【备考2023中考】2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形综合

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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形综合
1．如图，已知点A（0，4）和点B（3，0）都在抛物线y＝mx2+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形ABCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E，x轴上的点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，请求出F点坐标．

2．如图，O为坐标原点，以A为顶点的抛物线y＝﹣+2与x的正半轴交于点E，直线y＝﹣2x+6经过点A，且交y轴于点B．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝﹣x2+2x的另一个交点为C，求tan∠ACO的值；
（3）设点Q是y轴上一个动点，若以点O，C，Q为顶点的三角形与△ABO相似，请求出符合条件的所有点Q的坐标．


3．如图，二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣1，4）和点B（2，m）．
（1）填空：b＝　 　；m＝　 　；
（2）过点A作AC∥x轴，交抛物线于点C，点P是线段OC上的动点（与O、C不重合）．
①若以O、B、C为顶点的三角形和以O、B、P为顶点的三角形相似，求它们的相似比；
②设点F是BC的中点，当OP为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△CPF重叠部分的面积是△BCP的面积的？

4．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为一边，在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN，求△PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标；
（3）如图2，若抛物线的对称轴与x轴交于点D，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线FD与y轴交于点E．是否存在点F，使△DOE与△AOC相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝x2+mx+n相交于两个不同的点A、B，其中点A在x轴上．
（1）则A点坐标为　 　；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3）在（2）条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

6．如图，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．

7．如图，已知抛物线y＝ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；
（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线的上的一个动点，点N在x轴上．
①若点P在x轴上方，且△APN是等腰直角三角形，求点N的坐标；
②若点P在x轴下方，且△ANP与△BOC相似，请直接写出点N的坐标．

11．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过直线y＝﹣x+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且∠ABC＝90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）直线y＝﹣x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

12．已知：如图，抛物线C1：y＝ax2+4ax+c的图象开口向上，与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P，AB＝2，且OA＝OC．
（1）求抛物线C1的对称轴和函数解析式；
（2）把抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴交于点F（0，﹣1），求抛物线C2的函数解析式；
（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当△APF与△FMG相似时，求点G的坐标．

13．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．
（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD；
（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．

14．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线AB上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

15．如图①．直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A在x轴负半轴上，且＝．抛物线经过A、B、C三点，点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接PC、PB（如图①），△PBC是否有最大面积？若有，求出△PBC的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由；
（3）D为线段AB中点，连接DP交BC于点E．连接AC（如图②），若以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．直接写出此时点P的坐标．

16．如图，抛物线y＝与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点．

（1）求△AOB的外接圆的面积；
（2）若动点P从点A出发，以每秒1个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒0.5个单位沿射线BA方向运动，当点P到点C处时，两点同时停止运动．问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？
（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．问：是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y＝﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴子点C，交抛物线于点E．
（1）∠BAO＝　 　°，b＝　 　；
（2）当DE＝3时，求点C坐标；
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值；
（3）点P抛物线的对称轴上一点，当△PBD与△CAB相似时，求点P的坐标．

19．如图，已知直线y＝x与二次函数y＝x2+bx+c的图象交于点A、O，（O是坐标原点），点P为二次函数图象的顶点，OA＝，AP的中点为B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求线段OB的长；
（3）若射线OB上存在点Q，使得△AOQ与△AOP相似，求点Q的坐标．

20．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．




参考答案：
1．【解答】解：（1）由于抛物线经过A（0，4）和点B（3，0），则有，
解得．
故m＝﹣，n＝4．

（2）由（1）得：y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+；
由A （0，4）、B （3，0），可得AB＝＝5；
若四边形ABCD为菱形，则AB＝BC＝5，即C（8，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y＝﹣（x+1﹣5）2+＝﹣（x﹣4）2+．

（3）如图，由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x＝4；
∵A（0，4），C（8，0），
∴直线AC：y＝﹣x+4；
当x＝4时，y＝2，故E（4，2）；
所以：AE＝2，CE＝2，BE＝；
由（2）知：AB＝BC＝5，即∠BAC＝∠BCA；
若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，则：
①∠CEF＝∠ABE，则△CEF∽△ABE，可得：
＝，即＝，CF＝4，
此时F（4，0）；
②∠CFE＝∠ABE，则△CFE∽△ABE，可得：
＝，即＝，CF＝5，
此时F（ 3，0）（不合题意舍去）．
综上所述，存在符合条件的F点，坐标为：F（4，0）．

2．【解答】解：（1）A（2，2）；B（0，6）；
（2）解方程组，得，，
∴C（6，﹣6），
∴∠COE＝45°；OC＝．
∵A为（2，2）；
∴∠AOE＝45°；
OA＝＝2；
∴∠AOC＝45°+45°＝90°，
∴在Rt△A0C中，；
（3）设M为y轴负半轴上任一点，由（2）得，∠BOA＝∠EOA＝∠EOC＝∠MOC＝45°
当∠QOC＝∠BOA＝45°时，因为C在第四象限，所以Q只能在y轴负半轴，当两个三角形有两边对应成比例且夹角相等时，这两个三角形相似，有以下两种情况：
①当＝时，△QOC∽△AOB，此时，，
解得OQ＝4，
∴Q1（0，﹣4）；
②当＝时，△QOC∽△BOA，此时，＝，
解得OQ＝18，
∴Q2（0，﹣18）；
综上所述，当Q为（0，﹣4）或（0，﹣18）时，△OCQ与△ABO相似．
3．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣1，4）和点B（2，m），
∴4＝（﹣1）2﹣b，
解得：b＝﹣3，
则m＝22﹣3×2＝﹣2，
故答案为：﹣3，﹣2；

（2）过点A作AC∥x轴，交抛物线于点C，
即4＝x2﹣3x，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
可得C（4，4），又∵B（2，﹣2），
∴∠COB＝90°，
①若以O、B、C为顶点的三角形和以O、B、P为顶点的三角形相似，
只能是△OBC∽△OCP，
∴△OBC与△OPB的相似比为：OC：OB＝2：1；
②由①知CO＝4，BO＝2，BF＝FC＝．
1）若翻折后，点B′落在BC的右侧，BC与PB′的交点为M，如图1．
S△MFP＝S△BCP＝S△CPF＝S△B′PF，
∴M为FC、PB′的中点
∴四边形B′FPC为平行四边形，
∴PC＝，PO＝4﹣，
2）若翻折后，点B′落在BC上，则点B，D重合，
S△MFP＝S△BCP，不合题意，舍去．
3）若翻折后，点B落在OC的左侧，
OC与FB′的交点为N，如图2，
S△NPF＝S△BCP＝S△BPF＝S△CPF＝S△B′PF，
∴N为PC、FB′的中点，
∴四边形B′PFC为平行四边形，
B′P＝FC＝，∴BP＝B′P＝，
在直角三角形OPB中，
OP2+OB2＝BP2，
解得：PO＝，
综上所述，PO＝4﹣或PO＝．


4．【解答】解：（1）令x＝0得，y＝4，∴C（0，4）
∴OB＝OC＝4，∴B（4，0）
代入抛物线表达式得：
16a﹣8a+4＝0，解得a＝
∴抛物线的函数表达式为
（2）如图2，过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，

由抛物线得：A（﹣2，0），
设P（x，0），△PMN的面积为S，
则PG＝，MG＝，PH＝，NH＝
∴S＝S梯形MGHN﹣S△PMG﹣S△PNH
＝
＝
＝
∵，
∴当x＝1时，S有最大值是
∴△PMN的最大面积是，此时点P的坐标是（1，0）
（3）存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：
①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA
由抛物线得：A（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，
∴OA＝2，OC＝4，OD＝1
①若△DOE∽△AOC，则
∴，
解得OE＝2
∴点E的坐标是（0，2）或（0，﹣2）
若点E的坐标是（0，2），
则直线DE为：y＝﹣2x+2
解方程组
得：，（不合题意，舍去）
此时满足条件的点F1的坐标为（，）
若点E的坐标是（0，﹣2），
同理可求得满足条件的点F2的坐标为（，）
②若△DOE∽△COA，
同理也可求得满足条件的点F3的坐标为（，）
满足条件的点F4的坐标为（，）
综上所述，存在满足条件的点F，点F的坐标为：
F1（，）、F2（，）、F3（，）或F4（，）．
5．【解答】解：（1）令y＝﹣x﹣3＝0，解得：x＝﹣3，
故A点的坐标为（﹣3，0）；

（2）∵抛物线y＝x2+mx+n经过点A（﹣3，0），
∴n＝3m﹣9①，
又抛物线y＝x2+mx+n的顶点坐标为B（﹣，）在直线y＝﹣x﹣3上，
∴＝﹣3②，
由①、②可得：或，
∵A、B是两个不同的点，
∴不合题意，舍去，
∴；

（3）在（2）的条件下，该抛物线与x轴的另一个交点为C（﹣1，0），
假设存在这样的点D，使得△DAC与△DCO相似，
∵∠ACD＝∠DOC+∠CDO，
∴∠ACD＞∠CDO，
∴要使得△DAC和△DCO相似，只能∠ACD＝∠DCO＝90°，即CD⊥x轴，
∵AC＝2，CO＝1，
∴∠DOC＞∠DAC，
∴∠DAC＝∠CDO，此时∠ADO＝90°，
由CD2＝AC×CO得，CD＝，
∴点D的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）．
6．【解答】解：（1）由题意知：，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
由已知条件得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y＝﹣x+b，
∴0＝1+b，
∴b＝﹣1，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1；

（3）①∵BC∥AD，
∴∠DAB＝∠CBA，
∴只要当：或时，△PBC∽△ABD，
解得D（4，﹣5），
∴AD＝，AB＝4，BC＝，
设P的坐标为（x，0），
即或，
解得或x＝﹣4.5，
∴或P（﹣4.5，0），
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF＝45°，
∴，
∴BF＝，BD＝，
∴，
∵DM＝，DN＝，
又∵，NE＝，
∴＝＝＝，
∴当时，S△MDN的最大值为．

7．【解答】解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y＝ax2﹣5ax+2（a≠0）上，
∴a﹣5a+2＝0，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝，
∴点B（4，0），C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y＝kx+b，得
，
解得k＝﹣，b＝2，
∴直线BC的解析式y＝﹣x+2；
（3）
方法一：
设N（x，x2﹣x+2），分三种情况讨论：
①当△OBC∽△HNB时，如图1，
＝，
即＝，
解得x1＝5，x2＝4（不合题意，舍去），
∴点N坐标（5，2）；
②当△OBC∽△HBN时，如图2，
＝，
即＝﹣，
解得x1＝2，x2＝4（不合题意舍去），
∴点N坐标（2，﹣1）；
③当N（x，x2﹣x+2）在第二象限时，
H（x，0）在x轴的负半轴上，
∴BH＝4﹣x，
∵△OBC∽△HNB，
∴，
即＝，
得到x2﹣x﹣12＝0
解得x1＝4（舍去）； x2＝﹣3，
∴N点的坐标为（﹣3，14）
综上所述，N点的坐标为（5，2）、（2，﹣1）或（﹣3，14）．

方法二：
以B，N，H为顶点的三角形与△OBC相似，
∴＝，＝，
设N（2n，2n2﹣5n+2），H（2n，0），
①||＝，
∴||＝2，
∴2n1＝5，2n2＝﹣3，
②||＝，
∴||＝，
∴2n1＝2，2n2＝0（舍）
综上所述：存在N1（5，2），N2（2，﹣1），N3（﹣3，14），
使得以点B、N、H为顶点的三角形与△OBC相似．



8．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），
∴，
解得．
故所求b的值为，c的值为4；

（2）∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP＝∠EPB＝90°﹣∠APO，
∴△AOP∽△PEB且相似比为＝＝2，
∵AO＝4，
∴PE＝2，OE＝OP+PE＝t+2，
又∵DE＝OA＝4，
∴点D的坐标为（t+2，4），
∴点D落在抛物线上时，有﹣（t+2）2+（t+2）+4＝4，
解得t＝3或t＝﹣2，
∵t＞0，
∴t＝3．
故当t为3时，点D落在抛物线上；

（3）存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，理由如下：
①当0＜t＜8时，如图1．

若△POA∽△ADB，则PO：AD＝AO：BD，
即t：（t+2）＝4：（4﹣t），
整理，得t2+16＝0，
∴t无解；
若△POA∽△BDA，同理，解得t＝﹣2±2（负值舍去）；
②当t＞8时，如图2．

若△POA∽△ADB，则PO：AD＝AO：BD，
即t：（t+2）＝4：（t﹣4），
解得t＝8±4（负值舍去）；
若△POA∽△BDA，同理，解得t无解．
综上可知，当t＝﹣2+2或8+4时，以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似．
9．【解答】解：（1）方法一：
过点E作EG⊥x轴于G点．
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA＝OC＝2，OD＝1，∠AOC＝∠DGE＝90°．
∵∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠GDE＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠GDE．
在△OCD和△GED中，
∴△ODC≌△GED （AAS），
∴EG＝OD＝1，DG＝OC＝2．
∴点E的坐标为（3，1）．
∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x＝2，
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将C、E点的坐标代入解析式，得
．
解得，
抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+；

方法二：
过点E作EG⊥x轴于G点．
DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH＝90°，
EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH＝90°，
∴∠CDO＝∠DEH，DC＝DE，
∴△ODC≌△GED⇒DG＝OC＝2，EG＝OD＝1，
∴E（3，1），
∴9a+3b+2＝1，
∵﹣＝2，
抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+；

（2）方法一：
①若△DFP∽△COD，则∠PDF＝∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC＝OD＝1，
∴t＝1；
②若△PFD∽△COD，则∠DPF＝∠DCO，＝．
∴∠PCF＝90°﹣∠DCO＝90﹣∠DPF＝∠PDF．
∴PC＝PD，
∴DF＝CD．
∵CD2＝OD2+OC2＝22+12＝5，
∴CD＝，
∴DF＝．
∵＝，
∴PC＝PD＝×＝，
t＝，
综上所述：t＝1或t＝时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
方法二：
过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，
PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH＝90°，
GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH＝90°，
∴∠PFG＝∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，
∵PF⊥CD⇒KPF×KCD＝﹣1，
∴lCD：y＝﹣2x+2，
∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），
∴，
∴m＝，
∴F（，﹣），
∴＝，
∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，
①，∴，∴t＝，
②，∴，∴t＝1，
综上所述：t＝1或t＝时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
方法三：
若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，
则∠OCD＝∠PDF或∠ODC＝∠PDF，
①∠OCD＝∠PDF⇒PD∥OC，∴CP＝OD＝1，∴t＝1，
②∠ODC＝∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，
∴KOO′×KCD＝﹣1，
∴lCD：y＝﹣2x+2，
∴H（m，﹣2m+2），
∴﹣2×＝﹣1，
∴m＝，
∴H（，），
∵H为OO′中点，∴O′（，），
∴lO′D：y＝，
令y＝2，∴x＝，
即P（，2），
∴t＝．

（3）存在，
四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；
四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；
四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．


10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（0，2），
∴，解得，
∴该抛物线的解析式是：y＝﹣x2+x+2；

（2）①∵点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上，
∴点A不可能是直角顶点，则∠PAN＝45°．
如图，作∠BAP＝45°，AP交抛物线于点P．设点P坐标是（t，﹣t2+t+2）．
Ⅰ）当点N是直角顶点时，过点P作PN1⊥x轴于点N1，则PN1＝AN1，
即﹣t2+t+2＝t+1，
解得t1＝2，t2＝﹣1（不合题意舍去），
所以N1的坐标是（2，0）；
Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则AP＝PN2，
即N1N2＝AN1＝2﹣（﹣1）＝3，
则ON2＝2+3＝5，
所以N2的坐标是（5，0）；
综上所述，点N的坐标是（2，0）或（5，0）；

②∵y＝﹣x2+x+2，
∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，
∵A（﹣1，0），
∴B（4，0），
∴△BOC中，OB＝4，OC＝2，∠BOC＝90°．
∵△BOC是直角三角形，
∴当△ANP与△BOC相似时，△ANP也是直角三角形，
∵A点不可能是直角顶点，
∴直角顶点可能是P点或N点．
设点P坐标是（t，﹣t2+t+2），则﹣t2+t+2＜0．
Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB＝∠OBC．
过P作PN1⊥x轴于点N1，则△AN1P∽△BOC，N1（t，0）．
∵△AN1P∽△BOC，
∴＝，
∴＝＝＝2，
∴AN1＝2N1P，即t+1＝2（t2﹣t﹣2），
解得t1＝5，t2＝﹣1（不合题意舍去），
所以点P的坐标是（5，﹣3），点N1的坐标是（5，0）；
过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则△APN2∽△BOC．
∵△AN1P∽△PN1N2，
∴＝，
∴N1N2＝＝1.5，
∴ON2＝ON1+N1N2＝5+1.5＝6.5，
∴点N2的坐标是（6.5，0）；
Ⅱ）在x轴下方作∠BAP＝∠OCB，交抛物线于点P，过P作PN3⊥x轴于点N3，则△AN3P∽△COB，N3（t，0）．
∵△AN3P∽△COB，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴PN3＝2AN3，即t2﹣t﹣2＝2（t+1），
解得t1＝8，t2＝﹣1（不合题意舍去），
所以点P的坐标是（8，﹣18），点N3的坐标是（8，0）；
过点P作PN4⊥AP，PN4交x轴于点N4，则△APN4∽△COB．
∵△AN3P∽△PN3N4，
∴＝，
∴N3N4＝＝36，
∴ON4＝ON3+N3N4＝8+36＝44，
∴点N4的坐标是（44，0）；
综上所述，所求点N的坐标为N1（5，0），N2（6.5，0），N3（8，0），N4（44，0）．



11．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+1得，y＝1，
∴A（0，1），
把y＝0代入y＝﹣x+1得，x＝2，
∴B（2，0），
把A（0，1），B（2，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，
∴抛物线的解析式y＝x2﹣x+1，
（2）如图，作CD⊥x轴于D，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠CBD，
∵∠AOB＝∠BDC，
∴△AOB∽△BDC，
∴＝＝2，
∴CD＝2BD，
设BD＝m，
∴C（2+m，2m），
代入y＝x2﹣x+1得，2m＝（m+2）2﹣（m+2）+1，解得，m＝2或m＝0（舍去），
∴C（4，4）；
（3）∵OA＝1，OB＝2，
∴AB＝，
∵B（2，0），C（4，4），
∴BC＝2，
①当△AOB∽△PBC时，则＝
∴＝，解得，PB＝，
作PE⊥x轴于E，则△AOB∽△PEB，
∴＝，即＝，
∴PE＝1，
∴P的纵坐标为±1，代入y＝﹣x+1得，x＝0或x＝4，
∴P（0，1）或（4，﹣1）；
②当△AOB∽△CBP时，则＝，
即＝，解得，PB＝4，
作PE⊥x轴于E，则△AOB∽△PEB，
∴＝，即＝，
∴PE＝4，
∴P的纵坐标为±4，代入y＝﹣x+1得，x＝﹣6或x＝10，
∴P（﹣6，4）或（10，﹣4）；
综上，P的坐标为（0，1）或（4，﹣1）或（﹣6，4）或（10，﹣4）．

12．【解答】解：（1）将抛物线C1：y＝ax2+4ax+c配方，得y＝a（x+2）2﹣4a+c，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，
又AB＝2，点A、点B关于x＝﹣2对称，得
．解得．
点A（﹣3，0），点B（﹣1，0）．
由OA＝OC，得点C（0，3），
将A、C点的坐标代入C1得，．
解得．
抛物线函数解析式y＝x2+4x+3；
（2）又（1）抛物线C1：y＝x2+4x+3配方，得y＝（x+2）2﹣1，
抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，得
y＝（x+2﹣3）2﹣1﹣m．C2与y轴交于点F（0，﹣1），得
1﹣1﹣m＝﹣1．即m＝1．
C2与的解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
（3）如图

由勾股定理，得AP＝，MF＝．由两点间的距离，得PF＝2．
①当△APF∽△MFG时，＝，即＝．
解得FG＝2，点G1的坐标为（0，1）；
②当△APF∽△GFM，＝，即＝，
FG＝1，点G2的坐标（0，0）．
13．【解答】（1）解：∵点D（1，m）在图象的对称轴上，
∴．
∴b＝﹣2．
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴C（1，﹣4）；

（2）证明：∵D（1，1），且DE垂直于y轴，
∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．
∴∠DEB＝∠EBO．
令y＝1，则x2﹣2x﹣3＝1，
解得：．
∵点E位于对称轴右侧，
∴E．
∴DE＝．
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，求得点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣1，0）．
∴BD＝．
∴BD＝DE．
∴∠DEB＝∠DBE．
∴∠DBE＝∠EBO．
∴BE平分∠ABD．

（3）解：∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，
且△GDE为直角三角形，
∴△ACG为直角三角形．
∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，
∴∠CAG＝90°．
∵A（3，0）C（1，﹣4），AF⊥CG，
∴求得G点坐标为（1，1）．
∴AG＝，AC＝．
∴AC＝2AG．
∴GD＝2DE或DE＝2GD．
设E（t，t2﹣2t﹣3）（t＞1），
①当点D在点G的上方时，则DE＝t﹣1，
GD＝（t2﹣2t﹣3）﹣1＝t2﹣2t﹣4．
i．如图2，当GD＝2DE时，
则有，t2﹣2t﹣4＝2（t﹣1）．
解得，．（舍负）
ii．如图3，当DE＝2GD时，
则有，t﹣1＝2（t2﹣2t﹣4）．
解得，．（舍负）
②当点D在点G的下方时，则DE＝t﹣1，
GD＝1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+2t+4．
i．如图4，当GD＝2DE时，
则有，﹣t2+2t+4＝2（t﹣1）．
解得，．（舍负）
ii．如图5，当DE＝2GD时，
则有，t﹣1＝2（﹣t2+2t+4）．
解得，．（舍负）
综上，E点的横坐标为或或或3．


14．【解答】方法一：
解：∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y＝ax2+bx+c，
得方程组，

解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，
若△ABO∽△AP1D，则，
∴DP1＝AD＝4，
∴P1（﹣1，4），
若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD＝4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP2是等腰三角形，
由三线合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合，
∴P2（1，2），
综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）；
（3）不存在．
理由：如答图2，设点E（x，y），则 S△ADE＝
①当P1（﹣1，4）时，
S四边形AP1CE＝S△ACP1+S△ACE＝＝4+|y|，
∴2|y|＝4+|y|，
∴|y|＝4
∵点E在x轴下方，
∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即x2﹣4x+7＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0
∴此方程无解；
②当P2（1，2）时，
S四边形AP2CE＝S△ACP2+S△ACE＝＝2+|y|，
∴2|y|＝2+|y|，
∴|y|＝2
∵点E在x轴下方，
∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即x2﹣4x+5＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．
方法二：
（1）略．
（2）∵△ABO∽△ADP，
∴DP∥OB或DP⊥AB，
当DP∥OB时，PX＝DX，∵D（﹣1，0），
∴P1（﹣1，4），
当DP⊥AB时，KDP×KAB＝﹣1，
∵KAB＝﹣1，∴KDP＝1，
设lDP：y＝x+b，把D（﹣1，0）代入，∴b＝1，
∴⇒，
∴P2（1，2）．

（3）设E（t，t2﹣4t+3），
∴S△ADE＝×AD×|EY|＝﹣2t2+8t﹣6，
∵SAP1CE＝S△ACP+S△ACE，
①SAP1CE＝＝﹣t2+4t+1＝﹣2t2+8t﹣6，
∴t2﹣4t+7＝0，Δ＜0，∴此方程无解，
②SAP2CE＝＝﹣t2+4t﹣1＝﹣2t2+8t﹣6，
∴t2﹣4t+5＝0，Δ＜0，∴此方程无解，
∴不存在这样的点E．


15．【解答】解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，
解得a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

（2）如图①所示：
作PF⊥x轴于点F，设△PBC的面积为S，则
S＝S四边形OCPF+S△PFB﹣S△OBC
＝（3﹣n）m+（3﹣m）（﹣n）﹣×3×3，
＝m﹣n﹣，
又∵点P是抛物线上的点，
且m＞0，n＜0
∴n＝m2﹣2m﹣3（0＜m＜3）
∴S＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+
∴当m＝时，△PBC的面积最大，最大面积为，
把x＝m＝代入y＝x2﹣2x﹣3＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
此时P点坐标为（，﹣）；

（3）分两种情况：
①当DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∵D为AB中点，
∴E点为BC中点，
∴E（，﹣）
∴设DE所在解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴DE所在解析式为：y＝﹣3x+3，
则﹣3x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝2，x2＝﹣3（不合题意舍去），
∴P1（2，﹣3）；
②当∠BED＝∠BAC，
∴△BDE∽△BCA，
同理可得出：P2（，2﹣2），
综上所述：P点坐标为：（2，﹣3），（，2﹣2）．

16．【解答】解：（1）由题意得：A（6，0），B（0，﹣8），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10
∴S＝π•（5）2＝25π．

（2）设AP＝t，则AQ＝10﹣0.5t，
∵A（6，0），C（﹣2，0），
∴AC＝8，
∴0≤t≤8
若△APQ∽△AOB，则＝．即∴t＝．
若△AQP∽△AOB，则＝．∴t＝＞8（舍去）
∴当t＝时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．

（3）直线AB的函数关系式为y＝x﹣8．
∵MN∥y轴，
∴设点M的横坐标为x，则M（x，x﹣8），N（x，x2﹣x﹣8）．
若四边形OMNB为平行四边形，则MN＝OB＝8
∴（x﹣8）﹣（x2﹣x﹣8）＝8，即2x2﹣7x+24＝0，
∵Δ＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．
17．【解答】解：（1）∵直线AB的解析式为y＝x+4，
∴令x＝0，得y＝4；
令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4）．
∴OA＝OB＝4，
∴tan∠BAO＝＝1，
∴∠BAO＝45°．
又∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
解得：．
故答案是：45，﹣3；

（2）由（1）易知，该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．
设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，AC＝4+m．
∵OA＝OB＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝4+m，
∴CE＝CD+DE＝4+m+3＝7+m，
∴点E坐标为（m，7+m）．
∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴7+m＝﹣m2﹣3m+4，
解得m＝﹣3或﹣1，
所以，点C的坐标（﹣3，0）或（﹣1，0）；

（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，则D（m，4+m）．
∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形．
i）若∠BED＝90°，则BE＝DE，
∵BE＝OC＝﹣m，
∴DE＝BE＝﹣m，
∴CE＝4+m﹣m＝4，
∴E（m，4）．
∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣3，
∴D（﹣3，1）；
ii）若∠EBD＝90°，则BE＝BD＝﹣m，
在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，
∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，
∴E（m，4﹣m）．
∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣2，
∴D（﹣2，2）．
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．
18．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（3，0），点C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3，
又∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D的坐标是：D（2，﹣1）；

（2）∵抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B两点（点A在B点的左侧），
∴A（1，0），
又∵O（0，0），C（0，3），B（3，0），
∴BO＝CO＝3，
∵∠COB＝90°，
∴∠OBC＝45°，BC＝3，
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝2，∴AH＝BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∴tan∠ACB＝＝＝；

（3）设对称轴与x轴相交于点E，则AE＝3﹣2＝1，DE＝|﹣1|＝1，
∴BD＝AD＝＝，且∠ADE＝45°，
在△ABC中，AB＝3﹣1＝2，
BC＝＝＝3，且∠ABC＝45°，
设点P的坐标是（2，y），
∵△BDP与△ABC相似时，
∴①当BD与AB是对应边时，＝，
即＝，
解得DP＝3，
y﹣（﹣1）＝3，
解得y＝2，
∴点P的坐标是（2，2）
②当BD与BC是对应边时，＝，
即＝，
解得DP＝，
y﹣（﹣1）＝，
解得y＝﹣，
∴点P的坐标是（2，﹣）．
综上所述，点P的坐标是（2，2）或（2，﹣）．

19．【解答】解：（1）∵点A在直线y＝x上，且OA＝3，
∴A点的坐标是（3，3，）
∵点O（0，0），A（3，3）在函数y＝x2+bx+c的图象上，
∴，
解得：，
故二次函数的解析式是y＝x2﹣2x；

（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴顶点P的坐标为（1，﹣1）
∴PO＝＝，AP＝2，
∴AO2+PO2＝AP2，
∴∠AOP＝90°，
∴△AOP是直角三角形，
∵B为AP的中点，
∴OB＝；

（3）∵∠AOP＝90°，B为AP的中点，
∴OB＝AB，
∴∠AOB＝∠OAB，
若△AOQ与△AOP相似，
则①△AOP∽△OQA时，
∴，
∴OQ1＝；
②△AOP∽△OAQ时，
∴，
∴OQ2＝2，
∵点P的坐标为（1，﹣1），A点的坐标是（3，3，），B为AP的中点，
∴B点的横坐标＝＝2，纵坐标＝＝1，
∴B点的坐标为（2，1），
∴Q1（，），Q2（4，2）
即点Q的坐标分别是Q1（，），Q2（4，2）．

20．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c＝3．即抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3．
把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a＝﹣1，b＝﹣2
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，
∴BC2＝OB2+OC2＝18
在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，
∴CD2＝DF2+CF2＝2
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，
∴BD2＝DE2+BE2＝20
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD为直角三角形．

解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB＝3，OC＝3
∴OB＝OC∴∠OCB＝45°
∵在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1
∴DF＝CF
∴∠DCF＝45°
∴∠BCD＝180°﹣∠DCF﹣∠OCB＝90°
∴△BCD为直角三角形．

（3）①△BCD的三边，＝＝，又＝，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC＝3﹣a，＝，即＝，解得：a＝﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC＝3﹣b，则＝，即＝，解得：b＝﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．
则AP＝1﹣d，当AC与CD是对应边时，＝，即＝，解得：d＝1﹣3，此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．
则AP＝1﹣e，当AC与DC是对应边时，＝，即＝，解得：e＝﹣9，符合条件．
总之，符合条件的点P的坐标为：．