【备考2023中考】2023年中考数学高频考点突破——二次函数与四边形综合

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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与四边形综合
1．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．
（1）求抛物线的解析式与点B坐标；
（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．
（1）求直线AC解析式；
（2）过点A作AD平行于x轴，交抛物线于点D，点F为抛物线上的一点（点F在AD上方），作EF平行于y轴交AC于点E，当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标，并求出最大面积；
（3）若动点P先从（2）中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．

4．如图，已知直线y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）求图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．


5．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A与点B的坐标；
（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．
（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．


7．如图，抛物线y＝与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧，）与y轴交于点C，作直线AC．
（1）点B的坐标为　 　，直线AC的关系式为　 　．
（2）设在直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E，当CE平分∠OEP时求点P的坐标．
（3）点M在x轴上，点N在抛物线上，试问以点A、C、M、N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若存在，直接写出所有点M的坐标；若不存在，请简述你的理由．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x的顶点为点A

（1）求点A的坐标；
（2）点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ＝，求OQ+QC的最小值；
（3）当（2）中OQ+QC取得最小值时，直线OQ与抛物线另一交点为点E，作点E关于抛物线对称轴的对称点E′．点R是抛物线对称轴上的一点，在x轴上是否存在点S，使得以O、E′、R、S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出S点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．

10．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）求△ABC的周长；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，当△BPC面积最大时，在x轴下方找一点Q，使得AQ+BQ+PQ最小，记这个最小值是d，请求出此时点P的坐标及d2．
（3）在（2）的条件下，连接AP交y轴于点R，将抛物线沿射线PA平移，平移后的抛物线记为y'，当y经过点A时，将抛物线y'位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得的曲线记为N，点D'为曲线N的顶点，将△AOP沿直线AP平移，得到△A'O'P'，在平面内是否存在点T，使以点D'、R、O'、T为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出O'的横坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．

13．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O，C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，NE⊥AD于点E，求NE的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t．是否存在t，使以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、E两点，且点E的坐标为（﹣，0），以OC为直径作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连接PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

17．已知如图，抛物线y＝﹣x+4交x轴于A、C两点，点D是x轴上方抛物线上的点，以A，D为顶点按逆时针方向作正方形ADEF．
（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴的表达式；
（2）当点F落在对称轴上时，求出点D的坐标；
（3）连接OD交EF于点G，记OA和EF交于点H，当△AFH的面积是四边形ADEH面积的时，则＝　 　．（直接写出答案）

18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．


19．如图，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于C、D两点，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点D，与直线相交于点E，且CD：DE＝4：3．
（1）求点E的坐标和二次函数表达式；
（2）过点D的直线交x轴于点M．
①当DM与x轴的夹角等于2∠DCO时，请直接写出点M的坐标；
②当DM⊥CD时，过抛物线上一动点P（不与点D、E重合），作DM的平行线交直线CD于点Q，若以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．

20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME⊥x轴于点E，交线段BC于点D，MN∥x轴，交y轴于点N
（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；
（3）连接OD，AC，抛物线上是否存在点M，使得以点C，O，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在请说明理由．

参考答案：
1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3）
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1
∵点B在x轴负方向，
∴点B坐标为（﹣1，0）；
（2）作AM⊥x轴于M，

∴点M（2，0），AM＝3，
∴AM＝BM＝3，
∴∠ABM＝45°
∴AB＝
当BA＝BD时，若点D在B点左侧，此时点D，
若点D在B点右侧，此时点D，
当AD＝BD时，显然点D即为点M，坐标（2，0），
当AB＝AD时，DM＝BM＝3，此时点D（5，0），
综上所述：点D坐标为，，（2，0），（5，0）；

（3）抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为x＝1，即点N横坐标为1，
∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，
∴xB﹣xM＝xA﹣xN或xB﹣xN＝xA﹣xM，
∴﹣1﹣xM＝2﹣1或﹣1﹣1＝2﹣xM，
∴xM＝﹣2或4，
∴M（4，5）或（﹣2，5）．
2．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．
∴当x＝0时，y＝5，则点A（0，5）
当y＝0时，0＝﹣x2+4x+5，
∴x1＝5，x2＝﹣1，
∴点B（﹣1，0），点 C（5，0）
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∴
解得：
∴直线AC解析式为：y＝﹣x+5，
（2）∵过点A作AD平行于x轴，
∴点D纵坐标为5，
∴5＝﹣x2+4x+5，
∴x1＝0，x2＝4，
∴点D（4，5），
∴AD＝4
设点F（x，﹣x2+4x+5），则点E坐标为（x，﹣x+5）
∴EF＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，
∵四边形AFDE的面积＝AD×EF＝2EF＝﹣2x2+10x＝﹣2（x﹣）2+
∴当x＝时，四边形AFDE的面积的最大值为，
∴点F（，）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
∴MN＝2，
如图，将点C向右平移2个单位到点H（7，0），过点F作对称轴x＝2的对称点G（，），连接GH，交直线x＝2于点M，

∵MN∥CH，MN＝CH＝2，
∴四边形MNCH是平行四边形，
∴NC＝MH，
∵动点P的运动路径＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，
∴当点G，点M，点H三点共线时，动点P的运动路径最小，
∴动点P的运动路径最短距离＝2+＝2+
设直线GH解析式为：y＝mx+n，
∴
解得
∴直线GH解析式为：y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，
∴点N（0，）
3．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）
∴OA＝2，OB＝8，
∵OC＝2OA，
∴OC＝4，
∴点C（0，4）
∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C，
∴4＝﹣16a，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；
（2）如图1，

由题意：点D（3，0），
∴OD＝3，
设P（m，﹣m2+m+4），（m＞0，﹣m2+m+4＞0）
∵C（0，4），
∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣m+）x+4，
设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣m+），
∴DE＝﹣m+，
∵S△ABC＝×AB×OC，
∴S△ABC＝×10×4＝20，
∵S△CDP＝S△ABC，
∴×（﹣m+）×m＝×20，
∴m1＝4或m2＝；
（3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，

∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，
∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，
∴△BCO≌△BC'E（AAS）
∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，
∴点C'（4，﹣8），且B（8，0）
∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16，
∴2x﹣16＝﹣x2+x+4，
∴x1＝﹣10，x2＝8，
∴点K（﹣10，﹣36），
∵xC﹣xB＝xH﹣xK，
∴0﹣8＝xH﹣（﹣10），
∴xH＝﹣18，
∵yC﹣yB＝yH﹣yK，
∴yH＝﹣32，
∴点H（﹣18，﹣32），
若BC为边，∠BCK＝90°时，
同理可求：直线CK的解析式为：y＝2x+4，
∴2x+4＝﹣x2+x+4，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴点K坐标（﹣2，0）
∵xC﹣xB＝xK﹣xH，
∴0﹣8＝﹣2﹣xH，
∴xH＝﹣6，
∵yC﹣yB＝yK﹣yH，
∴yH＝﹣4，
∴点H（6，﹣4），
若BC为对角线，
∵B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形，
∴BC＝KH，BC与KH互相平分，
∵B（8，0），C（0，4）
∴BC中点坐标（4，2），BC＝＝＝4，
设点K（x，﹣x2+x+4）
∴（x﹣4）2+（﹣x2+x+4﹣2）2＝（2）2，
∴x（x﹣2）2（x﹣8）＝0，
∴x1＝0，x2＝2，x3＝8，
∴K（2，6），且KH的中点坐标（4，2），
∴点H（6，﹣2）
综上所述：点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．
4．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣+2与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，
∴点A（0，2），点B（4，0）
∵抛物线y＝经过点A、B，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）设点C（x，﹣x2+x+2），
∵CP∥y轴，
∴点P（x，﹣x+2），
∴PC＝yc﹣yp＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣（x﹣2）2+2，
∵点P在线段AB上运动，
∴0≤x≤4，
∴当x＝2时，线段PC的长度的最大值为2；
（3）假设点P的坐标为（x，﹣x+2），
∵PC⊥x轴，
∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，
∴点C（x，﹣x2+x+2），
①当点P在第一象限内时，假设存在这样的点P，使得四边形AOPC是平行四边形，如图1，

∵四边形OACP是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴x＝2，
∴点P（2，1），
②当点P在第二象限内时，假设存在这样的点P，使得四边形AOCP是平行四边形，如图2，

∵四边形OAPC是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣x+2﹣（﹣x2+x+2）
∴x2﹣4x﹣4＝0，
∴x＝2﹣2或x＝2+2（舍去），
∴点P（2﹣2，1+），
③当点P在第四象限内，假设存在这样的点P，使得四边形AOCP是平行四边形，如图3，

∵四边形OAPC是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣x+2﹣（﹣x2+x+2）
∴x2﹣4x﹣4＝0，
∴x＝2﹣2（舍去）或x＝2+2，
∴点P（2+2，1﹣），
综上所述：使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形，满足的点P的坐标为：（2，1）或（2+2，1﹣）或（2﹣2，1+）．
5．【解答】解：（1）抛物线的了表达式为：y＝（x﹣4）（x+2）＝x2﹣x﹣4；

（2）设点D（m，m2﹣m﹣4），
S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA＝AO×yD＝+＝[﹣（m2﹣m﹣4）]＝﹣（m﹣2）2+16，
当m＝2时，S的最大值为16；

（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，
圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，设点R（m，n）．

∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，
∴∠CRN＝∠MBR，
∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，
∴△BMR≌△RNC（AAS），
∴CN＝RM，RN＝BM，
即m+2＝n+4，﹣n＝m，解得：m＝1，n＝﹣1，
即点R（1，﹣1），即点R在函数对称轴上，
圆的半径为：＝，
则点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．
6．【解答】解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；
（2）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）…①，
当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x+3…②，

联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）；
②∠M′AO＝45°时
同理可得：点M（﹣2，﹣1）；
故：﹣2≤m≤4；
（3）①当BD是矩形的对角线时，如图2所示，

过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF，
抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝﹣1，
抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：﹣1，OB＝1，
而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a，
线段BD的中点K的横坐标为：＝﹣，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，﹣3a），则HF＝BE＝3a，
∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF，
∴△DFQ∽△QEB，则，，解得：a＝（舍去负值），
同理△PGB≌△DFQ（AAS），
∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）；
②如图3，当BD是矩形的边时，

作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L，
同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3，
∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），
则QN＝DL＝21a，同理△PLD∽△DIB，
∴，即，解得：a＝（舍去负值），
LI＝26a＝，故点P（﹣1，），；
综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，）．
7．【解答】解：（1）y＝，令y＝0，则x＝2或﹣8，令x＝0，则y＝﹣4，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣8，0）、（2，0）、（0，﹣4），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣4，
故答案为：（2，0），y＝﹣x﹣4；

（2）如图，左侧图是局部放大图，

∵CE平分∠OEP时，∴∠OEC＝∠CEP，
∵PD∥y轴，∴∠CEP＝∠ECO＝∠OEC＝α，
则△OEC为等腰三角形，
tan∠ECO＝＝2＝tanα，则sinα＝，
过点E作y轴的垂线交于点F，过点O作OH⊥EC于点H，
设：OH＝2x，则CH＝x，而OH2+HC2＝OC2，即x2+4x2＝16，解得：x＝，
EF＝ECsinα＝2××，故m＝﹣，
则点P（﹣，﹣）；

（3）设：点N（m，n），n＝m2+m﹣4，点M（s，0），
①当AC是平行四边形的边时，
则点A向右平移8个单位向下平移4个单位得到C，
同理N（M）向右平移8个单位向下平移4个单位得到M（N），
即m+8＝s，n﹣4＝0或m﹣8＝s，n+4＝0，而n＝m2+m﹣4，
解得：s＝5±或﹣14，
②当AC是平行四边形的对角线时，
利用中点公式得：﹣8＝m+s，﹣4＝n，而n＝m2+m﹣4，
解得：s＝﹣2；
故点M的坐标为：（5+，0）或（5﹣）或（﹣14，0）或（﹣2，0）．
8．【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，
∴A（﹣2，﹣4）；
（2）如图1，过P作PH⊥x轴交OB于H，作PG⊥BC于G，过M作MD⊥y轴交y轴于D，
∵点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，∴B（﹣6，12），
∴直线AB解析式为y＝﹣2x
设P（m，m2+4m），则H（m，﹣2m），PH＝﹣2m﹣（m2+4m）＝﹣m2﹣6m
∵点M为线段OB的中点，∴M（﹣3，6），∴MD＝3
∵PH∥y轴
∴∠PHG＝∠MOD
∵PG⊥BC MD⊥y轴
∴∠PGH＝∠MDO
∴△PGH∽△MDO
∴＝，即 PG•MO＝PH•MD＝3（﹣m2﹣6m）＝﹣3m2﹣18m，
∴S△POM＝PG•MO＝﹣9m＝﹣（m+3）2+
∵﹣＜0，∴当m＝﹣3时，S△POM的值最大，此时P（﹣3，﹣3），
在PC上取点T，使得PT＝，连接QT，OT，
∵PC＝3，PQ＝
∴＝＝
∵∠QPT＝∠CPQ
∴△QPT∽△CPQ
∴＝＝，即TQ＝QC，
∴OQ+QC＝OQ+TQ≥OT
∵OT＝＝＝
∴OQ+QC的最小值为；
（3）∵当（2）中OQ+QC取得最小值时，点O、Q、T三点共线，T（，﹣3）
∴直线OQ解析式为y＝x，
解方程组得，
∴E（，），∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∴E′（﹣，），
以O、E′、R、S为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情形：
①OR为对角线，∵OE′RS是平行四边形
∴OS∥E′R，OS＝E′R＝，∴S1 （，0）
②OS为对角线，∵OE′RS是平行四边形
∴OE′∥RS，R（﹣2，），∴S2（，0）
③OE′为对角线，∵OE′RS是平行四边形
∴OS∥E′R，OS＝E′R＝，∴S3（，0），
综上所述，点S的坐标为：S1 （，0），S2（，0），S3（，0）．


9．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，
则点B（3，5），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），
过点D作y轴的平行线交AB于点H，

设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），
∵S△DAC＝2S△DCM，
则S△DAC＝DH（xC﹣xA）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，
解得：x＝﹣1或5（舍去5），
故点D（﹣1，5）；
（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，
①当AM是平行四边形的一条边时，
点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，
同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，
即：m﹣4＝s，﹣16＝t，而t＝﹣s2+2s+8，
解得：s＝6或﹣4，
故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，
解得：s＝1，
故点P（1，2）或（1﹣，2）；
综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．
10．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×＝2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；

（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，

∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）；

（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：Δ＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
11．【解答】解：（1）y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣2），
故：AB＝4，BC＝，AC＝，
故△ABC的周长为4++；
（2）如图1，设点P（m，m2﹣m﹣2），过点P作PE∥y轴交BC于点E，
将点B、C坐标代入一次函数y＝kx+b并解得
直线BC的表达式为：y＝x﹣2，点E（m，m﹣2），
S△PBC＝×OB×PE＝（m﹣2﹣m2+m+2）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣0，故当时，S△PBC有最大值，此时，点P（，﹣），
在x轴下方任取点Q，连接PQ、BQ、AQ，将△PQB绕点P顺时针旋转90°到△PQ'B'位置，连接QQ'．
∴B'Q'＝BQ，QQ'＝，
故AQ+BQ+PQ＝AQ+B'Q+QQ'，AQ+BQ+PQ最小，则A、Q、Q'、B'在同一直线上，∠PQQ'＝45°．
由点的坐标90°旋转规律可得：
∵B为（3，0），P（，﹣），
∴B'坐标为（），
∴直线AB'的表达式为y＝
＝（﹣1﹣）2+（）2＝46+20；
（3）存在，点O′的横坐标为或或或或；
设直线AP解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），P（，﹣）代入得，解得，
∴直线AP解析式为，令x＝0，得y＝，
∴R（0，），
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y的顶点为（1，），
分别过A、P作AH⊥x轴，PH⊥y轴，AH＝，PH＝，抛物线y沿射线PA平移且经过点A，即向左平移个单位，
向上平移个单位；
∴平移后的抛物线解析式为，顶点为（，），
∴D′（，），
由题意，△AOP沿直线AP平移，得到△A'O'P'，∵，∴设平移后的点O′（t，t），
以点D'、R、O'、T为顶点的四边形为菱形，可以分三种情况：
①O′D′＝D′R
∴（t+）2+（t﹣）2＝（）2+（﹣）2，
解得：，，
∴，；
②O′R＝D′R
∴＝（）2+（﹣）2，
解得：，，
∴，；
③O′D′＝O′R
∴，解得：
∴；


12．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
①如图1，连接CN，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，

设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
②如图2，连接EN，CM，MN，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，

设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，
∴a2﹣3a＝2，
解得：a＝，a＝（舍去），
∴M（，），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．
（3）如图3，作PG∥y轴交直线AB于点G，

设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．
13．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图1所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），
则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC
＝×8×4+PD•OB
＝16+×8（﹣x2+2x）
＝﹣x2+8x+16
＝﹣（x﹣4）2+32
∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32
∵0＜x＜8，
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为12．


（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），
∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，
又∵MN＝3，
∴|﹣+2m|＝3，
当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2，
∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．

答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
14．【解答】解：（1）由已知得，
解得
所以，抛物线的解析式为y＝；
（2）存在，理由：
∵A、B关于对称轴对称，如图，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点
P，此时PA+PC＝BC，

∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，BC＝5，
∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；
（3）如图，设对称轴与x轴交于点D．
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OB＝4，AB＝3，BC＝5，
直线BC：y＝，
由二次函数可得，对称轴直线x＝，
∴P（），BP＝，
①当△BPQ∽△BCA，
，
，
∴，
∴，
Q1（，0）
②当△BQP∽△BCA，
，
∴，
∴BQ＝，
∴OQ＝OB﹣BQ＝4﹣＝，
∴Q2（，0），
综上，求得点Q的坐标（）或（，0）
15．【解答】解：（1）将点B、D的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
则函数的表达式为：y＝﹣x2+x+1；
（2）将点A（0，1）、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线AD的表达式为：y＝x+1，即直线AD的倾斜角的正切值为，
则tan∠ENP＝，则cos∠ENP＝，
设点N（m，﹣m2+m+1）、点M（m，m+1），
则NE＝MNcos∠ENP＝（﹣m2+m+1﹣m﹣1）＝﹣（m﹣）2+，
故当m＝时，则NE的最大值为；
（3）设：OP＝t，则点M（t，t+1）、N（t，﹣t2+t+1），
点M可能在CD得左侧也可能在CD得右侧，
由题意得：|MN|＝CD，
±＝﹣t2+t+1﹣t﹣1，
解得：t＝（舍去负值），
故t＝时，以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形．
16．【解答】解：
（1）由题意，得A（0，2），点B（2，2），E的坐标为（，0）
则，解得
故二次函数的解析式为：
（2）如图1，过点D作DG⊥BE于点G，由题意，得
ED＝＝，EC＝2+＝，BC＝2
∴BE＝＝
∵∠BEC＝∠DEG，∠EGD＝∠ECB＝90°
∴△EGD∽△ECB
∴＝
∴DG＝1
∵圆D的半径为1，且DG⊥BE
∴BE是圆D的切线
（3）如图2，过点M作MN∥BE交x轴与点N，连接PM，PN，依题意，得，点B（2，2），E的坐标为（，0），
故设直线BE为y＝kx+h（k≠0）
则有，解得
∴直线BE为：
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴为x＝1
∴点P的纵坐标为y＝，即P（1，）
∵MN∥BE
∴∠MNC＝∠BEC
∵∠MCN＝∠BCE＝90°
∴△MNC∽△BEC
∴＝
∴＝，即CN＝t
∴DN＝t﹣1
∴S△PND＝•DN•PD＝•（t﹣1）•＝t﹣
S△MNC＝•CN•CM＝•t•t＝t2
S梯形PDCM＝•（PD+CM）•CD＝•（+t）•1＝+t
∴S＝S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC＝t2+t（0＜t＜2）
∵抛物线S＝t2+t（0＜t＜2）的开口方向向下
∴S存在最大值，当t＝1时，S最大＝

17．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴点A的坐标为（5，0）．
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣2）2+，
∴抛物线的对称轴的表达式为直线x＝2．
（2）过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1所示．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AF＝DA，∠FAD＝90°．
∵∠FAN+∠DAM＝90°，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠FAN＝∠ADM．
在△AFN和△DAM中，，
∴△AFN≌△DAM（AAS），
∴AN＝DM．
当点F落在对称轴上时，AN＝5﹣2＝3，
∴DM＝3．
当y＝3时，﹣x2+x+4＝3，
解得：x1＝，x2＝，
∴当点F落在对称轴上时，点D的坐标为（，3）或（，3）．
（3）过点D作DP⊥x轴于点P，则∠ADP＝∠HAF，如图2所示．
∵△AFH的面积是四边形ADEH面积的，
∴HF＝EF，AH＝＝AF，
∴tan∠HAF＝＝．
设点D的坐标为（x，﹣x2+x+4），
则tan∠ADP＝＝＝，
整理，得：x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5，
经检验，x1＝4是原分式方程的解且符合题意，x2＝5是原分式方程的增根，舍去，
∴点D的坐标为（4，4），
∴AD＝＝，
∴AH＝AF＝，
∴OH＝OA﹣AH＝．
∵GH∥DA，
∴△OGH∽△ODA，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：．


18．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2，
∴点C（0，﹣2）
当y＝0时，x＝﹣1
∴点A（﹣1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，
∴
∴b＝﹣1，c＝﹣2
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2
当y＝0时，0＝x2﹣x﹣2
∴x1＝2，x2＝﹣1
∴点B（2，0）
（2）∵点C（0，﹣2），点B（2，0）
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2
设点M坐标（x，x﹣2）（0≤x≤2）
∴点E坐标（x，x2﹣x﹣2）
∴ME＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1
∴当x＝1时，ME的最大值为1，
（3）∵当x＝1时，ME的最大值为1，
∴点M（1，﹣1）
∴点F（1，0）
∴BF＝1，MF＝1，
若点P在x轴上方，∵四边形MBPF是平行四边形，
∴PB∥FM，PB＝FM＝1
∴点P（2，1）
当x＝2时，y＝x2﹣x﹣2＝0≠1，
∴点P不在抛物线上，
当点P在x轴下方，∵四边形MBFP是平行四边形或四边形FMPB是平行四边形
∴BF＝MP＝1
∴点P（0，﹣1）或（2，﹣1）
当x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2≠﹣1，
∴点P不在抛物线上，
当x＝2时，y＝x2﹣x﹣2＝0≠﹣1，
∴点P不在抛物线上．
综上所述：在抛物线上不存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形
19．【解答】解：（1）当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝﹣4，
∴点C的坐标为（﹣4，0）．
过点D作直线DF∥x轴，过点E作EF∥y轴，交直线DF于点D，如图1所示．
∵DF∥x轴，EF∥y轴，
∴∠OCD＝∠FDE，∠ODC＝∠FED，
∴△OCD∽△FDE，
∴＝＝，
∴FD＝3．
当x＝3时，y＝x+2＝，
∴点E的坐标为（3，）．
当x＝0时，y＝x+2＝2，
∴点D的坐标为（0，2）．
将D（0，2），E（3，）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2．
（2）①分两种情况考虑，如图2所示．
（i）当点M在x轴负半轴时，∵∠DM1O＝2∠DCO，
∴∠M1CD＝∠M1DC，
∴M1C＝M1D．
设OM1＝x，则CM1＝DM1＝4﹣x．
在Rt△ODM1中，OM1＝x，OD＝2，DM1＝4﹣x，
∴（4﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝，
∴点M1的坐标为（﹣，0）；
（ii）当点M在x轴正半轴时，∵∠DM1O＝∠DM2O＝2∠DCO，
∴M1O＝M2O，
∴点M2的坐标为（，0）．
综上所述：当DM与x轴的夹角等于2∠DCO时，点M的坐标为（﹣，0）或（，0）．
②∵DM⊥CD，
∴∠CDO+∠DCO＝∠CDO+∠MDO＝90°，
∴∠MDO＝∠DCO，
∴＝，即＝，
∴OM＝1，
∴点M的坐标为（1，0）．
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2）．
分两种情况考虑，如图3所示．
（i）当点P在直线CD下方时，∵点D的坐标为（0，2），点M的坐标为（1，0），且四边形DMPQ为平行四边形，
∴点Q的坐标为（x﹣1，﹣x2+x+4）．
又∵点Q在直线CD上，
∴﹣x2+x+4＝（x﹣1）+2，
整理，得：2x2﹣6x﹣5＝0，
解得：x1＝，x2＝；
（ii）当点P在直线CD上方时，∵点D的坐标为（0，2），点M的坐标为（1，0），且四边形DMQP为平行四边形，
∴点Q的坐标为（x+1，﹣x2+x）．
又∵点Q在直线CD上，
∴﹣x2+x＝（x+1）+2，
整理，得：2x2﹣6x+5＝0，
∵△＝（﹣6）2﹣4×2×5＝﹣4＜0，
∴该种情况不存在．
综上所述：当以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，点P的横坐标为或．



20．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3）．
∵四边形MNOE为正方形，
∴x＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∴MN＝，
∴该正方形的边长为．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝4，BC＝3．
∵OB＝OC＝3，
∴∠OCD＝∠ABC＝45°．
∴存在两种情况．
过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，则△CDF为等腰直角三角形，如图所示．
①当△OCD∽△ABC时，＝，即＝，
∴CD＝，
∴DF＝CF＝，
∴点M的坐标为（，）；
②当△DCO∽△ABC时，＝，即＝，
∴CD＝2，
∴DF＝CF＝2，
∴点M的坐标为（2，3）．
综上所述：抛物线上存在点M（，）或（2，3），使得以点C，O，D为顶点的三角形与△ABC相似．