2021-2022学年安徽省滁州市定远县第二中学高二下学期第四次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县第二中学高二下学期第四次月考数学试题

一、单选题

1．若直线的方向向量分别为，则（    ）

A． B．

C．相交但不垂直 D．平行或重合

【答案】B

【分析】根据两直线的方向向量，求出的值，即可得出直线的位置关系

【详解】解：由题意

∵，

∴，

∴.

故选：B.

2．一质点按运动方程（位移单位：，时间单位：）做运动.若质点在时的瞬时速度为，则常数的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】先对已知函数求导，然后结合导数的定义运算求解．

【详解】由题意可得：，则，所以.

故选：C.

3．已知点且线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（    ）

A． B． C．3 D．1

【答案】C

【分析】由题知的中点坐标为，代入方程即可得答案.

【详解】解：由题知线段的中点坐标为，

因为点且线段的垂直平分线的方程是

所以，将代入直线中，得，解得.

故选：C

4．设随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正态曲线的对称性可得.

【详解】，若，则.

故选：A

5．在的展开式中，含的正整数次幂的项共有

A．4项 B．3项 C．2项 D．1项

【答案】B

【详解】的展开式的通项为 为整数， 项，即 ，故选B.

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

6．等差数列中，，则的等差中项是（    ）

A．9 B．3 C．12 D．6

【答案】D

【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式的性质，可以求得，接着利用等差数列通项公式的性质即可求出，的等差中项.

【详解】，，

，即，

，

.

故选：D

7．已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知最长弦为直径，最短弦为是过且与直径垂直的弦长，进而求得弦长，计算面积即可.

【详解】解：由题知圆心为，半径为,

由圆的性质可知，最长的弦长为直径，故，

最短的弦长是过且与直径垂直的弦长，

由于,故，

因为，

所以面积为.

故选：D

8．甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，“甲独自去一个工厂实习”为事件B，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出甲独自去一个工厂实习有，3为大学毕业生去的工厂各不相同有，根据条件概率公式，即可求解.

【详解】“甲独自去一个工厂实习”为事件B，

事件包含的基本事件有，

“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，

事件包含的基本事件有，

.

故选:A.

【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件个数是解题关键，属于基础题.

9．已知为的导函数，则的图象是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导后由函数性质判断

【详解】，

则，为奇函数，故排除B，D，

且，故排除C，

故选：A

10．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆定义，结合，解得|，然后根据椭圆的几何性质，由求解.

【详解】根据椭圆定义，

将代入得|，

根据椭圆的几何性质，，

故，即，

故，又，

所以椭圆离心率的取值范围为

故选：B．

【点睛】本题主要考查椭圆的定义和几何性质，属于基础题.

11．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【分析】根据二项分布求期望.

【详解】由题意，，

故

，

故选:C.

12．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、的大小即可.

【详解】令，则．

因为对于恒成立，

所以，即在上单调递增，

又，，，且，

所以，即．

故选：A

二、填空题

13．已知随机变量服从二项分布，则___________.

【答案】

【分析】由二项分布得到，即可求出的值.

【详解】解：由题意

在随机变量中，服从二项分布，

∴，

∴

故答案为：.

14．某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程（千米）服从正态分布.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在1970（千米）到2020（千米）之间的概率为___________.（参考公式：随机变量服从正态分布，则，，.）

【答案】0.9759

【分析】根据正态分布求出和的值，根据参考公式，即可求出单次最大续航里程恰在1970千米到2020千米之间的概率.

【详解】解：由题意

，

∴，

∴

故答案为：0.9759.

15．设等差数列的前项和为，若，则数列的最小项是第___________项.

【答案】

【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解.

【详解】设等差数列的公差为，

且

，且.

又，所以数列的最小项是.

故答案为:9.

16．已知函数，对于任意不同的，，有，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式即可求解.

【详解】对于任意，，有，

不妨设，则，即，

设，则，

又，所以单调递增，则恒成立，

因为，

所以，令，

要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，

又，所以，即，

故答案为：

三、解答题

17．已知在的展开式中，第6项为常数项.

（1）求n；

（2）求展开式中所有的有理项.

【答案】（1）. （2）展开式中的有理项为：，，

【详解】试题分析：（1）

故.

（2）设展开式中的有理项为

n则，故r =2，5，8

展开式中的有理项为：

，

点评：运用二项展开式的通项公式求特定项，特定项系数、常数项、有理项等，通常是先根据已知条件，再求，有时还需先求，再求，才能求出.

18．已知点P到，的距离之和等于．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过点的直线l与（1）中的曲线C相切，且与圆也相切，求r的值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）由题意可知，故可根据椭圆的定义判定曲线C为椭圆，进而求得椭圆方程；

（2）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，根据直线和椭圆相切，令判别式为零，求得直线方程，再根据直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可求得答案.

【详解】（1）据题意有： ,

由椭圆的定义知点P的轨迹C是以，为焦点的椭圆，，，

所以，所以轨迹C的方程为．

（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

联立得，

由题意得，所以，，

所以直线l的方程为，即．

因为直线l与圆也相切，所以．

19．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.

(1)求女生乙被选中的概率；

(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.

（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.

【详解】（1）女生乙被选中事件的概率.

（2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，

则

20．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面.

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用空间向量的坐标运算，求出平面平面的法向量，即可证明；

(2)利用线面夹角的向量运算求解.

【详解】（1）设的中点分别为，连接，因为，

所以.

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面，平面，所以,

因为底面是直角梯形，的中点分别为，

所以，又，所以.

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图所示，

已知，则，

.

，

设是平面的一个法向量，则，

即，令，则.

设是平面的一个法向量，则，

即，令，则.

因为，所以，

即平面平面.

（2），设直线与平面的夹角为，

则，

直线与平面夹角的正弦值为.

21．北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.

(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？

(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有人，求随机变量的分布列与数学期望.

【答案】(1)（人）

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解；

(2)根据超几何分布计算概率.

【详解】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，

其中男会员有（人），女会员有16人，

所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有（人）.

（2）可能的取值有，

所以的分布列为

所以的期望.

22．已知函数．

（1）令讨论函数的单调性；

（2）求证：对任意的正整数，当时，有

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）求导，分， ，讨论求解；

（2）将证时，成立，转化为证时成立，根据，得到，再令求解即可.

【详解】（1）因为，定义域为，

所以，

①当时，在上恒成立，

故在是减函数；

②当时，由得，判别式

所以不等式恒成立，从而恒成立，

所以是减函数；

③当时，由，即，判别式，

所以方程有两个不同的实根或，

又时，恒成立，

所以当时，，当时，，

故在上为减函数，在上是增函数，

（2）要证时，成立，即证时成立，

因为，所以，

令，则，

所以在是增函数，

所以，

故当时，有．

【点睛】方法点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．