第8章 二元一次方程组 人教版数学七年级下册练习题(含解析)

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第八章：二元一次方程组

一、单选题
1．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）下列方程中，是二元一次方程的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022春·广西河池·七年级统考期末）已知是方程的一组解，则的值为（    ）
A．2 B．1 C．5 D．
3．（2022春·广西玉林·七年级统考期末）二元一次方程的解是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）已知方程组中未知数x、y的和等于2，则m的值是(    )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022春·广西北海·七年级统考期末）下列方程是二元一次方程组的是（    ）
A． B． C． D．
6．（2022春·广西河池·七年级统考期末）下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（    ）
A． B． C． D．
7．（2022春·广西桂林·七年级统考期末）已知x，y满足方程组，则x﹣y的值是(   )
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
8．（2022春·广西柳州·七年级统考期末）如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为（    ）
A．3，10 B．4，10 C．10，4 D．10，3
9．（2022春·广西来宾·七年级统考期末）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（    ）
A． B． C． D．
10．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2022春·广西玉林·七年级统考期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下,那么一支笔和一本笔记本应付（ ）
小月:您好,我要买5支签字笔和3本笔记本
售货员:好的,那你应付款52元
小月:刚才我把两种文具的单价弄反了,以为要付44元
A．10元 B．11元 C．12元 D．13元

二、填空题
12．（2022春·广西防城港·七年级统考期末）写出一个解为的二元一次方程组__________．
13．（2022春·广西来宾·七年级统考期末）已知是方程组的解，则 m＋n 的值是________．
14．（2022春·广西北海·七年级统考期末）若方程是关于x、y的二元一次方程，则______．

三、解答题
15．（2022春·广西南宁·七年级统考期末）【阅读理解】我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例如：由2x+3y＝12，得：（x、y为正整数）．
要使为正整数，则为正数可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入．
所以2x+3y＝12的正整数解为．
(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y＝8的正整数解．
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法？
16．（2022春·广西来宾·七年级统考期末）解下列方程组
(1)x-2y=1①4x+3y=26②（代入消元法）
(2)（加减消元法）
17．（2022春·广西玉林·七年级统考期末）解方程组
（1）；
（2）．
18．（2022春·广西钦州·七年级统考期末）解方程组：．
19．（2022春·广西玉林·七年级统考期末）【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，
这时原方程组化为，解得
把代入
得解得
所以，原方程组的解为
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
解方程组
20．（2022春·广西河池·七年级统考期末）若方程组的解满足．
(1)求的取值范围．
(2)化简．
21．（2022春·广西北海·七年级统考期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，8只“冰墩墩”玩具和10只“雪容融”玩具的进价共计2000元；10只“冰墩墩”玩具和20只“雪容融”玩具的进价共计3100元．
(1)“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元？
(2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），专卖店共有哪几种采购方案？
(3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是200元、100元．在（2）的条件下，请帮助专卖店选出利润最大的采购方案．
22．（2022春·广西柳州·七年级统考期末）2022年为了支持上海抗击新冠肺炎疫情，全国上下万众一心为上海援助物资．某物流公司运送一批物资，已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．
(1)求1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)该物流公司现有30吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆（每种车辆至少1辆），一次刚好运完，且每辆车都装满货物．若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案．
23．（2022春·广西桂林·七年级统考期末）为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元只）
售价（元只）
甲种节能灯
30
40
乙种节能灯
35
50
(1)求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？
(2)全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？
24．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）某农业科学研究院对A、B两种玉米进行实验种植，已知去年两种玉米分别种植10亩，B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元．
(1)求A，B两种玉米去年的平均亩产量；
(2)在保持种植面积不变的情况下，预计今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，求a的值．
25．（2022春·广西钦州·七年级统考期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．

26．（2022春·广西南宁·七年级统考期末）阅读材料，解决问题．
阅读材料1：“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式．当表示一个多位数时，要像阿拉伯计数一样，把各数位的数码从左到右排列，但各数位数码的摆放需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，例如：2309用“算筹”表示就是；
阅读材料2：我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中的“方程”这一章中．下面的算筹图代表了古代解决方程问题的方法：
如图1，图2，图中各行从左到右的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．因此，图1的算筹图用现在的方程组形式可以表示为：

(1)用“算筹”表示的数是______；
(2)请列出图2算筹图所表示的关于x，y的二元一次方程组，并求出该方程组的解．
27．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）为了激发学生个人潜能和团队精神，某市某学校组织学生去某风景名胜区开展为期一天的素质拓展活动．已知这个景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠，某班教师与学生一共去了50人，门票共需810元．
(1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决）
(2)某旅行网上成人票价格为28元，学生票价格为14元，若该班级全部网上购票，能省多少元？
(3)该班在购买活动奖品时，奖品每件20元，奖品每件50元．如果准备用200元购买，两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请求出购买，两种奖品各多少件？

参考答案：
1．B
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、y+x不是方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是二元一次方程，故本选项符合题意；
C、含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D、不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．
2．A
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值．
【详解】把代入方程，得
2a-1=3，
解得a=2．
故选 A．
【点睛】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．
3．A
【分析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．
【详解】解：A、把x=2，y=-0.25入方程，左边=5=右边，所以是方程的解；
B、把x=-5.5，y=-4代入方程，左边=-32.5≠右边，所以不是方程的解；
C、把x=1，y=-0.5代入方程，左边=1≠右边，所以不是方程的解；
D、把x=-1，y=-0.5代入方程，左边=-5≠右边，所以不是方程的解．
故选：A．
【点睛】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
4．A
【分析】把当作已知条件求出的值，再根据题意列出关于的方程，求出的值即可．
【详解】，
①+②得，，解得，
∵的和等于2，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，先根据题意得出关于的一元一次方程是解答此题的关键．
5．A
【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组求解即可．
【详解】解：A．此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
B．此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；
C．此方程中xy的次数是2，此选项不符合题意；
D．此选项第1个方程不是整式方程，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
6．A
【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可．
【详解】解：将代入中得：，方程左右两边相等，
将代入中得：，方程左右两边相等，
∴是方程组的解，
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解“二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”．
7．C
【分析】根据加减消元法，直接可求出x-y的值．
【详解】
②-①得，x﹣y＝﹣1，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法的应用，利用加减消元法得出x﹣y的整体，是整体思想的体现也是解决本题的关键．
8．C
【分析】把x的值代入方程组可以得到y的值，然后再根据方程求得★的值．
【详解】解：把x的值代入方程组可得：

由②可得：y=4，
把③y=4代入①得6+4=10，
∴★=10，■=4
故选C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组解的意义及解法是解题关键．
9．A
【分析】根据“购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元”建立方程组即可．
【详解】解：由题意，可列方程组为，
故选：A．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，正确找出等量关系是解题关键．
10．D
【详解】该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：，
故选D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
11．C
【分析】设购买1支签字笔应付x元，1本笔记本应付y元，根据题意可得5x+3y=52和3x+5y=44，进而求出x+y的值．
【详解】设购买1支签字笔应付x元，1本笔记本应付y元，
根据题意得，
解得8x+8y=96，
即x+y=12，
所以在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付12元，
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
12． （答案不唯一）
【详解】试题分析：最简单的方法就用，，即为，另外与是同解方程的都是答案.
考点：二元一次议程组与解.
13．0
【分析】把x与y代入方程组求出m与n的值，即可求出m+n的值．
【详解】解：把代入方程组得：
，
解得：m=-2，n=2，
则m+n=2-2=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14．
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1，从这两个方面考虑得出a、b的值，代入计算可得．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
15．(1)
(2)共有3种截法

【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；
（2）设截成2米长的x段，截成3米长的y段，则根据题意得：2x＋3y＝20，其中x、y均为自然数，解该二元一次方程即可．
【详解】（1）解：由，得：（x，y为正整数），
要使为正整数，则为整数可知：x为2的倍数，
从而，代入，
所以方程的正整数解为．
（2）解：设截成2米长的钢管x段，3米长的钢管y段，
依题意，得：，
∴，
又∵x，y均为正整数，
∴，，，
∴共有3种截法．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
16．(1)
(2)

【分析】（1）将①变形为，然后将其代入②求解得出，然后将其代入③得求解即可得；
（2）①+②得，得出，将其代入①求解，由此即可得出方程组的解．
【详解】（1）解：由①得：③，
把③代入②得， ，  
解得，
把代入③得：x=1+2×2=5，
原方程组的解为：；
（2）解：①+②得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴．
【点睛】题目主要考查解方程组的方法：代入消元法和加减消元法，熟练掌握两个方法是解题关键．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）利用代入消元法计算即可得出答案；
（2）利用加减消元法计算即可得出答案.
【详解】解：（1）
①+②得：
解得：
将代入①中得：
∴此方程组的解为
（2）
①×2得：
②×3得：
③＋④得：
解得：
将代入①中得：
∴此方程组的解为
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解决本题的关键.
18．
【分析】利用加减消元法解方程组即可.
【详解】解：
①×2＋②，得11＝33
解得＝3
把＝3代入①，解得＝3
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查了加减消元法：将两个方程中其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数），通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程得到一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值．
19．
【分析】参照材料将 化为，将化为，代入原式后求出 ，再将x与y联成方程组即可求解．
【详解】令 ，
原方程组可化为
解得：
∴
解得
∴原方程组的解为
【点睛】本题考查换元法解二元一次方程组，善于观察与变换是关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）两个方程相加，化简然后代入已知条件，可得的取值范围；
（2）根据绝对值的定义性质，判断绝对值内数的正负，去绝对值化简即可．
（1）
，
①＋②，得，得，
∵，∴，∴．
（2）
∵，∴，，
∴．
【点睛】本题考查方程组的化简求值，熟练运用其计算法则即可．
21．(1)“冰墩墩”每只进价为150元，“雪容融”每只进价为80元
(2)专卖店共有3种采购方案：方案1：购进“冰墩墩” 2 只，购进“雪容融”40只；方案2：购进“冰墩墩” 10 只，购进“雪容融”25只；方案3：购进“冰墩墩” 18只，购进“雪容融”10只
(3)利润最大采购方案购进“冰墩墩”玩具18只，购进“雪容融”玩具10只

【分析】（1）设冰墩墩”每只进价为x元，“雪容融”每只进价为y元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进“冰墩墩”m只，购进“雪容融”n只，由专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题；
（3）分别求出（2）中三种方案的利润，比较后可得出答案．
（1）
解：设冰墩墩”每只进价为x元，“雪容融”每只进价为y元，
由题意得： ，
解得：，
答：冰墩墩”每只进价为150元，“雪容融”每只进价为80元；
（2）
设购进“冰墩墩” m 只，购进“雪容融”n只，
由题意得：150m+80n=3500，
整理得：15m+8n=350，
∵ m 、n为正整数，
∴ 或或，
∴专卖店共有3种采购方案：
方案1：购进“冰墩墩” 2 只，购进“雪容融”40只；
方案2：购进“冰墩墩” 10 只，购进“雪容融”25只；
方案3：购进“冰墩墩” 18只，购进“雪容融”10只；
（3）
当 m =2，n =40时，利润为：2×(200-150)+40×(100-80)=900（元）；
当 m =10， n=25时，利润为：10×(200-150)+25×(100-80)=1000（元）；
当 m =18， n=10时，利润为：18×(200-150)+10×(100-80)=1100（元）；
∵ 900