冀教版数学九上 28.3 圆心角和圆周角（第2课时） 教学课件+教案

教学目标

1.了解圆周角的定义,会在具体情景中辨别圆周角.

2.掌握圆周角定理及推论,并能灵活运用这些知识进行简单的计算和证明.

教学重难点

重点: 圆周角的概念以及圆周角定理和推论.

难点：圆周角定理的证明中采用的分类思想及由一般到特殊的数学思想方法.

教学过程

导入新课

【问题】 指出图8中的圆心角，你知道∠BAC是什么角吗？ 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图8

探究新知

1.圆周角

定义：顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角.

  特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.

（两个条件必须同时具备，缺一不可）

教师追问：观察下列图形中的角都是圆周角吗?

（1）              （2）            （3）              （4）

师生活动：（引发学生思考）要判断一个角是否为圆周角，那么这个角应该满足什么条件？

【解】图（1）中∠APB是圆周角；图（2）和图（3）中∠AQB,∠ARB不是圆周角,因为角的顶点不在圆上；图（4）中的∠ASB是圆周角,而∠ASC不是圆周角.

2.圆周角定理

师生活动：教师提出问题，学生分组讨论后给出答案.

动手操作:

1.画☉O,在☉O上任意画弧AB,分别画出弧AB所对的圆心角和圆周角.

2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角?

（一个圆心角,无数个圆周角）

3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数,它们之间有什么关系?

（同弧所对的圆周角的度数是其所对的圆心角的度数的一半）

猜想:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

教师：（学生分组讨论后回答）你能证明你的猜想吗?

如图9所示,∠AOB和∠APB分别是所对的圆心角和圆周角.

思考：

1.当点P在圆上按顺时针方向移动时（点P与点A,B不重合）,按照圆心O和圆周角的位置关系,可以分为几种不同的情形?说出你的判断并画出相应的图形.

（三种:圆心在角的一边上、角内、角外）

2.当圆心O落在∠APB的一条边上时,∠AOB与∠APB具有怎样的大小关系?说明理由.

3.当圆心O在∠APB的内部时,上述2中的结论还成立吗?试说明理由.

教师引导学生思考:当圆心在∠APB的内部时,能否通过作辅助线（作直径）,转化为第一种情况进行证明?学生独立思考后,小组合作交流,共同完成证明过程,教师对学生展示点评,展示证明过程.

4.当圆心O在∠APB的外部时,上述2中的结论还成立吗?试说明理由.

5.归纳你用到的数学方法和得出的结论.

证明:（1）当圆心O在∠APB的一条边上时,如图10（1）所示.

∵OP=OA,∴∠OPA＝∠OAP.

又∵∠AOB＝∠OPA+∠OAP,

∴∠AOB＝2∠APB,即∠APB＝∠AOB.

（1）                     （2）

图10

（2）对于圆心O在∠APB内部的情形,如图10（2）所示,连接PO并延长交☉O于点D,∵PD过圆心O,∴∠APD＝∠AOD,∠BPD＝∠BOD.

∴∠APD+∠BPD＝∠AOD+∠BOD，即∠APB＝∠AOB.

（3）如图11所示,对于圆心O在圆周角∠APB外部的情形,连接PO并延长交☉O于点D,

∵PD过圆心O,

∴∠APD＝∠AOD,∠BPD＝∠BOD.

∴∠BPD-∠APD＝∠BOD-∠AOD，

即∠APB＝∠AOB.

【归纳总结】

圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

数学思想方法:分类思想、化归思想、由特殊到一般的数学方法.

【新知应用】

例　如图12（1）所示,点A,B,C均在☉O上,∠OAB=46°.求∠ACB的度数.

（1）                   （2）

　　图12

师生活动：（引发学生思考）如何构造应用圆周角定理的条件？

【解】如图12（2）所示,连接OB.

∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.

∵∠OAB=46°,∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×46°=88°.

∴∠ACB=∠AOB=44°.

3.圆周角定理的推论

师生活动：教师提出问题，学生分组讨论后给出答案.

教师：直径所对的圆周角是多少度?请说明理由.

学生：直径所对的圆心角是180°,根据圆周角定理可得,直径所对的圆周角是所对的圆心角180°的一半,即直径所对的圆周角是90°.

教师：90°的圆周角所对的弦是直径吗?请说明理由.

学生：根据圆周角定理可得,90°的圆周角所对的弧所对的圆心角是180°,即90°的圆周角所对的弦是直径.

【归纳总结】圆周角定理的推论

直径所对的圆周角是直角.  90°的圆周角所对的弦是直径.

课堂练习

1.判断：

（1）90°的圆心角所对的弦是直径.（    ）

（2）90°的角所对的弦是直径.（    ）

2.如图13，已知△ABC的三个顶点在☉O上，∠BAC＝50°,∠ABC＝47°，则∠AOB＝        .

3.如图14，△ABC的顶点A，B，C都在☉O上，∠C＝30°，AB＝2，则☉O的半径是          .

图13                 　 图14      

4.如图15，点A，B，D，E在☉O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是☉O的直径，D是BC的中点.

（1）试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明.

（2）在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？

  图15

参考答案

1.（1）×（2）×

　2.166°　3.2

4. 解：（1）AB＝AC.

证明：连接AD，∵AB是☉O的直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.

∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.

图16 　　　　　　　　　　图17

（2）当△ABC为正三角形时，E是 AC的中点.

理由：连接BE，∵AB为☉O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.

∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，

即E是AC的中点.

课堂小结

布置作业

教材第158页习题A组第1,2题.

教材第158页习题B组第1,2题.

板书设计

28.3　圆心角和圆周角

第2课时

一、圆周角

定义：顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角.

特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.

（两个条件必须同时具备，缺一不可）

二、圆周角定理及推论

圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

圆周角定理的推论

直径所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.

教学反思

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