2021-2022学年广西蒙山县第一中学高二上学期期末模拟考试（二）数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广西蒙山县第一中学高二上学期期末模拟考试（二）数学（理）试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西蒙山县第一中学高二上学期期末模拟考试（二）数学（理）试题 一、单选题1．已知数列满足，，若，则n等于（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据给定条件求出数列通项公式，再将给定项代入即可计算作答.【详解】数列中，因，即，则数列是公差的等差数列，于是得，由，即，解得，所以n等于6.故选：D2．的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法即可得解【详解】解得或,因此解集为.故选：D3．是的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】运用充分必要条件的知识即可辨析得到结果.【详解】若，则；而若,则必有，因此是必要不充分条件.故选：B.4．若椭圆上一点A到焦点的距离为3，则点A到焦点的距离为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据椭圆的定义可求解.【详解】由椭圆的定义知，，故选：B5．空间直角坐标系中，两点A（1，2，3），B（4，2，7）间的距离是（    ）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】利用距离公式直接求解即可【详解】两点A（1，2，3），B（4，2，7）间的距离为，故选：C6．已知是拋物线上一点，是的焦点，，则（    ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】结合抛物线的定义以及抛物线的标准方程列方程，化简求得的值.【详解】由定义，又，所以，解得.故选：C7．在中，，则的形状是（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．【详解】在中，，又由余弦定理知，，两式相加得：，（当且仅当时取“” ，又，（当且仅当时成立），为的内角，，，又，的形状为等边△．故选：．8．已知命题，，则（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据全称量词的否定原则即可判断.【详解】命题为全称量词命题，则命题的否定为：，.故选：B9．已知，设：，：或，则下列命题为真的是（    ）A．若则 B．若则C．若则 D．若则【答案】C【分析】由已知写出和对应的x范围，再分别判断真假.【详解】由题设可得：且，A：由不能推出，所以“若则”为假；B：取不能推出，所以“若则”为假；C：由有，所以“若则”为真；D：取不能推出，所以“若则”为假；故选：C.10．若直线过点，则的最小值为（    ）A．27 B．30 C．33 D．36【答案】A【分析】代入已知点得，再由，运用基本不等式计算可得选项.【详解】解：因为直线过点，所以，所以，当且仅当，时，等号成立．故选：A.11．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，所以.故选：D.12．在正方体中，为正方形的中心，为正方形的中心，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的空间向量的坐标公式求出直线与平面所成角的正弦值，进而根据线面角的范围以及同角的平方关系即可求出结果.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则,则,设平面的法向量为，则，令，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则,又因为线面角的范围是，则.故选：C. 二、填空题13．若变量满足约束条件：则的最小值为___________.【答案】5【分析】由题画出可行域，结合几何意义即可求解.【详解】如图，阴影部分面积为对应可行域，由得，要使最小，即对应截距最小，此时与可行域交于点，求得，故的最小值为5.故答案为：514．在中，若面积，则______．【答案】##【分析】结合三角形面积公式与余弦定理得，进而得答案.【详解】解：由三角形的面积公式得，所以，因为，所以，即，因为，所以故答案为：15．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是__________．【答案】【分析】根据题意，将条件转化为点到直线的距离与它到点的距离相等，结合抛物线的定义即可求解点的轨迹方程．【详解】点到直线的距离比它到点的距离小，点到直线的距离与它到点的距离相等，点的轨迹是以为焦点、直线：为准线的抛物线，因此，设的轨迹方程为，，可得，解得，，动点的轨迹方程为．故答案为：．16．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________．【答案】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体中，，，，设异面直线与所成角为，则，∴异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：. 三、解答题17．已知等比数列的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件求得首项和公比，由此求得的通项公式.（2）利用列方程，化简求得的值.【详解】（1）设等比数列首项为，公比为，，所以.（2）.18．已知函数．(1)若，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）代入，然后根据一元二次不等式的解法计算即可.（2）依据题意得到，计算即可.【详解】（1）若，则，∴，可化为，解得或，∴不等式的解集为．（2）不等式可化为，∵不等式的解集为，∴，解得，∴a的取值范围是．19．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB     ①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC         ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为（2）1． 20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱PD底面ABCD，PD=DA=DB，PB⊥BC，E为PB中点，F为PC上一点，且PC=3PF.(1)求证：PC⊥DE；(2)求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）证明平面，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，证明即得证；（2）利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值.【详解】（1）解：因为底面，所以，又，因为为平面内的两条相交直线，所以平面.以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则由已知，可得，，所以，故，所以；（2）解：因为，设平面的法向量为，由得令，则，所以为平面的一个法向量，又底面，所以为平面的一个法向量，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值.21．已知椭圆 的焦点为 ，且长轴长是焦距的 倍．(1)求椭圆 的标准方程；(2)若斜率为 1 的直线 与椭圆 相交于 两点，已知点 ，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)1. 【分析】(1)根据给定条件求出椭圆半焦距c，长短半轴长a，b即可得解.(2)设出直线的方程，再与椭圆C的方程联立，求出弦AB长及点P到直线的距离，然后求出面积的表达式并求其最大值即得.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，依题意，半焦距，，即，所以椭圆的标准方程为.（2）依题意，设直线，，由消去y并整理得：，由，解得，则有，，于是得，而点到直线的距离为，因此，的面积，当且仅当，即时取“=”，所以面积的最大值为1.【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离 ；直线l：x=my+t上两点间的距离 .22．已知抛物线上一点到焦点的距离为(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据给定条件利用抛物线定义求出p值即可作答.(2)直线不垂直于y轴，设出其方程，再与抛物线方程联立，借助向量数量积即可计算作答.【详解】（1）依题意，抛物线的准线为：，由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.（2）显然，直线不垂直于y轴，设直线的方程为，并设， 由消去并整理得，，则，，因，则均为非零向量，即，由，解得此时直线方程为：，直线与轴交于点，所以直线与轴的交点为定点..