【备考2023中考】2023年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

这是一份【备考2023中考】2023年中考数学高频考点突破——二次函数与最值，共46页。试卷主要包含了对某一个函数给出如下定义等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——二次函数与最值
1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）当2≤x≤4，求y的最大值；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，写出所有满足条件的点P的坐标．

3．如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P的坐标；
（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度得到直线l，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线l上是否存在点N，使得AM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．
（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；
（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′
（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．

5．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．

6．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．
①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；
②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．


7．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．
（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．



9．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，右图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最大值也是3，求b的取值范围；
（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，
当m在什么范围时，满足≤t≤1？

10．如图，已知抛物线与坐标轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，4），连接BC，AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线在第二象限上的一点，过点E作DE⊥AC于点D，求DE的最大值．
（3）若点E是抛物线上第二象限上的一动点，过点E作DE⊥AC于点D，连接CE，若△CDE与△COB相似，直接写出点E的坐标．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，A、B两点横坐标为﹣1和3，C点纵坐标为﹣4．

（1）求抛物线的解析式；
（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求D点坐标，并求△BCD面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，求出点Q的坐标，不存在说明理由．
12．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．
（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD中的点D沿AE对折，使点D落在OC上F点，已知AO＝8．AD＝10，G（﹣1，7），已知抛物线过点O，F，G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线的对称轴上一动点，当|MG﹣MF|取得最大值时，求点M的坐标．
（3）一条动直线过平面上一点B，点B的坐标为（3，﹣8），且该直线与（1）中的抛物线交于P、Q两点，请判断；是否为定值，若是定值请求出定值，着不是定值请求出其取值范围．（参考公式：在平面直角坐标系中，若H（x1，y1），N（x2，y2），则H，N两点间的距离为HN＝）．

14．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．

16．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
17．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图①，将抛物线y＝ax2（﹣1＜a＜0）平移到顶点恰好落在直线y＝x﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式（用含a、m的代数式表示）
（2）如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、C三点，∠B＝90°，AB∥x轴，AD＝2，BD：BC＝1：2．
①求△ADC的面积（用含a的代数式表示）
②若△ADC的面积为1，当2m﹣1≤x≤2m+1时，y的最大值为﹣3，求m的值．



19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）．

（1）原抛物线的函数解析式是　 　．
（2）如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案：
1．【解答】解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0），
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1；

（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），
E（x，x2﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，PE的最大值＝，
则△ACE的面积的最大值是：×【2﹣（﹣1）】×＝；

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0），

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；

②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4+，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．
2．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
所以二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
则当2≤x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝2时，y的最大值是3；
（3）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ＝AB＝4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或﹣4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2．
而当x＝4时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣21，
此时P1（4，﹣5）、P2（﹣4，﹣21）．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴由中点坐标公式，得点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3．
而且当x＝2时y＝3，此时P3（2，3），
综上，满足条件的P为P1（4，﹣5）、P2（﹣4，﹣21）、P3（2，3）．

3．【解答】解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，
故：点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），
把A、B点坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
则：求抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4…①；
（2）如图1，

∵OA＝OB＝4，
∴∠ABO＝45°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴OB＝OC＝4，
∴点C坐标为（0，﹣4），
设直线BC的表达式为：y＝kx﹣4，
把点B点坐标代入上式，解得：k＝1，
故：直线BC的表达式为：y＝x﹣4…②，
将①②联立解得：x＝±4（舍去正值），
故点P的坐标为（﹣4，﹣8）；
（3）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴对称轴为直线x＝1，
如图2，作点A关于直线x＝1的对称点为A'（2，4），

∴AM+MN＝A'M+MN，
∴当A'N⊥直线l时，A'M+MN有最小值，最小值为A'N的长，
设A'N与x轴交于点H，
∵将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度得到直线l，
∴AB∥l，直线l解析式为y＝﹣x，
∴A'N⊥AB，
∴∠A'HA＝∠OAB＝45°，
∴∠AHA'＝∠AA'H＝45°，
∴AA'＝AH＝2，
∴OH＝OA﹣AH＝2，
∴点H（0，2），
设直线A'H解析式为y＝kx+b，过A'（2，4），（0，2），
∴，
解得：，
∴直线A'H解析式为y＝x+2，
当x＝1时，y＝3，
∴点M（1，3）；
联立方程组可得，
∴，
∴点N（﹣1，1）；
∴A'N＝＝3，
∴AM+MN的最小值为3．
4．【解答】解：（1）∵D（m，m），OD＝m，四边形CODM为菱形，
∴OD＝OC＝2＝m，
∴m＝，
∴D（）；

（2）∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，
∴联立，
解得，，
∵点A在点B的左侧，
∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AB＝＝3，
∵直线OD的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝x+2，
∴AB∥OD，两直线AB、OD之间距离h＝2×＝，
∴S△APB＝AB•h＝×3×＝3；

（3）∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AM＝1×＝，BM＝2×＝2，
由M点坐标（m，m+2），D点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为 （m+2）﹣m＝2，
取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，

∴MN＝BM＝，
∵，∠QMN＝∠BMQ，
∴△MNQ∽△MQB，
∴，
∴，
由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，
∵直线AB的解析式为y＝x+2，
∴直线AB与对称轴夹角为45°，
∵点B、B′关于对称轴对称，
∴∠BMB′＝90°，
由勾股定理得，QB′+QB最小值为B'N＝＝＝．
即QB'+QB的最小值是．
5．【解答】解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
∴E（m，），C（m，﹣m+4）．
∴EC＝＝．
∵点C是DE的中点，
∴．
解得：m＝2，m＝4（舍去）．
∴ED＝OB＝4，
∴四边形ODEB为矩形．
（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上 取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．

∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，
∴OD′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOD′＝∠M′OD′，
∴△M′OD′∽△D′OB，
∴．
∴．
∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），
∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．
6．【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，
∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，﹣4）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴A点坐标为（﹣2，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，
①作FH⊥x轴，如图，

∵B（4，0），C（0，﹣4）．
∴OB＝OC＝4，
∴，
∵FH∥BC，
∴△BHF∽△BOC，
∴，
∴．
解得：HF＝．
∴＝．
当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．
②∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
若∠BEF＝90°，
则cos∠EBF＝，
解得：t＝．
若∠EFB＝90°，
则cos∠EFB＝．
解得：t＝．
综合以上可得，若△EBF为直角三角形，t的值为或．
7．【解答】（1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0），
∴由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即：y＝a（x﹣1）（x+3）．
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a．
∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
由题意，得M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，m+3）
∴MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；

（3）解：由（2）知，直线AB为y＝x+3．
作PH⊥x轴于Q，交直线AB于H，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则H（x，x+3），
∴PH＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝（x+）2+，
当 x＝时，S最大＝，y＝﹣（）2﹣2×（）+3＝，
∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（，）．

8．【解答】解：（1）∵点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2））∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，

∵E点在直线BC上，F点在抛物线上，
∴设F（x，x2﹣2x﹣3），E（x，x﹣3），
∵点F在线段BC下方，
∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴S△BCF＝EF•OB＝×3（﹣x2+3x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
又∵S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
∴S四边形ACFB＝S△ABC+S△BCF＝﹣（x﹣）2++6＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，S四边形ACFB有最大值，最大值为，此时E点坐标为（，﹣），
综上可得四边形ACFB面积的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），且C（0，﹣3），
∵P点为抛物线对称轴上的一点，
∴设P（1，t），
∴PC＝＝，PD＝|t+4|，CD＝＝，
∵△PCD为等腰三角形，
∴分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，
①当PC＝PD时，则＝|t+4|，解得t＝﹣3，此时P点坐标为（1，﹣3）；
②当PC＝CD时，则＝，解得t＝﹣2或t＝﹣4（与D点重合，舍去），此时P点坐标为（1，﹣2）；
③当PD＝CD时，则|t+4|＝，解得t＝﹣4+或t＝﹣4﹣，此时P点坐标为（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（1，﹣3）或（1，﹣2）或（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）．
9．【解答】解：（1）∵（x＞0）的y无最大值，
∴不是有界函数；
∵y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，
当x＝﹣4时，y＝﹣2，
当x＝2时，y＝4，
对于﹣4≤x≤2时，任意函数值都满足﹣4＜y≤4，
∴边界值为4；
（2）∵y＝﹣x+2，y随x的增大而减小，
∴当x＝a时，ymax＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，
∵边界值是3，b＞a，
∴﹣3≤﹣b+2＜3
∴﹣1＜b≤5
（3）若m＞1，图象向下平移m个单位后，x＝0时，y＝﹣m＜﹣1，此时函数的边界值t＞1，不合题意，故m≤1．
∴函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0），当x＝﹣1时，ymax＝1，当x＝0时，ymin＝0
∴向下平移m个单位后，ymax＝1﹣m，ymin＝﹣m
∵边界值
∴或
∴或．
10．【解答】解：（1）抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8），
故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4…①；
（2）过点E作y轴的平行线交AC于点H，

由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝x+4，
设：点E（x，﹣x2﹣x+4），则点H（x，x+4），
∠EHD＝∠ACO＝45°，
DE＝EH＝（﹣x2﹣x+4﹣x﹣4）＝﹣x2﹣x，
∵＜0，故DE有最大值为：；
（3）①当∠BCO＝∠ECD时，
延长CE交x轴于点F，过点F作FG⊥AC角CA的延长线于点G，

则∠AFG＝∠FAG＝45°，设：FG＝AG＝x，AC＝4，
tan∠ECD＝＝＝，解得：x＝4，
则AF＝x＝8，故点F（﹣12，0），
则直线CF的表达式为：y＝x+4…②，
联立①②并解得：x＝﹣或0（舍去0），
故点E（﹣，）；
②当∠CBO＝∠ECD时，
延长EC交x轴于点F，过点F作FG⊥BC角CB的延长线于点G，

∠ECF＝β+45°+α+∠BCF＝180°，故∠BCF＝45°，
同理可得：点E的坐标为：（﹣，）；
综上，点E的坐标为：（﹣，）或（﹣，）．
11．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝﹣4，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；

（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，

由B、C的坐标可得直线BC的表达式为：y＝x﹣4，
设点D（x，x2﹣x﹣4），点N（x，x﹣4），
S△BCD＝×OB×ND＝3×（x﹣4﹣x2+x+4）＝﹣2x2+6x，
∵﹣2＜0，故S有最大值，
此时，x＝，点D（，﹣5）；

（3）存在，理由：
直线BC的表达式为：y＝x﹣4，抛物线的对称轴为：x＝1，故点H（1，﹣），

过点Q作QM⊥BC于点M，tan∠OCB＝＝tanα，∠QBC＝45°，
设QM＝3x，则HM＝4x，MB＝3x，
BH＝HM+MB＝7x＝＝，解得：x＝，
QH＝5x＝，
则yQ＝yH+＝﹣，
故点Q（1，），
观察图象可知，当点Q在BC的下方时，不存在，故点Q（1，）．
12．【解答】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，
，
解得：c＝4，
令y＝0，则，
解得x1＝3，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，4）；
（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式y＝x+4，
点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），
∴PQ＝＝，
∵，
∴a＝﹣2时，PQ有最大值；
（3）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），
则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），
∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，
①当BC＝BQ时，如图1，
∴BC＝BQ＝5，
设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，
解得：n＝3或4（舍去4），
故点Q1（﹣1，3）；
②当BC＝CQ时，如图1，
∴CQ＝5，
则AQ＝AC﹣CQ＝4，
∴，
∴，
③当CQ＝BQ时，
联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，
解得x＝﹣（不合题意，舍去），
综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．
13．【解答】解：（1）∵矩形AOCD中的点D沿AE对折，使点D落在OC上F点，
∴AF＝AD＝10，
在Rt△AOF中，OF＝＝6，
∴F（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），
把G（﹣1，7）代入得a×（﹣1）×（﹣1﹣6）＝7，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣6x；
（2）∵点M为抛物线的对称轴上一动点，
∴MF＝MO，
∴|MG﹣MF|＝|MG﹣MO|≤GO（当且仅当G、O、M共线时，取等号），
易得直线OG的解析式为y＝﹣7x，
当x＝3时，y＝﹣7x＝﹣21，
∴当|MG﹣MF|取得最大值时，点M的坐标为（3，﹣21）；
（3）1＜的值≤2．
理由如下：设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
把B（3，﹣8）代入得3k+b＝﹣8，则b＝﹣3k﹣8，
∴直线PQ的解析式为y＝kx﹣3k﹣8，
设P（x1，kx1﹣3k﹣8），Q（x2，kx2﹣3k﹣8），
则x1、x2为方程x2﹣6x＝kx﹣3k﹣8的两根，
∴x1+x2＝6+k，x1x2＝3k+8，
∴PQ＝＝•
＝•＝•＝•，
PB＝＝•＝•|x1﹣3|，
BQ＝＝•＝•|x2﹣3|，
∴PB•BQ＝（1+k2）|（x1﹣3）（x2﹣3）|＝（1+k2）|（x1x2﹣3x1x2+9|＝（1+k2）|3k+8﹣3（6+k）+9|＝1+k2，
∴＝＝＝
∵0＜≤3
∴1＜的值≤2．

14．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，

（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），

则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD
＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：

①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，
∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，
即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），
则点N1（，）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得：点N2（，）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）．
综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．
15．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
①如图1，连接CN，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，

设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
②如图2，连接EN，CM，MN，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，

设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，
∴a2﹣3a＝2，
解得：a＝，a＝（舍去），
∴M（，），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．
（3）如图3，作PG∥y轴交直线AB于点G，

设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．
16．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图1所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），
则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC
＝×8×4+PD•OB
＝16+×8（﹣x2+2x）
＝﹣x2+8x+16
＝﹣（x﹣4）2+32
∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32
∵0＜x＜8，
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为12．


（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），
∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，
又∵MN＝3，
∴|﹣+2m|＝3，
当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2，
∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．

答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
17．【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，
故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，c＝3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，

设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）
S△CBE＝HE×OB＝3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），
∵﹣＜0，当x＝﹣＝时，S△CBE有最大值，
点E（，﹣）；
（3）对于y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；
点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），
CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，
①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；
②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；
③当CM＝PM时，同理可得：m＝；
故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．
18．【解答】解：（1）抛物线的顶点在直线y＝x﹣3上，横坐标为m，
则顶点的坐标为（m，m﹣3），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+m﹣3＝ax2﹣2amx+am2+m﹣3；
（2）①如图所示，AB∥x轴，AD＝2，
∴点D（m+1，a+m﹣3），
设：BD＝t，
∵BD：BC＝1：2，则BC＝2t，
则点C（m+1+t，a+m﹣3﹣2t），
又点C在抛物线上，
则：a+m﹣3﹣2t＝a（m+t+1﹣m）2+m﹣3，
解得：t＝0（舍去）或﹣，
∴S△ADC＝AD•CB＝﹣；
②若△ADC的面积为1，则＝﹣＝1，
解得：a＝﹣；
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m﹣3；
当m＞2m+1时，即：m＜﹣1时，
﹣（2m+1﹣m）2+m﹣3＝﹣3，
整理得：4m2+3m+4＝0，
Δ＝b2﹣4ac＜0，故此方程无实数解；
当2m﹣1≤m≤2m+1时，即：﹣1≤m≤1，
则m﹣3＝﹣3，解得：m＝0；
当m＜2m﹣1时，即：m＞1，
﹣（2m﹣1﹣m）2+m﹣3＝﹣3，
整理并解得：m＝（舍去负值），
故：m的值为：0或．
19．【解答】解：（1）∵将二次函数y＝x2+bx+c的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），
∴二次函数y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4），
∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，
故答案为：y＝x2﹣6x+5；
（2）如图，过点P作PM⊥x轴，交BC于点M，

∵二次函数y＝x2﹣6x+5的图象与x轴交于A，B两点，交y轴与点C，
∴当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝5，x2＝1，
∴点C坐标为（0，5），点A坐标（1，0），点B坐标（5，0），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+5，
设点P（a，a2﹣6a+5），则点M（a，﹣a+5），
∴S△PBC＝（﹣a+5﹣a2+6a﹣5）×5＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，△PBC面积的最大值为，
∴点P（，﹣）；
（3）存在，理由：
①如图，△CMQ为等腰直角三角形（点Q、O重合）、△BMQ为直角三角形，

设点M的坐标为（m，5﹣m），Q的坐标为（0，0），
OB＝OC＝5，则点M（，）；
②如图，△CMQ为等腰三角形、△BMQ为直角三角形，

设点M的坐标为（m，5﹣m），Q的坐标为（m，0），
MQ2＝（5﹣m）2，CM2＝m2+m2，
由MQ2＝CM2，解得：m＝5﹣5，
故点M的坐标为（5﹣5，10﹣5）；
故：点M的坐标：或（5﹣5，10﹣5）．
20．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∵过点A（﹣3，0），E（0，1），
∴，
解得：，
∴直线AE解析式为y＝x+1，
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，

设D（m，m2+2m﹣3），则F（m，m+1），
∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，
∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF
＝×DF×AG+DF×OG
＝×DF×（AG+OG）
＝×3×DF
＝（﹣m2﹣m+4）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，△ADE的面积取得最大值为．

（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设P（﹣1，n），
∵A（﹣3，0），E（0，1），
∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，
①若AP＝AE，则AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，
∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣1）；
③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，
∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；
综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．