2022-2023学年天津市第一中学高三上学期第三次月考数学试题含答案

    2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷

本试卷总分150分，考试用时120分钟.

一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 若、、为非零实数，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知、分别为双曲线左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 设是等比数列的前项和，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 直线被椭圆截得最长的弦为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 设函数，若时，的最小值为，则（    ）

A. 函数的周期为

B. 将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数

C. 当，的值域为

D. 函数在区间上的零点个数共有6个

9. 设函数，.若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C  D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10. 已知复数满足，则______.

11. 已知圆与直线相切，则_________

12. 已知，则________.

13. 直线与双曲线：（，）的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于，两点，若，则的离心率为______.

14. 已知，，且，则的最小值为______.

15. 在中，，在所在平面内的一点满足，当时，的值为______取得最小值时，的值为______.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求B；

（2）若，的面积为2，求

17. 如图，在五面体中，四边形正方形，平面，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的正弦值.

18. 已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．

19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）设，求证：.

20. 已知函数，，曲线在处的切线的斜率为.

（1）求实数的值；

（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设方程在区间内的根从小到大依次为、、、、，求证：．

2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷

本试卷总分150分，考试用时120分钟.

一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10.【答案】

11.【答案】3

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15. 【答案】    ①. 5    ②.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求B；

（2）若，的面积为2，求

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到，从而求出；

（2）由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出，依题意，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；

【小问1详解】

解：因为，

由正弦定理得，

所以，

所以，

因为，所以

所以

所以

【小问2详解】

解：因为的面积，所以，

即，所以，

由余弦定理得，

所以，

因为平分，所以，

所以，

所以，所以，

所以

17. 如图，在五面体中，四边形为正方形，平面，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求直线与平面所成角的正弦值；

（3）利用向量法去求平面与平面夹角的正弦值.

【小问1详解】

在△中，过点N作交CF于H，连接AH，

又，则，又，则

则四边形为平行四边形，则

又平面，平面，则平面；

【小问2详解】

四边形为正方形，平面，则两两垂直

以F为原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则，，，，，

则，，

设平面的一个法向量为，则，

则，令，则，，则

设直线与平面所成角为

则

故直线与平面所成角的正弦值为；

【小问3详解】

由（2）可得，

设平面一个法向量为，则，

则，令，则，，则

又平面的一个法向量为

则

设平面与平面夹角为，则，

则平面与平面夹角的正弦值

18. 已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，以及，建立关于的方程，即可得到结果；

（2）设，由（1）可知，可设椭圆方程，根据，可得，设将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点满足椭圆方程，可求出，进而求出结果.

【小问1详解】

解：因为，所以，即，

则，解得．

【小问2详解】

解：设，

由，得，所以，所以

设，即

由于在椭圆上，则，，①

由，得，即

由在椭圆上，则,

即，

即，②

将①代入②得：，③

线段中点为，设

可知

，

所以，其中，解得，

所以，方程为

又，④

将④代入③得：，

经检验满足，

所以椭圆的方程为.

19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）设，求证：.

【答案】（1），   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的求和公式与通项公式列式求出首项和公差，可得数列的通项公式；根据可求出数列的通项公式；

（2）根据进行裂项求和可求出；

（3）根据基本不等式进行放缩得，再根据错位相减法求和可证不等式成立.

【小问1详解】

因为数列是等差数列，设公差为，

由，得，即，解得，

所以，

由得，得，

当时，，

所以，

所以，即，

又，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

综上所述：数列、的通项公式分别是：，.

【小问2详解】

由（1）知，，

所以，

所以

.

【小问3详解】

由（1）知，，

所以，

所以，

所以，

设，

则，

所以，

所以，

所以，

所以.

20. 已知函数，，曲线在处的切线的斜率为.

（1）求实数的值；

（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设方程在区间内的根从小到大依次为、、、、，求证：．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由已知可得出，即可求得实数的值；

（2）由题意可知对任意的恒成立，验证对任意的恒成立；在时，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在区间上的最大值，可得出的取值范围，综合即可得解；

（3）令，利用导数分析函数在区间上的单调性，利用零点存在定理可知，求得，证明出，结合函数的单调性，即可证得结论成立.

【小问1详解】

解：因为，则，

由已知可得，解得.

【小问2详解】

解：由（1）可知，对任意的，恒成立，

即对任意的恒成立，

当时，则有对任意的恒成立；

当时，，则，令，其中，

且不恒为零，

故函数在上单调递增，则，故.

综上所述，.

【小问3详解】

证明：由可得，

令，则，

因为，则，

所以，，所以，函数在上单调递减，

因为

，，

所以，存在唯一的，使得，

所以，，则，

所以，

，

因为函数在上单调递减，故，即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.