2019届天津市部分区高三下学期质量调查（一）数学（理）试题 PDF版

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天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案DABCDACD二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．    10．20    11．     12．   13．    14．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）在△中，根据余弦定理，， …………1分于是， ……………………………………………………………3分解得（舍去）， 故. …………………………………………5分（Ⅱ）在△中，，于是 .  ……………6分根据正弦定理，得，所以. …………………………8分又为钝角，所以为锐角，即.        ……………9分从而，， ……11分所以.  ……………13分16．解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三名同学都选高校”为事件，则.     ………………………………………………………3分（Ⅱ）（ⅰ）由已知得：甲同学选中D高校的概率为：  …………………4分乙、丙同学选中高校的概率为：    ……………………………5分所以甲同学选中高校且乙、丙都未选中高校的概率:.   …………………………………………7分（ⅱ）易知，所有可能的取值为0,1,2,3, ………………………………………………8分所以，有；；；；  …………………………………………………11分所以，的分布列为0123                                            ……………………………………12分因此.  ……………………………13分17．（Ⅰ）证明：因为平面平面，平面平面，平面，，所以直线平面. ………………1分由题意，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：.   ………………………………………………2分依题意，易证：是平面的一个法向量，又，所以，又因为直线平面，所以. ………………………4分（Ⅱ）解：因为.设为平面的法向量，则，即.  不妨设，可得.    ………………………………………………6分设为平面的法向量，又因为，则，即.不妨设，可得，  ………………………………………………8分所以，又二面角为钝二面角，故二面角的大小为.     ……………………………………………9分（Ⅲ）解：设（），则又，又，即，  …………………11分所以，解得或（舍去）.故所求线段的长为.    ……………………………………………………13分18．解：（Ⅰ）由已知得：，∴数列是以2为公差的等差数列. ………………………………………………2分∵，∴，∴，……………………………………3分∴. …………………………………………………………………………4分设等比数列的公比为，∵,∴，∴，………………………………5分所以.   …………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题意，得，  …………8分∴，∴…9分上述两式相减，得    ………………10分       ……………………11分    ……………………………………………………12分∴.   ……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由在椭圆上，所以. ①   ……………………1分由已知得,所以 ………………………………………2分又 所以. ②   …………………………………………………4分②代入①解得. 故椭圆的方程为. ……………………………………………………5分（Ⅱ）假设存在常数,使得向量共线，所以  即 .   ……………………………7分由题意可设的斜率为, 则直线的方程为，  ③代入椭圆方程并整理,得, 设,则有 . ④  ………………………………………9分在方程③中令得,的坐标为. 从而.  ………………10分所以  ⑤   ……………………………………11分④代入⑤得, 又,所以.  ………………………………………13分故存在常数符合题意.     …………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）因为，所以.     ……………………………………………………1分当时，在恒成立，∴在是单减函数.     …………………………………………………2分当时，令，解之得.从而，当变化时，随的变化情况如下表：-0+单调递减 单调递增由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数.  …………3分综上，当时， 的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为.  …4分（Ⅱ）当时，由(Ⅰ)可知，在是单减函数，在是单增函数；又.   ………………………7分所以；故在有两个零点.  …………………………………………………8分（Ⅲ）当为整数，且当时，恒成立令，只需； ……………9分又，由(Ⅱ)知，在有且仅有一个实数根，在上单减，在上单增；所以    ……………………………10分又，所以，所以且，即代入式，得.  …………12分而在为增函数，所以，即.而，所以，故所求的最大值为.   …………………………………………………………14分