人教版8.2 消元---解二元一次方程组精练

第八章　二元一次方程组

8.2　消元——解二元一次方程组

基础过关全练

知识点1　代入消元法解二元一次方程组

1.【教材变式·P93T1变式】(2022河南开封期末)方程x-2y=1改写成用含x的式子表示y的形式为(　　)

A.y=

C.x=

2.(2021湖南永州冷水滩京华中学月考)解方程组时,使用代入法化简比较容易的变形是              (　　)

A.由①,得x=　　　　B.由①,得y=2x-1

C.由②,得y=　　　　D.由②,得x=

3.(2022湖南株洲中考)对于二元一次方程组将①代入②,消去y可以得到　　　　　　. 

4.用代入消元法解方程组:

(1)(2)

5.【一题多解】阅读材料:

善于思考的小军在解方程组时,采用了一种“整体代换”的解法:

解:将方程②变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5.③

把方程①代入③得2×3+y=5,∴y=-1.

把y=-1代入①得2x-5=3,解得x=4.

∴原方程组的解为

请你解决以下问题:

模仿小军的“整体代换”法解方程组

知识点2　加减消元法解二元一次方程组

6.(2021湖南益阳中考)解关于x,y的方程组时,①-②可得 (　　)

A.-2y=-1　　　　B.-2y=1　　　　C.4y=1　　　　D.4y=-1

7.(2022湖北随州期中)已知二元一次方程组若用加减法消去y,则正确的是              (　　)

A.①+②　　　　B.①+②×2

C.①-②　　　　D.①-②×2

8.方程组中,x的系数的特点是　　　　,方程组中,y的系数的特点是　　　　　　,这两个方程组用　　　　消元法解比较方便. 

9.【一题多变】【一题多解】(2022湖北随州中考)已知二元一次方程组则x-y的值为　　　　. 

[变式](2019四川眉山中考)已知关于x,y的方程组的解满足x+y=5,则k的值为　　　　. 

10.(2021甘肃金昌期末)解方程组:

(1)(2)

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11.(2022河北沧州青县期末,3,★☆☆)解以下两个方程组①较为简便的方法是              (　　)

A.①用加减法,②用代入法

B.①用代入法,②用加减法

C.都用代入法

D.都用加减法

12.(2022河南南阳南召期末,6,★★☆)在等式y=kx+b中,当x=1时,y=-2;当x=-1时,y=-4.则2k+b的值为              (　　)

A.1　　　　B.-1　　　　C.-2　　　　D.-3

13.(2022河北邢台信都期末,11,★★☆)用代入法解方程组时,将①代入②可得x-4x+2=4,则②可以是              (　　)

A.x+2y=4　　　　B.x-2y=4

C.2x-y=4　　　　D.2x+y=4

14.(2022山东泰安新泰期中,10,★★☆)2022年北京残奥会已于3月13日闭幕,北京冬(残)奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”赢得了广大网友的喜爱,王老师想要购买两种吉祥物玩偶作为本次冬奥会的纪念品,已知购买1件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需95元,购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元,玩偶“冰墩墩”“雪容融”的单价分别为              (　　)

A.55元,40元　　　　B.50元,45元

C.125元,135元　　　　D.25元,30元

15.(2022浙江嘉兴期末,9,★★☆)关于x,y的方程组有以下两个结论:

①当a=1时,方程组的解也是方程x+y=2的解;②无论a取什么实数,2x+y的值始终不变.则              (　　)

A.①②都正确　　　　B.①正确,②错误

C.①错误,②正确　　　　D.①②都错误

16.【换元法】(2022浙江金华义乌稠州中学月考,9,★★☆)已知关于x,y的二元一次方程组则关于m,n的方程组的解是(　　)

A.

17.【教材变式·P98T9变式】(2022福建泉州南安期末,14,★★☆)一个长方形的周长是20 cm,若这个长方形的长减少1 cm,宽增加3 cm,就可以成为一个正方形,则长方形的长是　　　　cm. 

18.【整体思想】(2022四川南充模拟,15,★★☆)有A,B两种医用外科口罩,2包A型口罩与3包B型口罩合计27元,7包A型口罩与8包B型口罩合计77元,则3包A型口罩与2包B型口罩合计　　　　元. 

19.(2021内蒙古呼和浩特中考,17,★★☆)解方程组

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20.【推理能力】(2022福建厦门十一中期中)当a,b都是实数,且满足2a-b=6时,称点P为完美点.

(1)判断点A(2,3)是不是完美点,并说明理由.

(2)已知关于x,y的方程组当m为何值时,以方程组的解为坐标的点B(x,y)是完美点?请说明理由.

21.【模型观念】如图①,在3×3的方阵图中填写了一些数和整式(其中每个整式都表示一个数),使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等.

(1)x=　　　　,y=　　　　; 

(2)在图②中完成方阵图.

22.【运算能力】(2022河南信阳市直中学期中联考)我们把关于x,y的两个二元一次方程x+ky=b与kx+y=b(k≠1)叫做互为共轭二元一次方程,二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组.

(1)若关于x,y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组,则a=　　　　,b=　　　　. 

(2)若二元一次方程x+ky=b中x,y的值满足当x=2时,y=0;当x=0时,y=1,则这个方程的共轭二元一次方程是　　　　. 

(3)方程组的解为　　　　　;的解为　　　　　;的解为　　　　　. 

(4)发现:若共轭二元一次方程组则m,n之间的数量关系是　　　　. 

(5)应用:请你构造一个共轭二元一次方程组,并直接写出它的解.

答案全解全析

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1.A　由x-2y=1,得2y=x-1,y=.故选A.

2.B　用代入法解方程组的第一步:尽量用其中一个未知数表示系数较简单的另一个未知数.A、B、C、D四个选项的变形都是正确的,但“化简比较容易的”只有B.故选B.

3.答案x+2(x-1)=7

解析　将①代入②中,

得x+2(x-1)=7.

4.解析　(1)把①代入②,得6x+2x=8,所以x=1,

把x=1代入①,得y=2.

所以原方程组的解为

(2)由②得x=2y-1.③

将③代入①,得4y-2+3y=12,解得y=2.

将y=2代入③,得x=3.

所以原方程组的解为

5.解析　解法一:将方程②变形得9x-6y+2y=19,即3(3x-2y)+2y=19,③

把方程①代入③得3×5+2y=19,解得y=2.

把y=2代入①得3x-4=5,解得x=3,

∴原方程组的解为

解法二:将方程②变形得3x+6x-4y=19,即3x+2(3x-2y)=19,③

把方程①代入③得3x+2×5=19,解得x=3,

把x=3代入①得9-2y=5,解得y=2.

∴原方程组的解为

6.D　①-②得(2x+y)-(2x-3y)=3-4,去括号,合并同类项得4y=-1,故选D.

7.B　用加减消元法消去y,需①+②×2.故选B.

8.答案 相等;互为相反数;加减

9.答案1

 解析　

解法一:由②-①可得x-y=1.

解法二:由①可得x=4-2y,代入②中,可得2(4-2y)+y=5,解得y=1,将y=1代入①中,可得x+2×1=4,解得x=2,∴x-y=2-1=1.

[变式]答案2

解析　

解法一:①+②得3x+3y=6k+3,即x+y=2k+1,

∴2k+1=5,解得k=2.

解法二:②×2-①,得3x=9k+9,解得x=3k+3,

把x=3k+3代入①,得3k+3+2y=k-1,

解得y=-k-2,∵x+y=5,∴3k+3-k-2=5,解得k=2.

10.解析　(1)

①+②得3x=-9,解得x=-3,

把x=-3代入①得-3+y=1,解得y=4,

故原方程组的解为

(2)①×6得2x+3y=12③,②×3得12x-3y=-12④,③+④得14x=0,解得x=0,把x=0代入②得0-y=-4,解得y=4,故原方程组的解为

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11.B　观察方程组中方程的特征:第一个方程组中第一个方程是用含y的式子表示x,用代入消元法简单;第二个方程组中两个方程的y的系数互为相反数,用加减消元法简单,∴较为简便的方法是①用代入法,②用加减法.故选B.

12.B　由题意可得①+②,得2b=-6,解得b=-3,将b=-3代入①得,k=1,∴2k+b=2-3=-1,故选B.

13.B　将①代入②可得x-4x+2=4,

即x-2(2x-1)=4,即x-2y=4,

因此②可以是x-2y=4,故选B.

14.A　设玩偶“冰墩墩”的单价为x元,“雪容融”的单价为y元,

依题意得

∴玩偶“冰墩墩”的单价为55元,“雪容融”的单价为40元.故选A.

15.C　①把a=1代入方程组中的第一个方程,得x+y=0,∴a=1时,方程组的解不是方程x+y=2的解,故①错误;

②

(1)+(2),得2x=2a+6,

(1)-(2),得2y=-4-4a,

∴y=-2-2a,∴2x+y=2a+6-2-2a=4,

∴无论a取什么实数,2x+y的值总等于4,

故②正确.故选C.

16.B　∵方程组

关于x,y的二元一次方程组

∴故选B.

17.答案7

解析　设长方形的长是x cm,宽是y cm,

依题意得

∴长方形的长是7 cm.

18.答案23　

解析　设A型口罩的单价为x元,B型口罩的单价为y元,

依题意得②-2×①得3x+2y=23,∴3包A型口罩与2包B型口罩合计23元.

19.解析　

化简得

①×12-②得13x=3 900,解得x=300,

把x=300代入①得y=400,

∴方程组的解为

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20. 解析　(1)A(2,3)不是完美点,理由:假设A(2,3)是完美点,由a-1=2,可得a=3,由+1=3,可得b=4,∴2a-b=2,与2a-b=6矛盾,

∴A(2,3)不是完美点.

(2)∵

由2+m=a-1,可得a=m+3,

由2-m=+1,可得b=2-2m,

∵2a-b=6,∴2m+6-2+2m=6,∴m=,

∴当m=时,点B(x,y)是完美点.

21.解析　(1)由题意,得

解得

(2)如图.

22.解析　(1)∵是共轭二元一次方程组,

∴1-a=2,b+2=3,解得a=-1,b=1.

(2)将x=2,y=0;x=0,y=1代入方程x+ky=b中,

得2=b,k=b,∴k=b=2,

∴二元一次方程是x+2y=2,

∴其共轭二元一次方程是2x+y=2.

(3)(i)

①×2得,2x+4y=6③,③-②得,3y=3,即y=1,

将y=1代入①,得x=1,∴方程组的解为

(ii)

①×2得,6x+4y=-20③,②×3得,6x+9y=-30④,

④-③得,5y=-10,即y=-2,将y=-2代入①,得x=-2,

∴方程组的解为

(iii)

①×2得,4x-2y=8③,②+③得,3x=12,即x=4,

将x=4代入①得,y=4,∴方程组的解为

故答案为

(4)∵

①-②,得(1-k)m+(k-1)n=0,

∴(1-k)(m-n)=0,∵k≠1,∴m=n.

(5)答案不唯一,如

①×2,得2x-4y=2③,②+③得,-3y=3,即y=-1,

将y=-1代入①得,x=-1,

∴方程组的解为