2023年北京西城区高三一模数学试题及答案解析

这是一份2023年北京西城区高三一模数学试题及答案解析，共10页。试卷主要包含了2 ，则，71828）等内容，欢迎下载使用。
2023 北京西城高三一模
数 学 2023.3
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）
（ 1 ） 已知集合 A ={ -1,0,1, 2,3 } ， B = { x | x2 - 3x < 0}，则 A B =
（A）{ -1 }
（B）{1, 2 }
（C）{1, 2,3 }
（D）{ -1,0,1, 2 }
（ 2 ） 下列函数中，在区间(0, +¥) 上为增函数的是
（A） y = -| x |
（B） y = x2 - 2x
（C） y = sin x
（D） y = x - 1
x
（ 3 ） 设 a = lg 2 ， b = cos2 ， c = 20.2 ，则
（A） b < c < a
（B） c < b < a
（C） b < a < c
（D） a < b < c
（ 4 ） 在(x - 2)5 的展开式中， x 的系数为
x
（A） 40
（B）10
（C） - 40
（D） -10
（ 5 ） 已知 P 为△ABC 所在平面内一点， BC = 2CP ，则
（A） AP = - 1 AB + 3 AC
2 2
（B） AP = 1 AB + 2 AC
3 3
（C） AP = 3 AB - 1 AC
2 2
（D） AP = 2 AB + 1 AC
3 3
（ 6 ） 函数 f (x) = sin 2x × tan x 是

（A）奇函数，且最小值为0
（B）奇函数，且最大值为 2
（C）偶函数，且最小值为0
（D）偶函数，且最大值为2
（ 7 ） 已知双曲线C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“ C 的离心率为2 ”是“的
一条渐近线为 y = 3x ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。































C




（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（ 8 ） 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v ( km / s) 和燃料的质量 M (kg) 以及
火箭（除燃料外）的质量 N (kg) 间的关系为 v = 2ln (1 + M ) ．若火箭的最大速度
N
为
12 km / s ，则下列各数中与 M 最接近的是
N
（参考数据： e = 2.71828）
（A） 200
（B） 400
（C） 600
（D） 800
（ 9 ） 设 c Î R ，函数 f (x) = ìïx - c, x ≥ 0, 若 f (x) 恰有一个零点，则c 的取值范围是
ïí2x - 2c, x < 0.
î
（A） ( 0,1)
（B）{ 0 } [1, + ¥)
（C） ( 0, 1 )
2
（D）{ 0 } [ 1 , + ¥)
2
（10） n 名学生参加某次测试，测试由 m 道题组成．若一道题至少有 2 n 名学生未解出
3
来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了 2 m 道题，则该生本次测试成绩合
3
格．如果这次测试至少有 2 n 名学生成绩合格，且测试中至少有 2 m 道题为难
3 3
题，那么 mn 的最小值为
（A） 6
（B） 9
（C）18
（D） 27

第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11） 若复数 z =
2i 1 + i
，则| z |= ．

3
（12） 已知抛物线 y2 = 2 px ( p > 0) 的顶点为O ，且过点 A, B ．若△OAB 是边长为4
三角形，则 p = ．
的等边

（13） 已知数列{an } 的通项公式为an
= 2n-1 ，{bn } 的通项公式为b
= 1 - 2n ．记数列{an + bn }

n
的前 n 项和为 Sn ，则 S4 = ； Sn 的最小值为 ．
（14） 设 A(cosa,sina), B(2cos b, 2sin b) ，其中a, b ÎR ．当a = π, b = π 时，| AB |= ；
2
3
当| AB |= 时， a - b 的一个取值为 ．
（15） 如图，在棱长为2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 M , N 分别在线段 AD1 和 B1C1 上．

给出下列四个结论：
① MN 的最小值为2 ；
② 四面体 NMBC 的体积为 4 ；
3
③ 有且仅有一条直线 MN 与 AD1 垂直；
④ 存在点 M , N ，使△MBN 为等边三角形．其中所有正确结论的序号是 ．



三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
3
（16）（本小题 13 分）

如图，在△ABC 中， ÐA = 2π ， AC =
3

2 ， CD 平分ÐACB 交 AB 于点 D ， CD = ．

（I） 求ÐADC 的值；
（II） 求△BCD 的面积．


（17）（本小题 13 分）
根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：

立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
260 及以上
194 及以上
良好
245 ~ 259
180 ~193
及格
205 ~ 244
150 ~179
不及格
204 及以下
149 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取12 名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm ）：
男生：
女生：

180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280

148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（I） 分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（II） 从该校全体高三男生中随机抽取2 人，全体高三女生中随机抽取1 人，设 X 为这3 人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计 X 的数学期望 EX ；
（III） 从该校全体高三女生中随机抽取3 人，设“这3 人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件 A ，“这3 人的立定跳远单项至多有1 个是优秀”为事件 B ．判断 A 与 B 是否相互独立．（结论不要求证明）

（18）（本小题 14 分）
如图， 在 四棱锥 P - ABCD

中， PA ^ 平面 ABCD ，

AB // CD ， AB ^ AD ，

AB =1 ，

PA = AD = CD = 2 ． E 为棱 PC 上一点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F ．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题：
（I） 求证： F 为 PD 的中点；
（II） 求二面角 B - FC - P 的余弦值．条件①： BE∥AF ；
条件②： BE ^ PC ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答 计分．



（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = ex - cos x ．
（I） 求曲线 y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程；
（II） 设 g(x) = x f ¢(x) - f (x) ，证明： g(x) 在(0, +¥) 上单调递增；
1 1
（III） 判断3 f ( ) 与4 f ( ) 的大小关系，并加以证明．
3 4




（20）（本小题 15 分）
已知椭圆C : x2 + 2 y2 = 2 ，点 A, B 在椭圆C 上，且 OA ^ OB （ O 为原点）．设 AB 的中点为 M ，射线
OM 交椭圆C 于点 N ．
（I） 当直线 AB 与 x 轴垂直时，求直线 AB 的方程；
（II） 求 | ON | 的取值范围．
| OM |

（21）（本小题 15 分）
给定正整数 n ≥ 2 ，设集合 M ={a |a = (t1 ,t2 , ,tn ),tk Î{0,1}, k = 1, 2, , n} ．对于集合 M 中的任意元素
,tin ),i = 1, 2, , n}
b = (x1, x2 , , xn ) 和g = ( y1 , y2 , , yn ) ，记 b × g = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ．

设 A Í M
， 且 集合 A ={ai |ai = (ti1 ,ti 2 ,
， 对于 A 中 任 意 元 素 ai ,a j ，若



ai ×a j
= ì p, i = j, 则称 A 具有性质T (n, p) ．

í
î1, i ¹ j,
（Ⅰ）判断集合 A ={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} 是否具有性质T (3, 2) ？说明理由；
（II） 判断是否存在具有性质T (4, p) 的集合 A ，并加以证明；
（III） 若集合 A 具有性质T (n, p) ，证明： t1 j + t2 j + + tnj = p ( j = 1, 2, , n) ．

数学答案及评分
参考
2023.3
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）

（ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）C


（ 4 ）A


（ 5 ）A
（ 6 ）C （ 7 ）D （ 8 ）B
（ 9 ）D
（10）B

二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）

2
（11）
（13） -1 -2
（12）1
（14）

π （答案不唯一）
5
3

（15）①②④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）


（16）（共 13 分）

解：（Ⅰ）在△ADC 中，由正弦定理得


AC


sin ÐADC


CD


=
sin ÐA



． ………2 分

所以sin ÐADC = AC × sin ÐA =
CD
2 sin 2π
3 =
3
2 ． ………4 分
2

因为0 < ÐADC < π ， ………5 分
3
所以ÐADC = π ． ………6 分
4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ÐACD = ÐBCD = π - 2π - π = π ． ………7 分
3 4 12
由题设， ÐB = ÐACB = π ，即△ABC 为等腰三角形． ………8 分
6
6
所以 BC = 2 ´ AC ´ cos π = ． ………10 分
6
所以△BCD 的面积为
S = 1 BC × CD × sin ÐBCD = 1 ´ 6 ´ 3 sin( π - π) = 3( 3 -1) ． ………13 分


△BCD
2 2 3 4 4


（17）（共 13 分）
解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4 ，获得优秀的女生人数为6 ，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为 4 = 1 ； ………2 分
12 3
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为 6 = 1 ． ………4 分
12 2
（II） 由题设， X 的所有可能取值为0, 1, 2,3．

P( X = 0) 估计为(2)2 ´ 1 = 2 ； ………5 分
3 2 9
P(X =1) 估计为C1 ´ 1 ´ 2 ´ 1 + 2 2 ´ 1 = 4 ； ………6 分
2 3 3 2 (3) 2 9

P( X = 2) 估计为C1 ´ 1 ´ 2 ´ 1 +
1 2 ´ 1 = 5

； ………7 分

2 3 3 2 (3)


2 18

P( X = 3) 估计为(1)2 ´ 1 = 1 ． ………8 分
3 2 18
估计 X 的数学期望 EX = 0 ´ 2 +1´ 4 + 2 ´ 5 + 3´ 1 = 7 ． ………10 分
9 9 18 18 6
（III） A 与 B 相互独立． ………13 分

（18）（共 14 分）
解：选条件①： BE∥AF ．
（I） 因为 AB∥CD ， AB Ë 平面 PCD ，
所以 AB// 平面 PCD ． ………1 分因为平面 ABEF 平面 PCD = EF ，
所以 AB∥EF ． ………2 分
又 BE∥AF ， 所以四边形 ABEF 为平行四边形．所以 AB∥EF 且 AB = EF ． ………3 分
因为 AB∥CD 且 AB = 1 CD ，所以 EF∥CD 且 EF = 1 CD ．
2 2
所以 EF 为△PCD 的中位线． ………5 分
所以 F 为 PD 的中点． ………6 分

（II） 因为 PA ^ 平面 ABCD ，所以 PA ^ AB , PA ^ AD ．又 AB ^ AD ，所以 AB , AD , AP 两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系 A - xyz ， ………7 分则 A(0, 0,0) ， B(1, 0, 0) ， C(2, 2, 0) ， P(0, 0, 2) ， D(0, 2, 0)， F(0,1,1) ．
所以 BC = (1, 2, 0) ， BF = (-1,1,1) ， AF = (0,1,1) ．

ìïm × BC = 0,

ìx + 2 y = 0,

设平面 BCF 的法向量为 m = (x, y, z) ，则ím 即í-x + y + z = 0.
ïî × BF = 0, î
令 y = -1 ，则 x = 2 ， z = 3 ．于是 m = (2, -1,3) ． ………9 分因为 AB ^平面 PAD ，且 AB∥CD ，所以CD ^ 平面 PAD ．
所以 AF ^ CD ．
又 PA = AD，且 F 为 PD 的中点，所以 AF ^ PD ．

AF
所以 AF ^平面 PCD ，所以 是平面 PCD 的一个法向量． ………11 分

m × AF
cosám, AFñ = | m || AF | =
7 ． ………13 分
7


由题设，二面角 B - FC - P 的平面角为锐角，
所以二面角 B - FC - P 的余弦值为 7 ． ………14 分
7
选条件②： BE ^ PC ．
5
（I） 因为 PA ^ 平面 ABCD ，所以 PA ^ AB , PA ^ AD ．


AB2 + AP2
在 Rt△PAB 中， PB =
在直角梯形 ABCD 中，
= ． ………1 分

5
由 AB =1 ， AD = CD = 2 ，可求得 BC = ，所以 PB = BC ． ………2 分因为 BE ^ PC ，所以 E 为 PC 的中点． ………3 分因为 AB∥CD ， AB Ë 平面 PCD ， 所以 AB// 平面 PCD ．
因为平面 ABEF 平面 PCD = EF ，所以 AB∥EF ． ………5 分所以CD∥EF ．
所以 F 为 PD 的中点． ………6 分
（II） 以下同条件①．

（19）（共 15 分）

解：（Ⅰ） f ¢(x) = ex + sin x ． ………1 分
所以 f (0) = 0 ， f ¢(0) = 1 ． ………3 分
所以曲线 y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为 y = x ． ………4 分
（Ⅱ）由题设， g(x) = x(ex + sin x) - (ex - cos x)
= (x -1)ex + x sin x + cos x ．
所以 g¢(x) = x(ex + cos x) ． ………6 分
当 x > 0 时，因为ex + cos x > e0 + cos x = 1+ cos x ≥ 0 ，
所以 g¢(x) > 0 ． ………8 分
所以 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增． ………9 分
>
1 1（Ⅲ） 3 f ( ) 4 f ( ) ． ………10 分
3 4
证明如下：


设 h(x) =
f (x) , x Î(0, +¥) ． ………11 分
x

则 h¢(x) = x f ¢(x) - f (x) = g(x) ． ………12 分

x2 x2

由（Ⅱ）知 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增，
所以 g(x) > g(0) = 0 ． ………13 分
所以 h¢(x) > 0 ，即 h(x) 在(0, +¥) 上单调递增． ………14 分
1 1 1 1
所以 h( ) > h( ) ，即3 f ( ) > 4 f ( ) ． ………15 分
3 4 3 4









（20）（共 15 分）

2
解：（Ⅰ）当直线 AB 与 x 轴垂直时，设其方程为 x = t (- < t
0 ，得 m2 < 1+ 2k2 ．


设 A(x , y ) ， B(x , y ) ，则 x + x = -
4km
2m2 - 2
， x x = ． ………8 分

1 1 2 2
1 2 2k 2 +1

1 2 2k 2 + 1

因为OA ^ OB ，所以OA × OB = 0 ．
所以 x1x2 + y1 y2 = x1x2 + (kx1 + m)(kx2 + m) = 0 ．
整理得(k 2 + 1)x x + km(x + x ) + m2 = 0 ． ………10 分
1 2 1 2

所以(k 2 + 1)(2m2 - 2) + km(-4km) + m2 (2k 2 + 1) = 0 ．
解得3m2 = 2k2 + 2 ，从而 m2 ≥ 2 ． ………11 分
ON = lOM
3


设
，其中l > 0 ．

则ON = l (OA + OB) = l (x + x , y + y ) = ( -2kml , ml ) ． ………12 分

2 2 1 2 1 2
2k2 +1 2k2 +1

将 N(-2kml , ml ) 代入椭圆C 的方程，得 m2l2 = 2k2 +1．
2k2 +1 2k2 +1

所以 m2l2 = 3m2 -1，即l2 = 3 - 1
m2

． ………13 分

因为 m2 ≥ 2 ，所以 3 ≤ l2 < 3 ，即 6 ≤ l