD中,有什么已知条件?
知识讲解
(5)设CD=x,则直角三角形中的边长能否用x表示?
( ， )
(6)题目中的等量关系是什么？你能列方程求解吗？
（AB=AD-BD， ） .
知识讲解
解: 如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CBD=60°,
 
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，所以 ,
即 .
∵ ，
∴ .
解得 .
因为10＜
所以这艘渔船继续向东航行，不会进入危险区.
 
知识讲解
归纳： 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
1.如图所示,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基距地平面20米(即BC为20米),则塔身AB的高为 (　　)
A.60米　　　　B.4 米C.40米 D.20米
解析:由题意知BC=20米,∠ADC=60°,∠BDC=30°,∠ACD=90°,所以∠ADB=∠A=30°,所以AB=BD,在Rt△BCD中,BD= =40(米),所以AB=BD=40米,所以塔身AB的高为40米.故选C.
C
2. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观 测者之间的水平距离BC=_________米.3. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则 建筑物CD的高为 _____米.
100
随堂训练
4. 某铁塔由塔身和塔座两部分组成（如左图所示）. 为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C 点测得塔顶E 的仰角为45°，在D 点测得塔顶E 的仰角为60°，已知测角仪AC 的高为1.6 m，CD 的长为6 m，CD 所在的水平线CG ⊥ EF 于点G（如右图所示），求铁塔EF 的高（结果精确到0.1 m）.
5. 小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC， 并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，如图所示．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数． 参考数据：sin 35°≈0.574， cos 35°≈0.819， tan 35°≈0.700)
随堂训练
过点A作AD⊥BC于点D，热气球离地面的高度即为AD的长．利用BC长度转化为CD－BD＝BC，由辅助线构造出Rt△ABD，Rt△ACD，利用解直角三角形求解．如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，BC＝100 m. 设AD＝x m，则BD＝AD＝x m，CD＝ m.∵BC＝CD－BD，∴ －x＝100.∴x≈233.答：热气球离地面的高度约为233 m.
分析：
解：
随堂训练
随堂训练
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公 路不会穿越保护区．
C
随堂训练
利用仰、俯角及方向角解直角三角形
仰角、俯角及方向角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角及方向角问题