【备考2023中考】2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积综合

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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积综合
1．如图，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．

3．如图，抛物线y＝（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②过点M作PM⊥x轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（0，﹣1），点P为线段BC上一动点，延长DP交抛物线于点H，连结BH．
①当四边形ODHB面积为，求点H的坐标；
②设K＝，求K的最大值．

5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）直接写出点的坐标：A　 　，B　 　，C　 　．
（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+CM的最小值；
（3）若P是抛物线上的一个动点，是否存在点P，使△ABP的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△PBQ的面积为s，点P运动时间为t，试求s与t的函数关系，并求s的最大值；
（3）在点P运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

7．如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）求a，k，b的值．
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（3）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积；
（3）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，请求出点P的坐标．

9．定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．

10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点M．
（1）求这条抛物线的解析式及直线BM的解析式；
（2）P为线段BM上一动点（点P不与点B、M重合），过点P向x轴引垂线，垂足为Q，设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


11．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点．
（1）分别求该抛物线和直线AC的解析式；
（2）横坐标为m的点P是直线AC上方的抛物线上一动点，△APC的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
（3）点M是直线AC上一动点，ME垂直x轴于E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，直接写出对应的点F，M的坐标；若不存在，说明理由．

12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的对称轴及△ABC的周长；
（2）点D是线段AC的中点，过点D作BC的平行线，分别与x轴、抛物线交于点E、F，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接PD交线段BC于点G，当四边形PGEF面积最大时，点Q从点P出发沿适当的路径运动到x轴上的点M处，再沿射线DF方向运动个单位到点N处，最后回到直线BC上的点H处停止，当点Q的运动路径最短时，求点Q的最短运动路径长及点H的坐标；
（3）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A、C的对应点分别为点A1、C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT、O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．
13．抛物线y＝ax2+bx﹣经过点A（﹣1，0）和B（2，0），直线y＝x+m经过点A和抛物线的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）动点P、Q从点A出发，分别沿线段AC和射线AO运动，运动的速度分别是每秒4个单位长度和3个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒，△APQ的面积为s，求s与t的函数关系式．（不写t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，线段PQ交抛物线于点D，点E在线段AP上，且AE＝AQ，连接ED，过点D作DF⊥DE交x轴于点F，当DF＝DE时，求点F的坐标．







14．如图，二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数y2＝x+a交于点A（﹣1，0），B（d，5）．
（1）求二次函数y1的解析式；
（2）当y1＜y2时，则x的取值范围是　 　；
（3）已知点P是在x轴下方的二次函数y1图象的点，求△OAP的面积S的最大值．

15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线BC的解析式为y＝﹣x+5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分？如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标．




16．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．

17．如图，已知点E在x轴上，⊙E交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，OB＝3OA＝3，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点，顶点为M．
（1）写出A、B两点的坐标A　 　，B　 　；
（2）求二次函数的关系式；
（3）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值．



18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求出该抛物线的函数关系式；
（2）设抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为M：
①求四边形ABMC的面积；
②点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点D，使得四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+c上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA．

（1）求抛物线解析式；
（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值；
（3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．
20．如图，二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），直线y＝2x﹣2与x轴、y轴交于点D，E．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）判断△ABE是否为直角三角形，说明理由．
（3）点M为该二次函数图象上一动点．
①若点M在图象上的B，C两点之间，求△DME的面积的最大和最小值．
②若∠MED＝∠EDB，求点M的坐标．















参考答案与试题解析
1．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（，0），
∵抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，﹣2x2+x+3），
则点M的坐标是（x，﹣2x+3），
∴EM＝﹣2x2+x+3﹣（﹣2x+3）＝﹣2x2+3x，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
＝EM•OC
＝×（﹣2x2+3x）×
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，即点E的坐标是（，）时，△BEC的面积最大，最大面积是．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，AM∥PQ，AM＝PQ．
由（2），可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，x﹣（﹣1）＝﹣
解得x＝﹣，
此时P（﹣，﹣3）；
②如图3，由（2）知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即﹣（﹣1）＝x﹣
解得x＝2，
此时P（2，﹣3）；
③如图4，由（2）知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣（﹣1）＝﹣，
解得x＝﹣，
此时P（﹣，2）；
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣3）或（2，﹣3）或（﹣，2）．




2．【解答】解：（1）由 y＝0，得 x2+x﹣2＝0 解得 x＝﹣2，x＝1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
由 x＝0，得 y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．

设直线 AC 为 y＝kx+b，则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得 k＝﹣1，y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝﹣，当 x＝﹣时，y＝_（﹣）﹣2＝﹣，
∴P（﹣，﹣）．

（3）过点M作MN⊥x轴与点N，

设点M（x，x2+x﹣2），则AO＝2，ON＝﹣x，OB＝1，OC＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，
S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC＝×2×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）+×1×2
＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4．
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣1时，S四边形ABCM的最大值为4．
3．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴﹣3＝（0+1）2+k，
解得：k＝﹣4，
∴抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，
故对称轴为：直线x＝﹣1；

（2）存在．
如图，连接AC，交对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，
当y＝0，则0＝（x+1）2﹣4，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
由题意可得：△ANP∽△AOC，
则＝，
故＝，
解得：PN＝2，
则点P的坐标为：（﹣1，﹣2）；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
故﹣3＜x＜0；
①如图，设点M的坐标为：[x，（x+1）2﹣4]，
∵AB＝4，
∴S△AMB＝×4×|（x+1）2﹣4|＝2|（x+1）2﹣4|，
∵点M在第三象限，
∴S△AMB＝8﹣2（x+1）2，
∴当x＝﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：[x，（x+1）2﹣4]，
设直线AC的解析式为：y＝ax+d，
将（﹣3，0），（0，﹣3）代入得：
，
解得：．
故直线AC：y＝﹣x﹣3，
设点P的坐标为：（x，﹣x﹣3），
故PM＝﹣x﹣3﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣3x＝﹣（ x+）2+，
当x＝﹣时，PM最大，最大值为．

4．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵OB＝OC，B（3，0），
∴OB＝OC＝3，C（0，﹣3），
将A，B，C点坐标代入函数解析式，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，连接OH，
∵D（0，﹣1），
∴OD＝1，
设H坐标是（m，m2﹣2m﹣3），
则S四边形ODHB＝S△ODH+S△OBH
＝OD•m+OB•|m2﹣2m﹣3|
＝＝，
解得：m＝或m＝2，
∴H（，）或（2，﹣3），
∴当四边形ODHB面积为，点H的坐标为（，）或（2，﹣3）；

②如图，作HE⊥OB于E点，交BC于F，
设BC的解析式为y＝kx+t，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入函数解析式，
得，
解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设H（h，h2﹣2h﹣3），F（h，h﹣3），
则HF＝h﹣3﹣（h2﹣2h﹣3）＝﹣h2+3h，
∵HF∥CD，
∴△PCD∽△PHF，
∴K＝＝＝＝﹣（h﹣）2+，
当h＝时，K最大且最大值是．


5．【解答】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝3或﹣1，
∴C（0，﹣3），A（﹣1，0），B（3，0），
故答案为：（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3）；

（2∵点A，B关于抛物线对称轴l对称，
∴连接BC交抛物线对称轴于M点，此时AM+CM最小，最小为BC的长，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴AM+CM的最小值为＝3；

（3）存在，
∵△ABP的面积为10，AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∴△ABP的边AB上的高的长为＝5，
∴点P的坐标为5或﹣5，
当点P的纵坐标为5时，5＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2或＝4，
∴点P的坐标为（﹣2，5）或（4，5），
当点P的纵坐标为﹣5时，﹣5＝x2﹣2x﹣3，整理得：x2﹣2x+2＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根，
综上所述，点P的坐标为（﹣2，5）或（4，﹣5）．

6．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴＝1；
又∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，作QD⊥x轴于点D，则∠BDQ＝90°，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点A与点B（3，0）关于直线x＝1对称，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝3，
∴BC＝＝3，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴AB＜BC，∠DQB＝∠DBQ＝45°，
∴QD＝BD，
∵QD2+BD2＝BQ2，
∴2QD2＝BQ2，
∴QD＝BD＝BQ，
由题意得，AP＝BQ＝t，
∴QD＝BD＝t，
∵S△PBQ＝BP•QD＝×（4﹣t）×t＝t2+t，
∴s与t的函数关系式为s＝t2+t（0＜t＜4），
∵s＝t2+t＝（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，s最大＝．
（3）存在，作QD⊥x轴于点D，
由（2）得，∠DQB＝∠DBQ＝45°，QD＝BD＝t，
如图2，∠PQB＝90°，则∠PQD＝∠BQD＝45°，
∵QD＝QD，∠PDQ＝∠BDQ＝90°，
∴△PDQ≌△BDQ（ASA），
∴PD＝BD＝t，
∴PB＝2PD＝t，
∴t+t＝4，
解得t＝；
如图3，∠BPQ＝90°，
则PQ⊥x轴，
∴点P与点D重合，
∴4﹣t＝t，
解得，t＝8，
综上所述，t的值为或8．



7．【解答】解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，
把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，解得，
∴a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2；

（2）观察函数图象可知，关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2；

（3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，

∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．
过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），
∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．
∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，
＝×AC•PD+×BC•PE﹣×BC•AC，
＝×3×（m+1）×3×（﹣m2+4）﹣×3×3，
＝﹣m2+m+3．
∵﹣＜0，m＝﹣＝，
而﹣1＜m＜2，
∴当m＝时，S△APB的最大值为，此时点P的坐标为（，﹣）；

（4）存在三组符合条件的点．

当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
可得坐标如下：
①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，
解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；
②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．
故：P、Q的坐标分别为（﹣3，﹣9）、（0，﹣12）或（3，﹣9）、（0，﹣6）或（1，﹣1）、（0，﹣4）．
8．【解答】解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得
，
解得，
∴这个二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x﹣6；
（2）∵对称轴x＝﹣＝﹣＝4，
∴C点的坐标是（4，0），
∴AC＝2，OB＝6，
∴S△ABC＝AC•OB＝×2×6＝6；
（3）如图所示，设二次函数y＝﹣x2+4x﹣6的图象与x轴的另一个交点为A'，连接A'B，交对称轴于点P，

由对称得：A'（6，0），
因为AB为定值，要使△ABP的周长最小，所以只要PA+PB最小，
由于点A与点A'关于对称轴x＝2对称，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为A'B，
因而A'B与对称轴x＝2的交点P就是所求的点，
设直线A'B的解析式为y＝kx+m，
根据题意可得，
解得，
所以直线A'B的解析式为y＝x﹣6，
当x＝4时，y＝4﹣6＝﹣2，
∴点P的坐标为（4，﹣2）．
9．【解答】解：（1）A、C为线段MN的三等分点，则点A、C的坐标分别为：1，2，
故点A、C的坐标分别为：（1，2）、（2，1）；

（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；

②存在，理由：
设点P（m，﹣m2+m），
直线OC的表达式为：y＝x，则点E（1，），BE＝，
AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，
化简得：7m2﹣15m+7＝0，
解得：m＝（舍去负值），
故点P的坐标为：（，）；

（3）设直线A′O′交OC于点H，交x轴于点G，直线A′B′交OC于点R，交x轴于点K，过点H作HE⊥A′B′于点E，

设点A向下平移m个单位向右平移m个单位得到A′（1+m，2﹣m），
设直线O′A′的表达式为：y＝2x+b，将点A′的坐标代入上式并解得：
直线O′A′的表达式为：y＝2x﹣3m…①，
故点G（，0），则GK＝1+m﹣＝1﹣m，
直线OC的表达式为：y＝x…②，
联立①②并解得：x＝2m，故点H（2m，m），则HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，
点R（1+m，），则A′R＝2﹣m﹣（m+1）＝，
S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣（1﹣m）（）＝，
解得：m＝，
故点A′的坐标为：（，）．
10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4）
设直线BM的解析式为y＝kx+n，
则有
，
解得：，
∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）∵PQ⊥x轴，OQ＝t，
∴点P的坐标为（t，﹣2t+6），
∴S四边形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOC＝，
＝，
＝，
∵P为线段BM上一动点（点P不与点B、M重合），
∴t的取值范围是1＜t＜3．
（3）线段BM上存在点N（），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形；
CM＝，CN＝，MN＝，
①当CM＝NC时，，
解得x1＝，x2＝1（舍去），
此时N（），
②当CM＝MN时，＝，
解得x1＝，x（舍去），
此时N（），
③当CN＝MN时，＝，
解得x＝2，此时N（2，2）．
11．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（2，0）、C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+4；
又∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4；
（2）①设P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），
如图1，过点P作PH∥y轴交AC于点H，则H（m，﹣2m+4），

∴PH＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，
∵S△APC＝S△PHC+S△PHA，
∴＝＝﹣2m2+4m．
②∵0＜m＜2，S＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2，
∴m＝1时，△APC的面积为S有最大值，最大值为2．
（3）存在．
理由如下：如图2，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），

①∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|＝|﹣2a+4|，
即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），
解得a＝或a＝4，
∴点F坐标为（0，）时，点M的坐坐标为（），
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
②∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|＝|﹣2a+4|，
即a＝﹣（﹣2a+4），
解得a＝1，
﹣2a+4＝2×1＝2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
或a＝﹣
此时无解，
综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（），
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
12．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x＝＝3，在抛物线y＝﹣x2+x+4中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），
令y＝0，得﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0），AB＝8﹣（﹣2）＝10，
∴AC＝＝＝2，BC＝＝＝4，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+2+4＝10+6．
（2）设BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）分别代入得，解得，
∴直线BC的解析式为，
∵D为AC中点，∴D（﹣1，2），
∴CD＝AC＝＝＝
∵tan∠ACO＝＝，tan∠CBO＝＝＝
∴tan∠ACO＝tan∠CBO
∴∠ACO＝∠CBO，∵∠CBO+∠BCO＝90°
∴∠ACO+∠BCO＝90°，即∠BCA＝90°
∵DF∥BC，设DF解析式为，将D（﹣1，2）代入得，解得：n＝，
∴直线DF解析式为，令y＝0，则x＝3，∴E（3，0）
解方程组得，；∴F（4+，），
设P（m，+m+4），过D作DW⊥x轴于点W，过F作FR⊥x轴于点R，过P作PL⊥x轴交BC于点L，PT⊥BC于T交DF于S，过G作GZ⊥DF于Z，则L（m，m+4），PL＝+2m，
∵DF∥BC，
∵PL⊥x轴，PT⊥BC
∴∠PLT＝∠BCO，∠PTL＝∠BOC＝90°
∴△BCO∽△PLT
∴＝，即＝
∴PT＝，
∵DF∥BC，GZ⊥DF，PT⊥BC
∴GZ＝TS＝CD＝
∴PS＝PT+TS＝+，
∴S四边形PGEF＝S△PDF﹣S△DEG＝×（+）＝﹣（m﹣4）2+，
∴当m＝4时，S四边形PGEF的最大值＝，此时，P（4，6），
作P关于x轴对称点P′（4，﹣6），过P′作P′K⊥BC于K交x轴于M，过M作MN∥DF，且MN＝，点N在M右侧，过N作NH⊥BC于H，连接PM，
此时，点Q的最短运动路径长＝PM+MN+NH＝P′K+MN，
易求得直线PK解析式为：y＝2x﹣14，令y＝0，得x＝7，∴M（7，0），∴PM＝＝3，NH＝MK＝
∴点Q的最短运动路径长＝3++＝，
联立方程组，解得：，∴V（，），
∵VH＝MN＝，由平移规律可知：H（，）；
（3）△O1KT能成为以O1K为直角边的等腰直角三角形．
①当O1K＝KT时，且O1在x轴下方，设抛物线对称轴交x轴于点U，则U（3，0）
∵△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，且点A1落在线段AC上，设T（3，t）
∴OA1＝OA＝2，易求得：A1（﹣，），C1 （，），∴tan∠C1OB＝，
∵O1C2∥OC1，
∴∠OO1C2＝∠C1OB，
∵∠O1KT＝90°，∴∠O1KO+∠TKB＝∠OO1C2+∠O1KO＝90°
∴∠TKB＝∠OO1C2，∴tan∠TKB＝＝tan∠C1OB＝，
∴KU＝，
∵O1K＝KT
∴△O1KO≌△KTU（AAS）
∴OK＝UT＝﹣t，∵OK+KU＝3
∴﹣t＝3，解得：t＝﹣
∴T1（3，），
②当O1K＝O1T时，且O1在x轴下方，如图3，作TU⊥y轴于U，
∵∠KOU＝∠TUO＝∠TO1K＝90°，
∴∠OO1K+∠O1KO＝∠OO1K+∠TO1U＝90°
∴∠O1KO＝∠TO1U
∵O1K＝O1T
∴△O1KO≌△TO1U（AAS）
∴OO1＝TU＝3
∵＝，即：＝，∴O1U＝OK＝4
∴OU＝7
∴T2（3，7），
③当O1K＝KT时，且O1在x轴上方，方法同①，此时，点T不存在；
④当O1K＝O1T时，且O1在x轴上方，方法同②，可求得T3（3，﹣1）；
综上所述，使△O1KT成为以O1K为直角边的等腰直角三角形的点T的坐标为：T1（3，），T2（3，7），T3（3，﹣1）；



13．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）和B（2，0），
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为y＝

（2）设AC与y轴交点为G，过点P作PH⊥x轴于点H，
依题意得：AP＝4t，AQ＝3t
∵直线AC：y＝x+m经过点A（﹣1，0）
∴+m＝0，得m＝
∴直线AC解析式为：y＝x+
∴G（0，），OG＝
∴AG＝
∵GO∥PH
∴△AGO∽△APH
∴
∴PH＝
∴s＝AQ•PH＝


（3）过点D作MN⊥x轴于点N，过点E作EM⊥MN于点M，作ER⊥x轴于点R
∴四边形EMNR是矩形，△AGO∽△AER
∴＝
∵AE＝AQ＝3t，AG＝2，GO＝，AO＝1
∴MN＝ER＝，AR＝
∴E（﹣1+，）
设点D（d，），F（f，0）
∴EM＝d﹣（﹣1+）＝d+1﹣，MD＝，DN＝，FN＝d﹣f
∵DE⊥DF
∴∠EMD＝∠EDF＝∠DNF＝90°
∴∠MED+∠MDE＝∠MDE+∠NDF＝90°
∴∠NDF＝∠MED
∴△NDF∽△MED
∴
∴DN＝EM，FN＝MD
∴①
d﹣f＝②
∵P（﹣1+2t，2t），Q（﹣1+3t，0）
∴直线PQ解析式为：y＝﹣2x+6t﹣2
∵点D为PQ与抛物线交点
∴③
把①③联立方程组解得： （舍去）
∴由②得：f＝＝1
∴点F坐标为（1，0）

14．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（d，5）分别代入y2＝x+a，得：．
解得：．
所以B（4，5）．
把A（﹣1，0），B（4，5）分别代入y1＝x2+bx+c，得：．
解得：．
故二次函数y1的解析式为：y1＝x2﹣2x﹣3．

（2）结合函数图象知：当y1＜y2时，则x的取值范围是：﹣1＜x＜4．
故答案是：﹣1＜x＜4．

（3）由y1＝x2﹣2x﹣3知，y1＝（x﹣1）2﹣4．即该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）．
由于S＝OA•|yP|，且OA＝1，
所以当|yP|取最大值时，S取最大值．
所以当|yP|＝4时，S最大值＝OA•|yP|＝×1×4＝2．
即：△OAP的面积S的最大值是2．

15．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
当y＝0时，﹣x+5＝0，
解得：x＝5，
∴点B的坐标为（5，0）．
将B（5，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5．
（2）连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，如图1所示．
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），
∴OD＝m，BD＝5﹣m，PD＝﹣m2+4m+5，
∴S＝S梯形CODP+S△PDB﹣S△COB，
＝[OC+PD]•OD+PD•BD﹣OB•OC，
＝（5+﹣m2+4m+5）•m+（﹣m2+4m+5）•（5﹣m）﹣×5×5，
＝﹣m2+m，
即S＝﹣m2+m（0＜m＜5）．
（3）连接PA，交直线BC于点E，如图2所示．
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
∵点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点E为线段AP的中点，
∴点E的坐标为（，）．
又∵点E在直线y＝﹣x+5上，
∴＝﹣+5，
解得：m1＝2，m2＝3，
∴抛物线上存在点P（2，9）或（3，8），使得线段PA被BC平分．


16．【解答】解：（1）根据题意得：
．
解得：b＝2，c＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3；

（2）∵当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1．
∴B（﹣3，0），
又A（1，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3．
∴△ABC的面积为×4×3＝6；

（3）∵AB＝4，△ABP的面积为10，
∴AB边上的高为5，
即点P的纵坐标为5或﹣5．
∴x2+2x﹣3＝5或x2+2x﹣3＝﹣5，
方程x2+2x﹣3＝5的解为：x1＝﹣4，x2＝2，
方程x2+2x﹣3＝﹣5没有实数解．
∴P点坐标为（﹣4，5），（2，5）．
17．【解答】解：（1）∵OB＝3OA＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
故答案为（﹣1，0）（3，0）；
（2）连接CE，
∵OA＝1，OB＝3，
∴AB＝4，
∴AE＝CE＝EB＝2，
∴OE＝1，
∴OC＝＝＝，
∴C（0，），
把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）代入y＝ax2+bx+c得，
解得
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+；

（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+，M（1，）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，
则有解得
∴直线MB的解析式为y＝﹣x+，
∵PQ⊥x轴，OQ＝m，
∴点P的坐标为（m，﹣m+）
S四边形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOC＝AO•CO+（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）
＝×1×+（﹣m++）•m＝﹣m2+m+；
∵S四边形ACPQ＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
∴四边形ACPQ的面积的最大值为．
18．【解答】解：（1）解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵抛物线过点 C（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴抛物线解析式为 y＝（x+1）（x﹣3），
（2）①∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4）；
如图1

∴S△BCM＝S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BCO
＝（3+4）×1+×2×4﹣×3×3
＝+4﹣
＝3；
S△ABC＝×4×3＝6，
∴S四边形ANBC＝3+6＝9．
②如图2

设D（x，x2﹣2x﹣3），
∴OH＝x，DH＝2x+3﹣x2，HB＝3﹣x
∴S四边形ABDC＝S△AOC+S四边形OCDH+S△HDB
＝++
＝﹣；
∴x＝时，S四边形ABDC的最大值为，
y＝，
∴D（，）．
（3）如图3

过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．
∵CO＝BO＝3，
∴∠CBO＝45°，
∴∠EBO＝45°，BO＝OE＝3．
∴点E的坐标为（0，3）．
将（0，3），（3，0）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+3，
由，
解得，，
如图4，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．
∵∠CBO＝45°，
∴∠CFB＝45°，OF＝OC＝3．
∴点F的坐标为（﹣3，0）．
∴直线CF的解析式为y＝﹣x﹣3．
由，
解得，，
∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．
综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．

19．【解答】解：（1）由A（﹣3，0），且OC＝OA可得
A（﹣3，0）
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如图1，

设直线AC解析式为y＝kx+d
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m，m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），
S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝MN×3＝，
MN＝﹣m2﹣3m＝﹣+，
∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，
∴m＝﹣时，MN最大，此时S＝；
（3）如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等．

∵O′B′＝OB＝1，O′D′＝OD＝2，
设B′（t，﹣t2﹣2t+3），则D′（t+1，﹣t2﹣2t+3+2）
∵D′在抛物线上，则﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝﹣t2﹣2t+3+2，
解得，t＝，则B′的坐标为（，），
P是点B（1，0）和点B′（，），的对称中心，
，，
∴P（，）．
20．【解答】解：（1）设y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入得﹣3＝﹣3a，
∴a＝1，
∴该二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）△ABE不是直角三角形；理由是：
直线y＝2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AE2＝12+22＝5，BE2＝22+32＝13，AB2＝（3+1）2＝16，
∴AE2+BE2≠AB2，
∴△ABE不是直角三角形；
（3）①如图1，过M作MN∥y轴，交直线DE于N，交x轴于H，
当y＝0时，2x﹣2＝0，x＝1，
∴OD＝1，
则S△MDE＝S△MNE﹣S△MND＝MN•OH﹣MN•DH＝MN•OD＝MN，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则N（m，2m﹣2），
∴MN＝2m﹣2﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m+1，
∴S△MDE＝MN＝＝﹣（m﹣2）2+，（0≤m≤3），
当m＝2时，S最大值＝，
当m＝0时，S最小值＝；
②当点M在第四象限时，延长ME交x轴于点F，如图2，
∵∠FDE+∠EDB＝180°，∠FED+∠MED＝180°，
又∵∠MED＝∠EDB，
∴∠FDE＝∠FED，
∴FE＝FD，
设F（x，0），则FE2＝FO2+OE2＝x2+4，FD2＝（x﹣1）2，
∴x2+4＝（x﹣1）2，得x＝﹣1.5，
即F（﹣1.5，0），
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，
把F（﹣1.5，0），E（0，﹣2）代入得：，解得：，
∴直线EF的解析式为：y＝﹣x﹣2，
则﹣x﹣2＝x2﹣2x﹣3，
解得：x＝，
∵点M在第四象限，所以x＝，
∴点M（，）；
当点M在第三象限时，如图3，
∵∠MED＝∠EDB，
∴ME∥x轴，
设M（a，﹣2），
将坐标代入二次函数，得﹣2＝a2﹣2a﹣3，，
∵a在第三象限，
∴，
∴点M（，﹣2），
综上所述，点M的坐标是（，）或（，﹣2）．