福建省诏安县桥东中学（霞葛教学点）2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
展开2022-2023学年霞葛中学第二学期第一次月考考试卷
高二数学
满分150分，考试时间120分钟
学校： 班级： 姓名： 座号：
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若z满足，则（ ）
A． B．10 C．20 D．
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象如图，则导函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
4．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数的导数为，且，则（ ）
A．0 B．4 C． D．2
7．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．
C．函数在x＝5处取得极大值 D．函数存在最小值
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点 B．的极大值点为
C．的极小值为 D．的最大值为
11．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的极大值为 B．的单调递减区间为
C．曲线在处的切线方程为 D．方程有两个不同的解
12．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的单调递减区间为______．
14．已知函数在处取得极值0，则______．
15．设a为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则__________，（2分）
此时，曲线在原点处的切线方程为______________．（3分）
16．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
18．（12分）已知a为实数，函数，若是函数的一个极值点．
(1)求实数a的值；
(2)求的单调区间．
19．（12分）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在的最大值和最小值．
20．（12分）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
21．（12分）已知函数（为常数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
22．（12分）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)讨论的单调性.
参考答案：
1．A 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D
9．AD 10．AB 11．BC 12．BCD
13．或 14．11 15． 16．
17．（1），因为，所以，所以…………2’
在上恒成立，所以函数在区间上单调递增………………4’
所以……………………………………………………………………6’
（2）因为函数在区间上为增函数，
所以在上恒成立………………………………………………7’
所以在上恒成立，…………………………………………………………8’
所以…………………………………………………………………………………10’
18．（1），定义域，……………………1’
则，是函数的一个极值点，…………………2’
则，解得.……………………………………………………4’
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，满足极值点条件，故.……………………………………………………………………6’
（2）当时，，…………………………7’
当时，，函数单调递减；……………………………9’
当时，，函数单调递增.……………………………11’
故函数的在上单调递减，在上单调递增.………………………………………12’
19．（1）易知，函数的定义域为；
所以，则切点为……………………………………1’
又，……………………………………………………3’
则在点处的切线斜率，…………………………………………4’
所以，切线方程为，整理可得
即函数在点处的切线方程为.………………………………6’
（2）由（1）可知，当时，，在上单调递减；
或时，，在或上单调递增；
函数在上的单调性列表如下：
1 | 3 | ||||
极大值 | 极小值 |
………………………………………………………………………………9’
所以，的极大值为，极小值为；
又，；…………………………11’
综上可得，函数在上的最大值为，最小值为……………………………12’
20．（1）由题意得，…………………………………………………1’
函数在及处取得极值，
得，解得.………………………………………………4’
此时，.
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增
所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意..………………8’
（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，
由图象知，解得，
所以实数c的取值范围是．………………………………………………12’
21． （1）定义域为，，………………2’
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；…………4’
当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增.………………………………………………………………6’
（2）由题意知：在上恒成立，
即：在上恒成立，……………7’
令，则，由，得，……………………9’
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，………………………………………………11’
只需，所以实数的取值范围是.…………………………12’
22．（1）当时，令………………1’
， ……………………………………………………………………2’
可得时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增， …………………………………………4’
时，函数取得极小值即最小值，，………………………………5’
∴，即．…………………………………………………………6’
（2）函数的定义域为，
， …………………………………………7’
当时， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；………………………………………………………………………………8’
当时，时，，函数单调递增区间为；时，，函数单调递减；………………………………………………10’
当时，，，函数在单调递增．………………11’
综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；
当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增.………………………………………………12’
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