热点02 方程（组）与不等式（组）-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

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在各地中考中，方程（组）与不等式（组）主要考查有两方面：一是计算，整体来说命题都是中规中矩；二是应用，时常命题新颖，且出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，是属于占分较多的一类考点，分值设置在15分左右，整体来看试题难度不大，属于中考中的中等题，所以在中考复习时，需要考生对计算部分的易错点多加重视，而应用类则需要认真审题，根据应用的处理步骤完成即可。
命题热点1：一元一次方程+二元一次方程组
1）一元一次方程+二元一次方程组解法的考查，多在于其解法步骤上，所以基本各类方程的解法步骤必须非常熟悉。
2）一元一次方程+二元一次方程组的实际应用的考查，要求学生熟练掌握应用题的经典题型：分段计费、方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等。
命题热点2：一元二次方程的解法、判别式与韦达定理
一元二次方程的考查主要有解方程、判别式和韦达定理、应用题等，一元二次方程在考查应用题时还常结合二次函数考查，韦达定理灵活运用也是重点，切记在使用韦达定理时注意前提条件是判别式要非负。
命题热点3：分式方程及其应用
分式方程的考查不管是单独的解分式方程，还是分式方程的应用题，在解完方程之后，都需要“验根”。
分式方程含参则是该部分的重点和难点问题，切记考虑增根情况。
命题热点4：一元一次不等式（组）
不等式（组）主要考查不等式（组）的解法、不等式（组）的实际应用问题。不等式含参则是该部分的重点和难点问题，切记讨论特殊情况（即等号是否可取是解题的关键）。
限时检测1：最新各地模拟试题（60分钟）
1．（2022·广东·中考模拟预测）有一间公司请水电工程厂商安装日光灯管，厂商提供两种方案如表所示．
已知支功率皆为瓦的灯管都使用小时后消耗的电能（度），若每支灯管使用时间皆相同，且只考虑灯管消耗的电能并以每度5元计算电费，则两种方案相比，灯管使用时间至少要超过多少小时，采用省电方案所节省的电费才会高于两者相差的施工费用？
A．12200B．12300C．12400D．12500
2．（2022·重庆·巴蜀中学校考一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
4．（2022·重庆璧山·统考一模）已知的不等式组有且只有4个整数解，并且使得关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最大值是8；③若操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；④输入整数x后，该操作永不停止，则，以上结论正确有( )
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
6．（2022·广东深圳·校考模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k
7．（2022·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+k=0进行了讨论：
甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；
丙说：当k≥-1时，该方程有实数根；丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根．
A．甲和丙说的对B．甲和丁说的对C．乙和丙说的对D．乙和丁说的对
8．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则关于的方程无实数根；④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个．
A．1B．2C．3D．4
9．（2022·河北邯郸·校考三模）2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：
①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；
②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ；
③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示；
④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧．
则整数k的最小值为（ ）
A．511B．510C．509D．500
10．（2022·四川达州·模拟预测）小明从标有到的卡片中抽出两张，结果发现两个数字中较大数倍的平方减去较小数的平方刚好等于这张卡片上数字之和，那么所抽出两个数字的积是_________．
11．（2022·四川眉山·模拟预测）若实数，满足的值为______．
12．（2022·山东济南·校考模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：和，求：
（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；
（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．
13．（2022·重庆·校考二模）“几处早莺争暖树，谁家春燕啄春泥”，阳春三月，春暖花开，某校决定组织该校七年级全部学生进行春游活动，需要租用甲、乙、丙三种不同型号的巴士出行．已知甲种巴士的载客人数是乙种巴士载客人数的2倍，丙种巴士每辆载客40人，且丙种巴士的载客人数不低于乙种巴士的载客人数，不超过甲种巴士的载客人数．现在学校预计租用甲、丙两种巴士共10辆及若干辆乙种巴士，这样七年级学生刚好能全部坐满每辆车，且乘坐乙种巴士和丙种巴士的有440人．结果在出发前若干学生因故不能参加春游活动，这样学校就可以少租1辆乙种巴士，且有一辆乙种巴士还空了5个位置（其余车辆仍是满载），这样乘坐甲种巴士和乙种巴士的共505人，则该校七年级有______学生．
14．（2022·重庆·统考二模）某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）．甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具4个，C茶具4个．若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_____．
15．（2022·北京东城·统考一模）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的?（ɡuǐ）长损益相同（?是按照日影测定时刻的仪器，?长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至?长逐渐变小，从夏至到冬至?长逐渐变大，相邻两个节气?长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的?长为13.5尺，夏至的?长为1.5尺，则相邻两个节气?长减少或增加的量为________尺，立夏的?长为_______尺．
16．（2022·江苏无锡·统考二模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
17．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）已知a、b是方程的两个实数根，则代数式的值______．
18．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则实数a的值是______．
19．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）关于x的分式方程有增根，则m的值为______ ．
20．（2022·江苏扬州·校考二模）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是_____．
21．（2022·广东江门·校考一模）某市为了排查新冠肺炎，进行了一次全民核酸检测，某小区的检测有如下三种方案：①全部由甲医院检测预计需要若干小时；②全部由乙医院预计需要的时间比甲医院多用6小时；
③第一天由甲医院检测10小时，第二天再由乙医院检测7小时，预计也能全部检测完．
(1)求两间医院单独检测各需多少小时．(2)该市选择了方案③进行检测，但在检测了第一天后，由于任务紧急，临时决定至少要提前3小时完成任务，因此第二天甲医院义无反顾地参加了支援工作，求甲医院至少检测多长时间才能按时完成检测工作．
22．（2022·河北沧州·统考二模）解方程组．
(1)下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：…
请完成解方程组的过程；
(2)若方程的解满足，求整数a的值．
23．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．(1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的，而第三周草莓的销售总额为元，求a的值．
24．（2022·贵州遵义·统考二模）阅读下列材料，完成探究与运用．
【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？
解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…．
同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：
由，
从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…．
【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律．
(1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______；
【运用】(2)请用上述规律，解分式方程．
25．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）阅读下列材料，并回答问题：
【情境1】：小红在研究学习无理数时发现：
①任意一个有理数与无理数的和为无理数；
②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；
③零与无理数的积为零．
【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现：
若，其中a，b为有理数，x为无理数，则且．
例如：若，其中a，b为有理数，则．
【情境3】：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他的一道题：
，其中a，b为有理数．分析：通过变形，得：
又a，b为有理数，∴解得：
运用上述知识解决下列问题：
(1)已知，其中a，b为有理数，则__________，_________；
(2)已知，其中a，b为有理数，求的值．
26．（2022·浙江嘉兴·一模）规定：过x轴上一点作x轴的垂线分别交函数的图象于点、，若，则称点A为的“伴随点”．
(1)已知，求的“伴随点”坐标．(2)已知．
①当有且仅有3个“伴随点”时，求a的值．②当不存在“伴随点”时，求a的取值范围．
限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2022·湖南·中考真题）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
3．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26B．－24C．－15D．－13
5．（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14B．15C．16D．17
7．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ）
A．依题意B．依题意
C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤
8．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8B．10C．7D．9
9．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ）
A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量
10．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
11．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
12．（2022·黑龙江大庆·中考真题）满足不等式组的整数解是____________．
13．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是_____．
14．（2022·湖北十堰·中考真题）关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为_________．
15．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
16．（2022·山东威海·中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．
17．（2022·四川雅安·中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____．
18．（2022·黑龙江绥化·中考真题）在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．
19．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k的代数式表示）．
20．（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
21．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
22．（2022·四川泸州·中考真题）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是________．
23．（2022·山东威海·中考真题）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:．
24．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
25．（2022·四川遂宁·中考真题）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
26．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组的解满足，求k的取值范围．
27．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
28．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
方案
施工内容
施工费用（含材料费）
基本方案
安装90支日光灯管
45000元
省电方案
安装120支日光灯管
60000元