【备考2023中考】2023年中考数学高频考点突破——一次函数与三角形综合

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2023年中考数学高频考点突破——一次函数与三角形综合
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

2．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+2与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA＝OB，直线l2：y＝k2x+b经过点C（1，﹣），与x轴、y轴和线段AB分别交于点E、F、D三点．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图①：若EC＝ED，求点D的坐标和△BFD的面积；
（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值及△AOB的面积；
（2）点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；
（3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．

4．如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝3，OC＝2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．
（1）若△APD为等腰直角三角形．
①求直线AP的函数解析式；
②在x轴上另有一点G的坐标为（2，0），请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出此时点N的坐标和△GMN周长的最小值．
（2）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．

5．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求OC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

6．如图1，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交x轴于点A（8，0），交y轴正半轴于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为线段AB上一点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，M为CA延长线上一点，且AM＝CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标及PN的长度；若不存在，请说明理由．

7．如图，边长为5的菱形ABCD如图所示放置在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点D在x轴负半轴上，点B（0，4）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）如直线l经过点C且与直线y＝x平行，点P（0，t）是y轴上的一个动点．
①当点P在线段OB上（点P不与O、B重合），过点P作平行于x轴的直线分别交AB于M、交直线l于N．设线段MN的长度为d，求d关于t的函数解析式，并写出它的定义域；
②当点P在y轴正半轴上，如果△PCD是等腰三角形，求t的值．

8．如图1，在直角坐标系中，直线y＝x+m与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且△AOB的面积是8．
（1）求m的值；
（2）如图2，直线y＝kx+3k（k＜0）交直线AB于点E，交x轴于点C，点D坐标是（0，﹣2），过D点作DF⊥CD交EC于F点，若∠AEC＝∠CDO，求点F的坐标；
（3）如图3，点P坐标是（﹣1，﹣2），若△ABO以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t秒，若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），求t的取值范围．

9．一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内做等边△ABC
（1）求△ABC的面积和点C的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



11．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求：①点D的坐标；
②经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式；
（2）直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

12．如图，已知直线l：y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；
（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标．

13．如图，直线y＝kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．
（1）求B点坐标和k值；
（2）若点A（x，y）是直线y＝kx﹣1上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）探究：
①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为1，并说明理由；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

15．探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：
（1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，求证：△ABC∽△DCE；
（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点A（﹣2，1），点B在直线y＝﹣2x+3上运动，若∠AOB＝90°，求此时点B的坐标；
②如图③，过点A（﹣2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝﹣2x+3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标．

16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4图象与坐标轴分别交于点A（a，0），B（0，b）．
（1）A点的坐标为（ 　 　，　 　），B点的坐标为（ 　 　，　 　）；
（2）若M为直线y＝mx（m＞0）在第一象限上一点，连接MA，MB．
①当m＝1时，△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求点M的坐标；
②当m≠1时，是否仍然存在△ABM是以AB为底的等腰直角三角形的情况？如果存在，求此时点M的坐标；如果不存在，说明理由；
③当△ABM是以AB为底的等腰三角形，且为锐角三角形时，直接写出m的取值范围．


17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；
（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．




18．如图，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线l1：y＝x+2经过点D，与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2：y＝kx+b经过点C（1，0）、点D两点．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）求△ACD的面积；
（3）点P为线段AD上一动点，连接CP．
①求CP的最小值；
②当△ACP为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

19．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y＝2x交于点C（a，4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝2x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点F，使以O、C、F为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．


20．如图1，直线y＝kx+b经过第一象限内的定点P（3，4）．
（1）若b＝7，则k＝　 　；
（2）如图2，直线y＝kx+b与y轴交于点C，已知点A（6，t），过点A作AB∥y轴交第一象限内的直线y＝kx+b于点B，连接OB，若BP平分∠OBA．
①证明△OBC是等腰三角形；
②求k的值；
（3）如图3，点M是x轴正半轴上的一个动点，连接PM，把线段PM绕点M顺时针旋转90°至线段NM（∠PMN＝90°且PM＝MN），连接OP，ON，PN，当△OPN周长最小时，求点N的坐标．













参考答案与试题解析

1．【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线y＝x+b过点C，
4＝b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
y＝x+5中，当y＝0时，x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴•4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2，
解得：t＝4；
当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t，
解得：t＝8；
当AC＝AP时，
同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去）
故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形．
2．【解答】解：（1）∵直线y＝k1x+2与y轴B点，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∵OA＝OB＝6，
∴A（6，0），
把A（6，0）代入y＝k1x+2得到，k1＝﹣，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+2．

（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．

∵∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEC＝∠NED，EC＝DE，
∴△CME≌△DNE（AAS），
∴CM＝DN
∵C（1，﹣），
∴CM＝DN＝，
当y＝时，＝﹣x+2，
解得x＝3，
∴D（3，），
把C（1，﹣），D（3，）代入y＝k2x+b，得到，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，
∴F（0，﹣2），
∴S△BFD＝×4×3＝6．

（3）①如图③﹣1中，当PC＝PD，∠CPD＝90°时，作DM⊥OB于M，CN⊥y轴于N．设P（0，m）．

∵∠DMP＝∠CNP＝∠CPD＝90°，
∴∠CPN+∠PCN＝90°，∠CPN+∠DPM＝90°，
∴∠PCN＝∠DPM，
∵PD＝PC，
∴△DMP≌△NPC（AAS），
∴CN＝PM＝1，PN＝DM＝m+，
∴D（m+，m+1），
把D点坐标代入y＝﹣x+2，得到：m+1＝﹣（m+）+2，
解得m＝4﹣6，
∴P（0，4﹣6）．

②如图③﹣2中，当PC＝PD，∠CPD＝90时，作DM⊥OA于M，CN⊥OA于N．设P（n，0）．

同法可证：△DMP≌△PNC，
∴PM＝CN＝，DM＝PN＝n﹣1，
∴D（n﹣，n﹣1），
把D点坐标代入y＝﹣x+2，得到：n﹣1＝﹣（n﹣）+2，
解得n＝2
∴P（2，0）．
③如图③﹣3中，当点P在x则的负半轴上时，作DM⊥OA于M，CN⊥OA于N．设P（n，0）．

同法可得D（+n，1﹣n），把D点坐标代入y＝﹣x+2，得到：1﹣n＝﹣（n+）+2，解得n＝﹣2，
此时点P（﹣2，0），
因为此时D不在线段AB时，这种情形不符合题意，舍弃．
综上所述，满足条件的点P坐标为（0，4﹣6）或（2，0）．
3．【解答】解：（1）将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得
0＝2k+3，
解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+3．
当x＝0时，y＝3．
∴B（0，3），OB＝3．
当y＝0时，﹣x+3＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），OA＝2，
∴S△AOB＝OA•OB＝×2×3＝3．

（2）如图2，
①当AB＝BC时，点C与点A（2，0）关于y轴对称，故C（﹣2，0）符合题意；
②当AB＝AC时，由A（2，0），B（0，3）得到AB＝＝，由AC＝AC′＝得到C′（+2，0）、C″（2﹣，0）．
综上所述，符合条件的点C的坐标是（﹣2，0）或（+2，0）或（2﹣，0）；

（3）∵M（3，0），
∴OM＝3，
∴AM＝3﹣2＝1．
由（1）知，S△AOB＝3，
∴S△PBM＝S△AOB＝3；
①当点P在x轴下方时，S△PBM＝S△PAM+S△ABM＝+•AM•|yP|＝+×1×|yP|＝3，
∴|yP|＝3，
∵点P在x轴下方，
∴yP＝﹣3．
当y＝﹣3时，代入y＝﹣x+3得，﹣3＝﹣x+3，
解得x＝4．
∴P（4，﹣3）；
②当点P在x轴上方时，S△PBM＝S△APM﹣S△ABM＝•AM•|yP|﹣＝×1×|yP|﹣＝3，
∴|yP|＝9，
∵点P在x轴上方，
∴yP＝9．
当y＝9时，代入y＝﹣x+3得，9＝﹣x+3，
解得x＝﹣4．
∴P（﹣4，9）．



4．【解答】解：（1）①∵矩形OABC，OA＝3，OC＝2
∴A（3，0），C（0，2），B（3，2），
AO∥BC，AO＝BC＝3，∠B＝90°，CO＝AB＝2
∵△APD为等腰直角三角形
∴∠PAD＝45°
∵AO∥BC
∴∠BPA＝∠PAD＝45°
∵∠B＝90°
∴∠BAP＝∠BPA＝45°
∴BP＝AB＝2
∴P（1，2）
设直线AP解析式y＝kx+b，过点A，点P
∴
∴
∴直线AP解析式y＝﹣x+3
②作G点关于y轴对称点G'（﹣2，0），作点G关于直线AP对称点G''（3，1）
连接G'G''交y轴于N，交直线AP 于M，此时△GMN周长的最小．

∵G'（﹣2，0），G''（3，1）
∴直线G'G''解析式y＝x+
当x＝0时，y＝，
∴N（0，）
∵G'G''＝
∴△GMN周长的最小值为
（2）如图：作PM⊥AD于M

∵BC∥OA
∴∠CPD＝∠PDA且∠CPD＝∠APB
∴PD＝PA，且PM⊥AD
∴DM＝AM
∵四边形PAEF是平行四边形
∴PD＝DE
又∵∠PMD＝∠DOE，∠ODE＝∠PDM
∴△PMD≌△ODE
∴OD＝DM，OE＝PM
∴OD＝DM＝MA
∵PM＝2，OA＝3
∴OE＝2，OM＝2
∴E（0，﹣2），P（2，2）
设直线PE的解析式y＝mx+n

∴
∴直线PE解析式y＝2x﹣2
5．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．

（2）设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝．

（3）当PA＝PB时，点P与点C重合，此时P（，0）；
当PA＝AB＝5时，P（﹣1，0）或（9，0）；
当PB＝AB时，P（﹣4，0）
综上所述，P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）．

6．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+b交x轴于点A（8，0），
∴0＝﹣×8+b，b＝6，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+6，
令x＝0，y＝6，B（0，6）；
（2）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10＝BC，
∴OC＝4，
∴点C（0，﹣4），
设直线AC解析式为y＝kx+b’，
∴，
∴
∴直线AC解析式为y＝x﹣4，
∵P在直线y＝﹣x+6上，
∴可设点P（t，﹣t+6），
∵PQ∥y轴，且点Q在y＝x﹣4 上，
∴Q（t，t﹣4），
∴d＝（﹣t+6）﹣（t﹣4）＝﹣t+10；
（3）过点M作MG⊥PQ于G，
∴∠QGM＝90°＝∠COA，
∵PQ∥y轴，
∴∠OCA＝∠GQM，
∵CQ＝AM，
∴AC＝QM，
在△OAC与△GMQ中，，
∴△OAC≌△GMQ，
∴QG＝OC＝4，GM＝OA＝8，
过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，
∴∠MGH＝∠RHG＝∠MRH＝90°，
∴四边形GHRM是矩形，
∴HR＝GM＝8，可设GH＝RM＝k，
∵△MNQ是等腰直角三角形，
∴∠QMN＝90°，NQ＝NM，
∴∠HNQ+∠HQN＝90°，
∴∠HNQ+∠RNM＝90°，
∴∠RNM＝∠HQN，
∴△HNQ≌△RMN，
∴HN＝RM＝k，NR＝QH＝4+k，
∵HR＝HN+NR，
∴k+4+k＝8，
∴k＝2，
∴GH＝NH＝RM＝2，
∴HQ＝6，
∵Q（t，t﹣4），
∴N（t+2，t﹣4+6）即 N（t+2，t+2）
∵N在直线AB：y＝﹣x+6上，
∴t+2＝﹣（t+2）+6，
∴t＝2，
∴P（2，），N（4，3），
∴PH＝，NH＝2，
∴PN＝＝．

7．【解答】解：
（1）∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵四边形ABCD为菱形，且边长为5，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA＝3，
∴A（3，0），
设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴AB所在直线的解析式为y＝﹣x+4；
（2）①由题意可知C（﹣5，4），
∵直线l经过点C且与直线y＝x平行，
∴可设直线l解析式为y＝x+m，
∴4＝﹣5+m，解得m＝9，
∴直线l解析式为y＝x+9，
∵过点P作平行于x轴的直线分别交AB于M、交直线l于N，且P（0，t），
∴M、N点的纵坐标为t，
在y＝﹣x+4中，令y＝t，可解得x＝1﹣t，在y＝x+9中，令y＝t可得x＝t﹣9，
∴d＝1﹣t﹣（t﹣9）＝10﹣t，
∵点P在线段OB上（点P不与O、B重合），
∴0＜t＜4；
②∵A（3，0），AD＝5，
∴D（﹣2，0），且C（﹣5，4），P（0，t），
∴PC2＝52+（t﹣4）2＝t2﹣8t+41，PD2＝22+t2＝t2+4，CD2＝（﹣5+2）2+42＝25，
∵△PCD为等腰三角形，
∴有PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，
当PC＝PD时，则有t2﹣8t+41＝t2+4，解得t＝；
当PC＝CD时，则有t2﹣8t+41＝25，解得t＝4；
当PD＝CD时，则t2+4＝25，解得t＝或t＝﹣（舍去）；
综上可知当△PCD是等腰三角形时，t的值为或4或．
8．【解答】解：
（1）由题意可知A、B坐标分别为（﹣m，0）、（0，m），
∴，解得m＝±4，
又∵B点在y轴正半轴，即m＞0，
∴m＝4；
（2）如图，作FG⊥y轴于G，由题意可知OC＝3，

设∠AEC＝∠CDO＝x°，
则∠FCO＝∠ACE＝135°﹣x°，∠OCD＝90°﹣x°，∠DCF＝135°﹣x°﹣（90°﹣x°）＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝DF，
∵∠OCD+∠ODC＝∠ODC+∠FDG＝90°，
∴∠OCD＝∠FDG，
在△CDO和△DFG中

∴△CDO≌△DFG（AAS），
∴OD＝FG＝2，DG＝CO＝3，
∴OG＝OD+DG＝5，
∴F（﹣2，﹣5）；
（3）当P点落在AO边上时，由题意得0﹣2t＝﹣2，解得t＝1；
当P点落在AB边上时，由题意得（﹣1﹣t）+m﹣2t＝﹣2，由（1）可知，m＝4，解得；
∴若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），则t的取值范围为．
9．【解答】解：（1）y＝﹣x+1与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（，0），B（0，1）．
∵△AOB为直角三角形，
∴AB＝2．
∴S△ABC＝×2×sin60°＝．
∵A（，0），B（0，1）．
∴OA＝，OB＝1，
∴tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°，
∴C（，2）；
（2）如图1，

S四边形ABPO＝S△ABO+S△BOP＝×OA×OB+×OB×h＝××1+×1×|a|＝+|a|．
∵P在第二象限，
∴a＜0
∴S四边形ABPO＝﹣＝，
（3）如图2，

设点M（m，0），
∵A（，0），B（0，1）．
∴AM2＝（m﹣）2，MB2＝m2+1，AB＝2，
∵△MAB为等腰三角形，
∴①MA＝MB，
∴MA2＝MB2，
∴（m﹣）2＝m2+1，
∴m＝，
∴M（，0）
②MA＝AB，
∴MA2＝AB2，
∴（m﹣）2＝4，
∴m＝±2，
∴M（+2，0）或（﹣2，0）
③MB＝AB，
∴MB2＝AB2，
∴m2+1＝4，
∴m＝（舍）或m＝﹣．
∴M（﹣，0）．
∴满足条件的M的坐标为（，0）、（+2，0）、（﹣2，0）、（﹣，0）．

10．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，
令x＝0，则y＝0+1＝1，
∴A（0，1），
令y＝0，则0＝﹣x+1，
解得：x＝1．
∴B（1，0）．
（2）∠AOP＝∠BPQ．
理由如下：
过P点作PE⊥OA交OA于点E，
∵A（0，1），B（1，0）．
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE＝45°，
∵∠OPQ＝45°，
∴∠OPE+∠BPQ＝90°，
∵∠AOP+∠OPE＝90°，
∴∠AOP＝∠BPQ．
（3）△OPQ可以是等腰三角形．
理由如下：
如图，过P点PE⊥OA交OA于点E，

（ⅰ）若OP＝OQ，
则∠OPQ＝∠OQP，
∴∠POQ＝90°，
∴点P与点A重合，
∴点P坐标为（0，1），
（ⅱ）若QP＝QO，
则∠OPQ＝∠QOP＝45°，
所以PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y＝﹣x+1得x＝，
∴点P坐标为（，），
（ⅲ） 若PO＝PQ
∵∠OPQ+∠1＝∠2+∠3，
而∠OPQ＝∠3＝45°，
∴∠1＝∠2，
又∵∠3＝∠4＝45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB＝OA＝1，
∴AP＝﹣1
由勾股定理求得PE＝AE＝1﹣，
∴EO＝，
∴点P坐标为（1﹣，），
∴点P坐标为（0，1），（，）或（1﹣，）时，△OPQ是等腰三角形．
11．【解答】解：（1）①设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y＝x﹣2上，
∴2＝m﹣2，
∴m＝4，
即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，
∴点D的坐标为（1，2）；
②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y＝x+b，
将D（1，2）代入y＝x+b，得b＝1，
∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y＝x+1；

（2）存在．
∵△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB＝∠ECB＝45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB＝45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P1，
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P1的横坐标为1，
把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1，
∴点P1（1，﹣1）；
②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，
所以，点P2的横坐标为＝，
把x＝代入y＝x﹣2得，y＝，
所以，点P2（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）；

（3）当y＝0时，x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴OE＝2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3，
∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1，
此时，点M的坐标为（﹣1，0），
若CE是对角线，则EM＝CD＝3，
OM＝OE+EM＝2+3＝5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2），
设点M的坐标为（x，y），
则＝，＝2，
解得x＝3，y＝4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．

12．【解答】解：（1）∵y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（0，1），
∴，
解得，
所以，直线l的表达式为y＝x+1；

（2）由勾股定理得，AB＝＝＝，
①PA＝AB时，若点P在点A的左边，则OP＝2+，此时点P的坐标为（﹣2﹣，0），
若点P在点A的右边，则OP＝﹣2，此时点P的坐标为（﹣2，0），
②PB＝AB时，由等腰三角形三线合一的性质得，OP＝OA，
所以，点P的坐标为（2，0），
③PA＝PB时，设PA＝PB＝x，
在Rt△POB中，x2＝12+（2﹣x）2
∴x＝
∴AP＝，OP＝2﹣＝，
∴点P得到坐标为（﹣，0），
综上所述，点P的坐标为（﹣2﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）或（﹣，0）；

（3）∵B（0，1），C（0，3），
∴BC＝3﹣1＝2，
∵S△ABD＝2，
∴点D在点B的右侧时，S△ACD＝S△ABC+S△BCD，
＝×2×（2+xD）＝4，
解得xD＝2，
此时y＝×2+1＝2，
点D的坐标为（2，2），
点D在点A的左侧时，S△ACD＝S△BCD﹣S△ABC，
＝×2×（﹣xD﹣2）＝4，
解得xD＝﹣6，
此时，y＝﹣6×+1＝﹣2，
点D的坐标为（﹣6，﹣2），
综上所述，点D的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）．

13．【解答】解：（1）∵y＝kx﹣1与y轴相交于点C，
∴OC＝1；
∵＝，
∴OB＝；
∴B点坐标为：（，0）；
把B点坐标为：（，0）代入y＝kx﹣1得：k＝2；

（2）∵S＝×OB|y|＝，y＝kx﹣1，
∴S＝×（2x﹣1）；
∴S＝x﹣；

（3）①当S＝1时，x﹣＝1，
∴解得：x＝，y＝2x﹣1＝4；
∴A点坐标为（，4）时，△AOB的面积为1；

②存在．
当OA＝AP时，∵A（，4），∴P（5，0），
当AO＝P1O时，AO＝＝，
∴P1（﹣，0），
当AO＝OP2时，P2（，0），
当AP3＝OP3时，可得出AO的垂直平分线所在直线为：y＝﹣x+，
∴P3（，0），
综上所述，满足条件的所有P点坐标为：P（5，0），P1（﹣，0），P2（，0），P3（，0）．

14．【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0得
x1＝6，x2＝8．
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，
∴OC＝6，OA＝8．
∴C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA＝8，则A（8，0）．
∵点A、C都在直线MN上，
∴，
解得，，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
∵点P在直线MNy＝﹣x+6上，
∴设P（a，﹣a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC＝BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2＝64，
解得，a＝，则P2（﹣，），P3（，）；
③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，
解得，a＝，则﹣a+6＝﹣，∴P4（，﹣）．
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．

15．【解答】（1）证明：∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°．
∵∠A＝90°，
∴∠ACB+∠B＝90°，
∴∠DCE＝∠B．
∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DCE；

（2）解：①作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H
∴△AGO∽△OHB，
∴．
∵A（﹣2，1），
∴AG＝1，GO＝2．
∵点B在直线y＝﹣2x+3上，
∴设点B的坐标为（x，﹣2x+3），
∴OH＝x，BH＝﹣2x+3，
∴，
∴x＝，
∴﹣2x+3＝，
∴B（，）；
②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M，
∵A（﹣2，1），
∴C点的纵坐标为1，D点的横坐标为﹣2，
∴C（x，1），D（﹣2，y），
∴1＝﹣2x+3，y＝﹣2×（﹣2）+3，
∴x＝1，y＝7，
∴C（1，1），D（﹣2，7）．
设E（x，y），
∴DM＝x+2，ME＝7﹣y，CN＝x﹣1，EN＝y﹣1，
由对称可知：DE＝AD＝6，CE＝AC＝3
∵∠M＝∠N＝∠DEC＝90°，
∴△DME∽△ENC，
∴，
∴，
∴解得：
∴E（，）．


16．【解答】解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），B（0，4），
故答案为：2，0；0，4；
（2）①过M作MT⊥x轴于T，过B作BK⊥MT于K，如图：

当m＝1时，点M在直线y＝x上，设M（a，a），
∴OT＝BK＝a＝MT，
∵△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM，∠AMB＝90°，
∴∠AMT＝90°﹣∠BMK＝∠MBK，
∵∠ATM＝90°＝∠K，
∴△AMT≌△MBK（AAS），
∴AT＝KM，
∵A（2，0），B（0，4），
∴a﹣2＝4﹣a，
解得a＝3，
∴M（3，3）；
②当m≠1时，不存在△ABM是以AB为底的等腰直角三角形的情况，理由如下：
如图：

若△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，同①可知△AMT≌△MBK，
∴OT＝BK＝MT，
∴M的横坐标与纵坐标相等，
但m≠1，即M的横坐标与纵坐标不相等，
∴不存在△ABM是以AB为底的等腰直角三角形的情况；
（3）由（1）可知当m＝1时，△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，
而AB的垂直平分线为y＝x+，
∴△ABM是以AB为底的等腰三角形，且为锐角三角形时，＜m＜1．
17．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，
∴点B的坐标为（0，2）；
当y＝0时，有﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．
∴a＝﹣×2+2＝1，
∴点P的坐标为（2，1），
设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），
则AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，
当AP＝AQ时，则＝|4﹣m|，
解得m＝4±，
∴点Q（4±，0）；
当AP＝PQ时，＝，
解得m＝0或4（舍去），
∴点Q（0，0）；
当PQ＝AQ时，即＝|4﹣m|，
解得：m＝，
∴点Q（，0）；
综上，点Q的坐标为（4±，0）或（0，0）或（，0）；
（3）∵y＝kx过P（2，1）．
∴2k＝1，解得k＝，
∴y＝x，
设点C的坐标为（n，﹣n+2），则点D的坐标为（n，n），点E的坐标为（n，0），
∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，
当D为CE的中点时，CD＝DE，
∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），
∴点C的坐标为（，）；
当C为DE的中点时，CD＝CE，
∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），
∴点C的坐标为（，）；
当E为CD的中点时，DE＝CE，
∴|n|＝|n﹣2|，无解；
综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（，）或（，）．
18．【解答】解：（1）∵点D在直线l1：y＝x+2上，且点D的横坐标为4．
∴D（4，6），
∵直线l2：y＝kx+b经过点C（1，0），D两点，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝2x﹣2；
（2）∵直线l1：y＝x+2分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
过点作DE⊥x轴于点E，

∵D（4，6），
∴DE＝6，
∵C（1，0），
∴AC＝3，
∴S△ACD＝AC•DE＝×3×6＝9；
（3）由题可知：当CP⊥AB时，CP的值最小，
∵A（﹣2，0），D（4，6），
∴AD＝＝6，
∵S△ACD＝AC•DE＝AD•CP＝9，
∴CP＝＝，
∴CP的最小值为；
②∵点P在直线y＝x+2上，
设点P（x，x+2），
∵A（﹣2，0），C（1，0），
∴AC2＝（1+2）2＝9，PC2＝（1﹣x）2+（x+2）2，AP2＝（x+2）2+（x+2）2，
当AP＝AC时，即AP2＝AC2，
则：（x+2）2+（x+2）2＝9，
解得：x＝或，
∴点P的坐标为（，）或（，﹣）；
当AP＝PC时，即AP2＝PC2，
则：（x+2）2+（x+2）2＝（1﹣x）2+（x+2）2，
解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，）；
当AC＝PC时，即AP2＝PC2，
则：（1﹣x）2+（x+2）2＝9，
解得：x＝1或﹣2（舍去），
∴点P的坐标为（1，3）；
综上，点P的坐标为（，）或（，﹣）或（﹣，）或（1，3）
19．【解答】解：（1）∵点C在直线y＝2x上，
∴2a＝4，
解得a＝2，
∴C（2，4）；
将A（6，0），C（2，4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；
（2）根据题意设E点坐标为（m，0），
∵点E、F、G三点在同一直线上，且点F在直线y＝2x上，点G在y＝﹣x+6上，
∴F（m，2m），G（m，﹣m+6），
又∵|FG|＝3，
∴|2m﹣（﹣m+6）|＝3，
解得m＝3或m＝1，
∴E点的坐标为（3，0）或（1，0）；
（3）存在，
设M（0，t），
∵C（2，4），
∴OC＝＝2，OM＝|t|，CM＝＝，
要使以O、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OC＝OM时，
即|t|＝2，
解得t＝±2，
∴M（0，2）或（0，﹣2）；
②当OC＝CM时，
即＝2，
解得t＝8或t＝0（舍去），
∴M（0，8）；
③当CM＝OM时，
即＝|t|，
解得t＝，
∴M（0，）；
综上，符合条件的M点的坐标是（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，）．
20．【解答】（1）解：把P（3，4），b＝7代入y＝kx+b中得，
3k+7＝4，
可解得k＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）①证明：∵BP是角平分线，
∴∠ABC＝∠OBC，
∵AB∥OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OC＝OB，
∴△OBC是等腰三角形；
②解：点B在直线y＝kx+b上，当x＝6时，y＝6k+b，即点B（6，6k+b），
∴C（0，b），
∵点P（3，4），
∴P是BC的中点，
∴＝4，
∴b＝4﹣3k，
∴C（0，4﹣3k），B（6，3k+4），
∵OB＝OC，
即36+（3k+4）2＝（4﹣3k）2，
解得：k＝﹣；
（3）解：如图2，

设点M（m，0），点N（x，y），而点P（3，4），
过点M作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点H，交过点P与x轴的平行线于点G，
∵∠PMN＝90°，
∴∠GMP+∠GPM＝90°，
而∠GMP+∠NMH＝90°，
∴∠NMH＝∠GPM，
而PM＝MN，∠MGP＝∠NHM＝90°，
∴△MGP≌△NHM（AAS），
∴GP＝MH，HN＝GM，
即3﹣m＝﹣y，x﹣m＝4，
解得：x＝m+4，y＝m﹣3，
则y＝x﹣7①，
即点N在直线y＝x﹣7上，
如图，设直线y＝x﹣7于y轴交于点K，
过点O作直线y＝x﹣7的对称点O′，当点P、N、O′三点共线时，PN+ON＝PN+ON′＝PO′最小，即△OPN周长最小；
由直线y＝x﹣7的表达式知，该直线与x轴的夹角为45°，则△OO′K为等腰直角三角形，则KO′＝KO＝7，故点O′（7，﹣7），
设直线PO′的表达式为：y＝k′x+b′，
∴，解得，
故直线PO′的表达式为：y＝﹣x+②，
联立①②并解得：，
故点N的坐标为（，﹣）．