2022-2023学年内蒙古阿拉善盟第一中学高三上学期期末考试数学（理科）试题含答案

  阿拉善盟第一中学20222023学年度第一学期高三年级期末考试

数学（文科）

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：高考范围．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

2．已知集合，则（）

A．B．C．D．

3．已知向量，若，则实数m的值是（）

A．    B．    C．1    D．4

4．若，则（）

A．B．C．D．

5．已知函数．若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（）

A．    B．   C．     D．

6．若双曲线的渐近线与圆相切，则（）

A．    B．    C．    D．

7．正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

8．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（）

A．B．

C．D．

9．某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m（，且m为常数）倍，第年开采后剩余储量为，按该计划使用10年时间开采到剩余储量为原有储量的一半，若开采到剩余储量为原有储量的，则需开采约（参考数据）（）

A．3年B．4年    C．5年    D．6年

10．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，如图是该算法的程序框图，如果输入，则输出的a是（）

A．23    B．33    C．37    D．42

11．已知点F为抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为（）

A．64    B．54    C．50    D．48

12．设等比数列满足，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和（）

A．109    B．111    C．114    D．116

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某高校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），将收集到的自习时间分成5组：（自习时间均在内），制成了如图所示的频率分布直方图，则这400名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是______________．

14．设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则___________．

15．已知函数，若它们同时满足下面两个条件：①，和中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是____________．

16．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在半径为4的球O的球面上，则三棱锥的体积为___________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求证：；

（2）若外接圆的半径为，求的面积．

18．（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个．某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400人进行问卷调查，并全部收回．经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占；而在未购买者当中，男生、女生各占．

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？

（2）从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，求抽到的3人中恰有1位男生的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且点在C上．

（1）求C的方程；

（2）设为C的左、右焦点，过的直线l交C于A，B两点，若内切圆的半径为，求直线l的方程．

21．（本小题满分12分）设向量．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求函数零点的个数．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求l的直角坐标方程；

（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知，且．

证明：（1）；

（2）．

阿拉善盟第一中学2022~2023学年度第一学期高三年级

期末考试·数学（文科）

参考答案、提示及评分细则

1．B

2．D

3．A 

4．C 

5．A 

6．D

7．A 

8．A

9．C 

10．B

11．C 

12．C 

13．280

14．2021 

15．

16．24

17．（1）证明：因为，

所以，

由正弦定理得，

又由余弦定理得，

所以，又，所以．

（2）解：因为且，所以，即，

又外接圆的半径，由正弦定理，即，

因为，所以或．

若，又，由余弦定理，即，

解得或（舍去），所以，

所以．

若，又．由余弦定理，即，

解得或（舍去），所以，

所以．

所以的面积为或．

18．解：（1）

根据列联表中的数据，可得，

因为，所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关．

（2）抽取6人中，女生有：（人），记为．

男生有：（人），记为A，B．

从这6人中随机抽取3人，有，，，共20种基本事件，

其中抽到的3人中恰有1位男生，有，

，共12种基本事件，

所以抽到的3人中恰有1位男生的概率．

19．（1）证明：取中点M，连接，如图所示．

因为为等边三角形，，M为中点，所以，

因为，所以，所以，

所以，

又平面，所以平面，

又平面，所以．

（2）解：在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去）．

在中，，由勾股定理得，

在中，，所以，所以，

所以．

因为平面，所以．

在三棱柱中，平面平面，所以平面，

所以．

20．解：（1）因为C的离心率为，故可设，

故C的方程为，

代入得，解得，

所以C的方程为．

（2）易得的周长为，故．

设，由题意可得直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为，

则，

由得，此时，

所以，

故，

解得，故直线l的方程为或．

21．解：1）根据已知得，则

当时，，

由得或（舍）．

当时，；当时，，

所以，无极大值。

（2）因为，

若在上单调递增，在上单调递减，

有极大值，

极小值，又，

所以函数有1个零点．

若恒成立，函数单调递增，

此时，所以函数有1个零点．

若在上单调递增，在上单调递减，

有极大值，显然极小值，

又，所以函数有1个零点．

综上所述，当时，函数的零点个数为1．

22．解：（1）因为，所以，

又因为，得，

即l的直角坐标方程为．

（2）将代入，得，

所以，即，

要使l与C有公共点，则有解，即有解．

令，则，令，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

又，

所以，

解得，即m的取值范围是．

23．证明：（1）因为，则，

所以，即，所以，

当且仅当，即时取等号．

（2）因为，所以，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号．