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所属成套资源：【中考三轮】中考数学三轮冲刺过关讲义
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中考数学三轮冲刺过关 回归教材重难点10 二次函数的实际应用
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这是一份中考数学三轮冲刺过关 回归教材重难点10 二次函数的实际应用，文件包含中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点10二次函数的实际应用教师版docx、中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点10二次函数的实际应用学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
中考数学第三轮复习策略
第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练，查漏补缺，这好比是一个建筑工程的验收阶段，考前练兵。
1、同学们应当注重研究历年的中考题，训练答题技巧、考场心态、临场发挥的能力等。2、第三轮复习应该注意的几个问题：
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要贴近中考题。
（2）模拟题的难度应当立足中考又要高于中考。
（3）详细统计模拟测试失分情况。
（4）对错题进行纠错和消化，与之相关的基础知识要再记忆再巩固。
（5）适当的“解放”，但应保持适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。
（6）调节生物钟。尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合。
回归教材重难点10 二次函数的实际应用
二次函数的实际应用是初中《二次函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把二次函数图像与性质结合起来，联系实际应用综合考查。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练二次函数性质，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度中等，甚至有些地方将其作为解答题的压轴题。
二次函数图象上点的坐标特征：解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
1．（辽宁省盘锦市2021年中考数学真题试卷）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．
（1）当时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
________
每台车床获利/万元
10
________
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元
【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元；
②根据题意可得根据题意：然后解方程即可；
（2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时，
W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.
【详解】解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元
所以每台获利，也就是（）万元
①补全表格如下面：
A型
B型
车床数量/台
每台车床获利/万元
10
②此时，由A型获得的利润是10（）万元，由B型可获得利润为万元，
根据题意：， ，，∵0≤≤14， ∴，
即应产销B型车床10台；
（2）当0≤≤4时，
当0≤≤4
A型
B型
车床数量/台
每台车床获利/万元
10
17
利润
此时，W＝＋＝，
该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）；
当4＜≤14时，
当4＜≤14
A型
B型
车床数量/台
每台车床获利/万元
10
利润
则W＝＋＝＝，
当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元），
∵W最大2＞ W最大1，
∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.
2．（江苏省淮安市2021年中考数学真题）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝-10x+900；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．
（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
【详解】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）=-10x+900，
∴y与x的函数表达式为：y＝-10x+900；
（2）设利润为w，由（1）知：w＝（x﹣50）（-10x+900）=﹣10x2＋1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2＋4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．
3．（贵州省遵义市2021年中考数学真题试卷）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【答案】（1）；（2）最大利润为3840元
【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．
【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，
当32＜x≤40时，y＝120，∴；
（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
4．（湖北省荆门市2021年中考数学真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【答案】（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设，由题意有，解得，所以解析式为；
（2） 由（1），又由表可得：，，．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
5．（内蒙古鄂尔多斯2021年中考数学试题）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法即可得出答案；
（2）设宾馆每天的利润为W元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W关于x的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．
【详解】（1）根据题意，设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
图象过（280，40），（290，39），∴，解得：
∴y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，
∵每间房价不低于200元且不超过320元，∴
（2）设宾馆每天的利润为W元，
，
∴
当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵，∴当x=320时，W最大=10800
∴当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及待定系数法求一次函数的解析式，注意利用配方法和函数的增减性求函数的最值，难度不大．
6．（2021年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷）某地积极响应国家乡村振兴的号召，决定成立草莓产销合作社，负责对农户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0＜x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
(1)直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式．
(2)为提高农户种植草莓的积极性，合作社决定按每吨0.3万元的标准奖励种植户，为确保合作社所获利润w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
【答案】(1)y＝；(2)产量至少要达到80吨
【分析】（1 ）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；
（2 ）先求出该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．
【详解】(1)解：当0≤x≤30时，y＝2.4；当30＜x≤70时，设y＝kx+b，
把（30，2.4），（70，2）代入得：，解得，∴y＝﹣0.01x+2.7；
当70＜x≤100时，y＝2；故y＝；
(2)解：当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w的最大值为32，不合题意；
当30＜x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w的最大值为48，不合题意；
当70＜x≤100时，w＝2x﹣（x+1）﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80，所以产量至少要达到80吨．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一次函数的性质是完整解决问题的关键．
7．（2021年山东省菏泽市东明县中考数学四模试题）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】(1)w＝﹣10x2+700x﹣10000；(2)当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
(3)A方案利润更高，理由见解析
【分析】（1），根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2），根据（ 1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3），确定两个方案的自变量取值范围，再求出利润，比较即可.
【详解】(1)由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；
(2)w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w最大＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
(3)A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故当x＝30时，w有最大值，
此时wA＝2000；
B方案中：故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35，∴当x＝45时，w有最大值，
此时wB＝1250，
∵wA＞wB，∴A方案利润更高．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了列二次函数关系式，二次函数的图象和性质，求二次函数的极值等，根据等量关系列出关系式是解题的关键．
8．（2022年浙江省温州外国语学校中考数学一模试题）随着电商时代发展， 某水果商以 “线上”与 “线下”相结合的方式销售我市瓯柑共1000箱， 已知“线上”销售的每箱利润为50元． “线下”销售的每箱利润 (元) 与销售量箱之间的函数关系如图中的线段 ．
(1)求与之间的函数关系．
(2)当“线下”的销售利润为28000元时，求的值．
(3)实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用， 若“线上”与“线下”售完这1000箱瓯柑所获得的最大总利润为56250元， 请求出的值．
【答案】(1)；(2)400；(3)
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出与之间的函数关系；
（2）根据题意和（1）中的结果，把代入求解即可；
（3）根据题意，可以得到利润与的函数关系式，再根据二次函数的性质，可以求得的值．
【详解】(1)解：设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，，解得，
即与的函数关系式为；
(2)解：由题意可得，，
又，，
解得，（舍去），即的值400；
(3)解：设“线下”销售瓯柑箱，则“线上”销售瓯柑箱，总利润为元，
由题意可得，，
该函数的对称轴为直线，
，，
“线上”与“线下”售完这1000箱榴莲所获得的最大总利润为56250元，
当时，，
化简，得，解得，（舍去），．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用数形结合的思想解答．
9．（2021年河北省九地市中考数学模拟试卷（二））某文具店计划在40天内销售一种成本为15元本的笔记本，该种笔记本的日销售量p（本）和销售天数x（单位：天，1≤x≤40，且x为正整数）之间满足一次函数关系，且其图象经过点（10，40），（40.10），当1≤x≤20时，销售单价q（元）和销售天数x（天）之间的部分对应值如表所示．
销售天数x/天
1
2
3
4
5
6
7
8
..．
销售单价q/元
30.5
31
31.5
32
32.5
33
33.5
34
..．
当21≤x≤40时，销售单价q（元）和销售天数x（天）之间满足
(1)求销售到第几天时，该种笔记本的销售单价为45元
(2)求出日销售量P与销售天数x的函数解析式
(3)设该文具店第x天获得的利润为y元，请求出y关于x的函数解析式
(4)在这40天中，该文具店第几天能够获利870元？
【答案】(1)21；(2)p=-x+50；(3)y＝；(4)21
【分析】（1）分1⩽x⩽20和21⩽x⩽40 两种情况讨论，列出相应方程求解即可；
（2）将点（10，40），（40，10）分别代入p=cx+d，求出c，d即可；
（3）分1⩽x⩽20和21⩽x⩽40 两种情况讨论，列出相应函数解析式；
（4）分1⩽x⩽20和21⩽x⩽40 两种情况讨论，列出相应方程求解即可．
【详解】(1)当1⩽x⩽20时，由表格可得，q 与x之间满足一次函数关系，故可设q=ax+b，
将（2，31），（4，32）分别代人q=ax+b，得 解得
故当1⩽x⩽20 时，q＝x+30，
令x+30＝45，解得x=30（不合题意，舍去）；
当21⩽x⩽40 时，令+20＝45，解得x=21，
经检验，x=21是原方程的解，且符合题意．
答：销售到第21天时，该种笔记本的销售单价为 45 元．
(2)由题可设p=cx+d，
将点（10，40），（40，10）分别代入p=cx+d，得 ，解得 ∴p=-x+50；
(3)1⩽x⩽20 时，y＝(x+30−15)(−x+50)＝−x2+10x+750，
当21⩽x⩽40 时，y＝(+20−15)(−x+50)＝− 5x-275，即y＝ ，
(4)当1⩽x⩽20 时，令−x2+10x+750＝870，即−x2+10x−120＝0，
∵Δ＝102−4×(−)×(−120)＝−140＜0，∴该方程无实数解，即前20天中，日利润不可能为870元．
当21⩽x⩽40 时，令−5x−275＝870，解得x1=21，x2=-250（不合题意，舍去），
经检验，x=21 是原方程的解，且符合题意．故在这40天中，该文具店第21天能够获利870元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，属于综合题，关键是利用数量关系建立函数模型．
10．（2021年江苏省南通市中考数学第二次适应性训练试卷）某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．
每天的定价x（元/间）
208
228
268
…
每天的房间空闲数y（间）
10
15
25
…
(1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？
(2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润．
【答案】(1)168；(2)宾馆应将房间定价确定为256或260元
【分析】（1）待定系数法求出y关于x的一次函数解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【详解】(1)设y=kx+b，由题意得： ，解得： ，∴y=x-42，
当y=0时，x-42=0，解得：x=168，
答：宾馆将每天的定价为168元/间时，所有的房间恰好被全部订完．
(2)设每天的利润为W元，根据题意，得：
W=（x-28）（80-y）-5000=（x-28）[80-（x-42）]-5000=-x2+129x-8416=-（x-258）2+8225，
∵当x=258时，y=×258-42=22.5，不是整数，∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
答：宾馆应将房间定价确定为256或260元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
11．（2021年山东省青岛市局属四校中考数学一模试卷）某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件．设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）．
(1)直接写出y与x的函数关系式为： ；
(2)若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价；
(3)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．
【答案】(1)y＝﹣10x2+280x﹣1600；(2)11元或17元；(3)200≤y≤360
【分析】（1）根据利润y等于每件的利润乘以销售量，列出y与x的函数关系式并化简；
（2）令y＝270得关于x的一元二次方程，求得方程的解；
（3）由每件该小商品的利润不超过100%和每天的进货总成本不超过800元，求得x的范围，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】(1)解：由题意得：
y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+280x﹣1600（x≥10）；
故答案为：y＝﹣10x2+280x﹣1600；
(2)解：令y＝270得：﹣10x2+280x﹣1600＝270，解得：x1＝11，x2＝17，
∴销售单价为11元或17元；
(3)解：∵每件该小商品的利润不超过100%，∴x﹣8≤100%×8，解得x≤16，
∵每天的进货总成本不超过800元，∴销售单价x≥10，
故销售单价的范围是10≤x≤16，
由（1）得y＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，
当x＝14时，利润最大是360元，
当x＝10时，利润y＝200元，
所以利润的取值范围是200≤y≤360．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得二次函数的解析式和不等式是解决本题的关键．
中考数学第三轮复习策略
第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练，查漏补缺，这好比是一个建筑工程的验收阶段，考前练兵。
1、同学们应当注重研究历年的中考题，训练答题技巧、考场心态、临场发挥的能力等。2、第三轮复习应该注意的几个问题：
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要贴近中考题。
（2）模拟题的难度应当立足中考又要高于中考。
（3）详细统计模拟测试失分情况。
（4）对错题进行纠错和消化，与之相关的基础知识要再记忆再巩固。
（5）适当的“解放”，但应保持适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。
（6）调节生物钟。尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合。
回归教材重难点10 二次函数的实际应用
二次函数的实际应用是初中《二次函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把二次函数图像与性质结合起来，联系实际应用综合考查。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练二次函数性质，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度中等，甚至有些地方将其作为解答题的压轴题。
二次函数图象上点的坐标特征：解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
1．（辽宁省盘锦市2021年中考数学真题试卷）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．
（1）当时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
________
每台车床获利/万元
10
________
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元
【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元；
②根据题意可得根据题意：然后解方程即可；
（2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时，
W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.
【详解】解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元
所以每台获利，也就是（）万元
①补全表格如下面：
A型
B型
车床数量/台
每台车床获利/万元
10
②此时，由A型获得的利润是10（）万元，由B型可获得利润为万元，
根据题意：， ，，∵0≤≤14， ∴，
即应产销B型车床10台；
（2）当0≤≤4时，
当0≤≤4
A型
B型
车床数量/台
每台车床获利/万元
10
17
利润
此时，W＝＋＝，
该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）；
当4＜≤14时，
当4＜≤14
A型
B型
车床数量/台
每台车床获利/万元
10
利润
则W＝＋＝＝，
当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元），
∵W最大2＞ W最大1，
∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.
2．（江苏省淮安市2021年中考数学真题）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝-10x+900；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．
（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
【详解】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）=-10x+900，
∴y与x的函数表达式为：y＝-10x+900；
（2）设利润为w，由（1）知：w＝（x﹣50）（-10x+900）=﹣10x2＋1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2＋4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．
3．（贵州省遵义市2021年中考数学真题试卷）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【答案】（1）；（2）最大利润为3840元
【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．
【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，
当32＜x≤40时，y＝120，∴；
（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
4．（湖北省荆门市2021年中考数学真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【答案】（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设，由题意有，解得，所以解析式为；
（2） 由（1），又由表可得：，，．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
5．（内蒙古鄂尔多斯2021年中考数学试题）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法即可得出答案；
（2）设宾馆每天的利润为W元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W关于x的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．
【详解】（1）根据题意，设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
图象过（280，40），（290，39），∴，解得：
∴y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，
∵每间房价不低于200元且不超过320元，∴
（2）设宾馆每天的利润为W元，
，
∴
当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵，∴当x=320时，W最大=10800
∴当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及待定系数法求一次函数的解析式，注意利用配方法和函数的增减性求函数的最值，难度不大．
6．（2021年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷）某地积极响应国家乡村振兴的号召，决定成立草莓产销合作社，负责对农户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0＜x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
(1)直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式．
(2)为提高农户种植草莓的积极性，合作社决定按每吨0.3万元的标准奖励种植户，为确保合作社所获利润w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
【答案】(1)y＝；(2)产量至少要达到80吨
【分析】（1 ）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；
（2 ）先求出该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．
【详解】(1)解：当0≤x≤30时，y＝2.4；当30＜x≤70时，设y＝kx+b，
把（30，2.4），（70，2）代入得：，解得，∴y＝﹣0.01x+2.7；
当70＜x≤100时，y＝2；故y＝；
(2)解：当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w的最大值为32，不合题意；
当30＜x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w的最大值为48，不合题意；
当70＜x≤100时，w＝2x﹣（x+1）﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80，所以产量至少要达到80吨．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一次函数的性质是完整解决问题的关键．
7．（2021年山东省菏泽市东明县中考数学四模试题）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】(1)w＝﹣10x2+700x﹣10000；(2)当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
(3)A方案利润更高，理由见解析
【分析】（1），根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2），根据（ 1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3），确定两个方案的自变量取值范围，再求出利润，比较即可.
【详解】(1)由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；
(2)w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w最大＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
(3)A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故当x＝30时，w有最大值，
此时wA＝2000；
B方案中：故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35，∴当x＝45时，w有最大值，
此时wB＝1250，
∵wA＞wB，∴A方案利润更高．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了列二次函数关系式，二次函数的图象和性质，求二次函数的极值等，根据等量关系列出关系式是解题的关键．
8．（2022年浙江省温州外国语学校中考数学一模试题）随着电商时代发展， 某水果商以 “线上”与 “线下”相结合的方式销售我市瓯柑共1000箱， 已知“线上”销售的每箱利润为50元． “线下”销售的每箱利润 (元) 与销售量箱之间的函数关系如图中的线段 ．
(1)求与之间的函数关系．
(2)当“线下”的销售利润为28000元时，求的值．
(3)实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用， 若“线上”与“线下”售完这1000箱瓯柑所获得的最大总利润为56250元， 请求出的值．
【答案】(1)；(2)400；(3)
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出与之间的函数关系；
（2）根据题意和（1）中的结果，把代入求解即可；
（3）根据题意，可以得到利润与的函数关系式，再根据二次函数的性质，可以求得的值．
【详解】(1)解：设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，，解得，
即与的函数关系式为；
(2)解：由题意可得，，
又，，
解得，（舍去），即的值400；
(3)解：设“线下”销售瓯柑箱，则“线上”销售瓯柑箱，总利润为元，
由题意可得，，
该函数的对称轴为直线，
，，
“线上”与“线下”售完这1000箱榴莲所获得的最大总利润为56250元，
当时，，
化简，得，解得，（舍去），．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用数形结合的思想解答．
9．（2021年河北省九地市中考数学模拟试卷（二））某文具店计划在40天内销售一种成本为15元本的笔记本，该种笔记本的日销售量p（本）和销售天数x（单位：天，1≤x≤40，且x为正整数）之间满足一次函数关系，且其图象经过点（10，40），（40.10），当1≤x≤20时，销售单价q（元）和销售天数x（天）之间的部分对应值如表所示．
销售天数x/天
1
2
3
4
5
6
7
8
..．
销售单价q/元
30.5
31
31.5
32
32.5
33
33.5
34
..．
当21≤x≤40时，销售单价q（元）和销售天数x（天）之间满足
(1)求销售到第几天时，该种笔记本的销售单价为45元
(2)求出日销售量P与销售天数x的函数解析式
(3)设该文具店第x天获得的利润为y元，请求出y关于x的函数解析式
(4)在这40天中，该文具店第几天能够获利870元？
【答案】(1)21；(2)p=-x+50；(3)y＝；(4)21
【分析】（1）分1⩽x⩽20和21⩽x⩽40 两种情况讨论，列出相应方程求解即可；
（2）将点（10，40），（40，10）分别代入p=cx+d，求出c，d即可；
（3）分1⩽x⩽20和21⩽x⩽40 两种情况讨论，列出相应函数解析式；
（4）分1⩽x⩽20和21⩽x⩽40 两种情况讨论，列出相应方程求解即可．
【详解】(1)当1⩽x⩽20时，由表格可得，q 与x之间满足一次函数关系，故可设q=ax+b，
将（2，31），（4，32）分别代人q=ax+b，得 解得
故当1⩽x⩽20 时，q＝x+30，
令x+30＝45，解得x=30（不合题意，舍去）；
当21⩽x⩽40 时，令+20＝45，解得x=21，
经检验，x=21是原方程的解，且符合题意．
答：销售到第21天时，该种笔记本的销售单价为 45 元．
(2)由题可设p=cx+d，
将点（10，40），（40，10）分别代入p=cx+d，得 ，解得 ∴p=-x+50；
(3)1⩽x⩽20 时，y＝(x+30−15)(−x+50)＝−x2+10x+750，
当21⩽x⩽40 时，y＝(+20−15)(−x+50)＝− 5x-275，即y＝ ，
(4)当1⩽x⩽20 时，令−x2+10x+750＝870，即−x2+10x−120＝0，
∵Δ＝102−4×(−)×(−120)＝−140＜0，∴该方程无实数解，即前20天中，日利润不可能为870元．
当21⩽x⩽40 时，令−5x−275＝870，解得x1=21，x2=-250（不合题意，舍去），
经检验，x=21 是原方程的解，且符合题意．故在这40天中，该文具店第21天能够获利870元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，属于综合题，关键是利用数量关系建立函数模型．
10．（2021年江苏省南通市中考数学第二次适应性训练试卷）某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．
每天的定价x（元/间）
208
228
268
…
每天的房间空闲数y（间）
10
15
25
…
(1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？
(2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润．
【答案】(1)168；(2)宾馆应将房间定价确定为256或260元
【分析】（1）待定系数法求出y关于x的一次函数解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【详解】(1)设y=kx+b，由题意得： ，解得： ，∴y=x-42，
当y=0时，x-42=0，解得：x=168，
答：宾馆将每天的定价为168元/间时，所有的房间恰好被全部订完．
(2)设每天的利润为W元，根据题意，得：
W=（x-28）（80-y）-5000=（x-28）[80-（x-42）]-5000=-x2+129x-8416=-（x-258）2+8225，
∵当x=258时，y=×258-42=22.5，不是整数，∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
答：宾馆应将房间定价确定为256或260元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
11．（2021年山东省青岛市局属四校中考数学一模试卷）某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件．设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）．
(1)直接写出y与x的函数关系式为： ；
(2)若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价；
(3)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．
【答案】(1)y＝﹣10x2+280x﹣1600；(2)11元或17元；(3)200≤y≤360
【分析】（1）根据利润y等于每件的利润乘以销售量，列出y与x的函数关系式并化简；
（2）令y＝270得关于x的一元二次方程，求得方程的解；
（3）由每件该小商品的利润不超过100%和每天的进货总成本不超过800元，求得x的范围，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】(1)解：由题意得：
y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+280x﹣1600（x≥10）；
故答案为：y＝﹣10x2+280x﹣1600；
(2)解：令y＝270得：﹣10x2+280x﹣1600＝270，解得：x1＝11，x2＝17，
∴销售单价为11元或17元；
(3)解：∵每件该小商品的利润不超过100%，∴x﹣8≤100%×8，解得x≤16，
∵每天的进货总成本不超过800元，∴销售单价x≥10，
故销售单价的范围是10≤x≤16，
由（1）得y＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，
当x＝14时，利润最大是360元，
当x＝10时，利润y＝200元，
所以利润的取值范围是200≤y≤360．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得二次函数的解析式和不等式是解决本题的关键．
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