2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（    ）

A．17 B．18 C．19 D．20

【答案】C

【分析】由题意，可得，又，所以，进而可得，，从而可得答案.

【详解】解：设等差数列的公差为，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴取得最大值.

故选：C.

2．设等比数列的前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.

【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，

所以.

故选：C

3．若，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.

【详解】由题意，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查了导数的运算、导数概念的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

4．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【分析】根据a3＋a11＝2a7，代入条件可得a7＝4，进而由b6b8＝＝即可得解.

【详解】因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去).

又{bn}为等比数列，所以b6b8＝＝＝16.

故选D.

5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1，由，得q3＝－，所以选A.

6．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．在上是增函数

C．在上是减函数 D．在时，取极大值

【答案】B

【解析】利用导函数值的符号判断函数的单调性，推出选项即可．

【详解】因为在某区间内，导函数为正，对应的原函数在该区间内递增，

则由导函数的图象可知，导函数在，

导函数为正，所以是增函数，

即在上是增函数.

故选：B．

【点睛】本题考查原函数的单调性与导函数的关系，考查基本知识的应用．

7．若数列与均为等差数列（其中），则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据等差数列通项可知，；将所求式子变为，代入求得结果.

【详解】设数列的公差为，数列的公差为

则，即；，即

本题正确选项：

【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，关键是能够将问题转变为两等差数列公差的比值关系.

8．已知函数，则在处的切线方程为（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程.

【详解】解： ，

求导得：，

，

又，

在处的切线方程为，即.

故选：D.

9．已知函数，，则（    ）．

A．的图像关于点对称 B．图像的一条对称轴是

C．在上递减 D．在的值域为

【答案】B

【分析】利用导数求得，然后根据三角函数的对称性、单调性、特殊值等知识求得正确答案.

【详解】.

，

所以图像的一条对称轴是，B选项正确，A选项错误.

的最小正周期，半周期，

，所以区间不是的单调区间，C选项错误.

，D选项错误.

故选：B

二、多选题

10．已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（    ）

A．d的最大值是6 B．

C．一定是奇数 D．137一定是数列中的项

【答案】ABD

【分析】推导出，的最大值为6，，当时，，从而一定是等差数列中的项.

【详解】因为无穷等差数列的公差，且是中的三项，

所以设，

解得，

所以的最大值为，故A正确；

因为，，

所以，故B正确；

因为，所以时，，数列可能为故C错误；

因为，

所以一定是等差数列中的项，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是运用等数列的基本知识，回到基本量上的计算.

11．已知曲线的一条切线的斜率是，则切点横坐标可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由切点处的导数值为求解x0，则答案可求．

【详解】由，得，

设切点为，则，

即，得．

∴，k∈Z，则，k∈Z．

结合选项可得，当k分别取0和1时，切点横坐标为，．

故选：AD．

12．已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则是数列中绝对值最小的项

B．若，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】CD

【分析】利用等差数列的性质“若，则”得到，进而判定选项A错误；利用，，，为等差数列求，进而判定选项B错误；先利用方程思想求出通项公式，再求出前8项的绝对值的和即可判定选项C正确；利用等差数列的求和公式及性质“若，则”判定选项D正确.

【详解】对于A：因为为等差数列，且，

所以，即，

所以，即是数列中绝对值最小的项.

故选项A错误；

对于B：因为为等差数列，

所以，，，为等差数列，

设，由得：，

故，，，为等差数列

解得，

所以.

故选项B错误；

对于C：因为为等差数列，且，，

所以，，

则.

则

.

故选项C正确；

对于D：因为为等差数列，且，，

所以，，

则.

故选项D正确；

故选：CD.

三、填空题

13．已知函数在处可导，若＝1，则_______．

【答案】

【分析】利用导数的定义分析即可.

【详解】

即

故答案为：.

14．在等比数列中，是方程的根，则的值为________．

【答案】

【分析】根据等比数列中等比中项的性质，等比数列通项公式即可求解.

【详解】等比数列中，是方程的根，

则，，

则，

由等比数列性质可知

，所以，

而，所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的应用，注意项的符号判断，属于基础题.

15．函数在点处的切线的斜率为_________．

【答案】

【分析】求出即得解.

【详解】解：由题得，所以切线的斜率.

故答案为：

16．函数在处的切线方程是_________．

【答案】

【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果.

【详解】因为，则，，，

故在处的切线方程是，整理得：.

故答案为：.

四、解答题

17．数列满足，．

(1)证明数列为等比数列；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立；

（2）求得，利用分组求和法可求得.

【详解】（1）证明：因为，所以，

又因为，所以，

数列是首项为，公比为的等比数列．

（2）解：由（1）知，所以，

所以.

18．已知函数的导函数为．

（1）解不等式：；

（2）求函数的单调区间．

【答案】（1）；（2）的单调增区间为，单调减区间为．

【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，利用，得到不等式，即可求解不等式的解集；（2）由题意得，得到，求得，即可利用导数得到函数的单调区间．

试题解析：（1），∴由得，

∴，∴，则解集为

（2），

∴时，时，，

∴的单调增区间为，单调减区间为

【解析】不等式的求解；利用导数研究函数的单调性．

19．1.已知曲线在处的切线与平行.

(1)求的解析式；

(2)求由曲线与，，所围成的平面图形的面积.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）利用曲线在切点处的导数求出曲线切线的斜率,然后利用直线与切线平行求得答案；

（2）因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分求解.

【详解】（1）解：（1），于是切线的斜率，∵切线与直线平行，∴，∴，

故的解析式.

（2）解：联立，解得，，如图，

∴

，

所以围成的平面图形的面积为1.

20．已知为等比数列，为等差数列的前n项和，

（1）求，的通项公式；

（2）设，求

【答案】（Ⅰ）；（2）.

【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以，

所以.

设等差数列的公差为，因为，

所以，所以；

（2），

，

，得：，

.

21．设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的最大项．

【答案】(1)；(2)6.

【分析】(1)由题意首先求得数列的公比和首项，然后结合通项公式可得数列的通项公式；

(2)结合(1)中的结果和数列的单调性可得数列中的最大项.

【详解】（1）设公比为q，则依题意有：，

又.

或（舍），

.

（2），

函数在上单调递减，且，在上单调递增，且，

故时，.

【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的求解，数列的单调性，数列中最大项的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)设为数列的前项和，解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】求出当时的值，然后当时给出前项的和，然后求解.

由得数列的通项公式，然后运用错位相减法求出，得到的表达式，运用函数性质得到单调性，求出结果

【详解】（1）由题意，故时，，；

当时，，

， ，经检验时，上式也成立，  

故数列的通项公式.

（2） ，          

左右两边同乘以，得，

两式相减得

所以（）,  

由，即，

设，则，

，

故时，，数列单调递增；

故时，；

故时，，数列单调递减；

又，，故或且.

【点睛】关键点睛：本题考查了数列的通项与数列前项和的计算，在求解通项时方法较多，对于本题给出的条件只需用前项的表达式减去前项和即可，在求和时运用了错位相减法，确定数列的单调性解数列不等式是解题的关键．