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北京市昌平区2022届高三二模数学试题 (原卷版)
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北京市昌平区2022届高三二模数学试题 一、单选题1.已知集合,则( )A. B.C. D.2.设复数z满足,则z= ( )A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i3.为倡导“节能减排,低碳生活”的理念,某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查,通过抽样,获得了某社区100个家庭的人均月用电量(单位:千瓦时),将数据按照分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭,估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为( )A. B. C. D.4.记为等差数列的前项和,若,则( )A. B. C. D.5.已知双曲线的焦距为,其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.6.“”是“函数在区间上单调递减”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图,在正四棱柱中,是底面的中心,分别是的中点,则下列结论正确的是( )A.//B.C.//平面D.平面8.已知直线与圆相交于两点,当变化时,△的面积的最大值为( )A. B. C. D.9.已知函数,则关于的不等式的解集是( )A. B. C. D.10.在△中,只需添加一个条件,即可使△存在且唯一.条件:①; ②;③中,所有可以选择的条件的序号为( )A.① B.①② C.②③ D.①②③ 二、填空题11.抛物线的准线方程为__________.12.展开式中常数项为___________(用数字作答).13.若函数有且仅有两个零点,则实数的一个取值为______. 三、解答题14.如图,在棱长为的正方体中,点是的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的大小;(3)求点到平面的距离.15.已知函数,且的最小正周期为,再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.(1)求的解析式;(2)设,若在区间上的最大值为,求的最小值.条件①:的最小值为;条件②:的图象经过点;条件③;直线是函数的图象的一条对称轴.注:如果选择多组符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.16.某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定,其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例,检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测,检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量(件)30506060 (1)若从流水线上随机抽取一件产品,估计该产品为优等品的概率;(2)从该流水线上随机抽取3件产品,记其中单件产品利润大于20元的件数为,用频率估计概率,求随机变量的分布列和数学期望;(3)为拓宽市场,产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售,每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为,比较的大小.(请直接写出结论)17.已知椭圆的离心率为,上下顶点分别为,且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点(不与点重合).(1)求椭圆的方程;(2)若直线与直线相交于点,求证:三点共线.18.已知函数,.(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求实数的值;(2)若函数无零点,求实数的取值范围;(3)当时,函数在处取得极小值,求实数的取值范围.19.已知数列,给出两个性质:①对于任意的,存在,当时,都有成立;②对于任意的,存在,当时,都有成立.(1)已知数列满足性质①,且,,试写出的值;(2)已知数列的通项公式为,证明:数列满足性质①;(3)若数列满足性质①②,且当时,同时满足性质①②的存在且唯一.证明:数列是等差数列. 四、双空题20.已知是△的边的中点,,,则______;______21.刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一,已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上,设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是:先画一个边长为3的正三角形,取正三角形各边的三等分点,得到第一个阴影三角形;在正三角形中,再取各边的三等分点,得到第二个阴影三角形;继续依此方法,直到得到图中的螺旋形图案,则______;图中螺旋形图案的面积为______.
参考答案:1.A2.A3.D4.B5.D6.A7.B8.C9.C10.B11.12.13.(答案不唯一)14.(1)证明见解析(2)(3) 15.(1);(2). 16.(1)(2)分布列见解析,(3) 17.(1)(2)证明见解析 18.(1)(2)(3) 19.(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 20. 3 ##-0.7521.
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