2021-2022学年广西钦州市第四中学高二下学期3月月考数学试题（理）（解析版）

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2021-2022学年广西钦州市第四中学高二下学期3月月考数学试题（理） 一、单选题1．若a，b，c均为正实数，则三个数，，（    ）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D, 可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定，，至少有一个不小于2，从而可以得结论．【详解】解：A. 都不大于2，结论不一定成立，如时，三个数，，都大于2，所以选项A错误；B. 都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，，都大于2，所以选项C错误.由题意，∵a，b，c均为正实数，∴．当且仅当时，取“=”号，若，，，则结论不成立，∴，，至少有一个不小于2，所以选项D正确；故选：D．2．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（       ）A．1项 B．k项 C．项 D．项【答案】D【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可【详解】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D3．利用反证法证明：若，则，假设为（    ）A．都不为0 B．不都为0C．都不为0，且 D．至少有一个为0【答案】B【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，可判断出结果.【详解】“”的否定为“或”，即为，不都为0，故选：B4．下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法.正确的语句有（    ）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据综合法的定义，可得判定①②正确；根据分析法的定义，可判定③正确；④不正确，由反证法的定义，可判定⑤不正确.【详解】根据综合法的定义，可得综合法时执因导果法，是顺推法，所以①②正确；根据分析法的定义，可得分析法时执果索因法，是直接证法，所以③正确；④不正确；由反证法的定义，可得反证法时假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，所以不是逆推法，所以⑤不正确.故选：B5．“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化.”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今．若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期（    ）A．一或三 B．二或三C．二或五 D．四或六【答案】B【分析】利用排除法分析求解即可【详解】解：设这个月有31天或30天，因为，所以这个月最多可能有4个完整的周，若设该月3号为星期二，则该月1号为星期天，2号为星期一，所以从2 号开始到该月29号，一共28天，为4个完整的周，所以这时，2号到29号中星期一有4天，星期二有4天，星期三有4天，星期天有4天，若该月有31 天，则该月30号为星期一，31号为星期二，所以该月1号到30号，共有5天星期一，4天星期三，5天星期二，5天星期天，所以该月3号可能为星期三，故排除CD，设该月3号为星期三，则1号为星期一，则该月1号到28号共28天为4个完整的周，其中含有4个星期一、星期二、星期三、星期天，即该月29号为星期一，30号为星期二，所以当该月有29天时，且该月3号为星期三时，一共有5个星期一，4个星期三，4个星期二和4个星期天，符合题意，故该月3号可能为星期二，所以排除A，故选：B6．用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别求出当和时，不等式左边，二者比较即可得到答案.【详解】当时，左边为，当时，左边为所以增加的项为：故选：D7．某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题．甲和丁均说自己不会证明；乙说：丙会证明；丙说：丁会证明．已知四名同学中只有一人会证明此题，且只有一人说了真话．据此可以判定能证明此题的人是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】由丁和丙的说法矛盾，说明有一人说了真话，其它人都说假话，即可确定能证明此题的人.【详解】由题设知：丁和丙的说法矛盾，他们有一人说了真话，则甲、乙说了假话，又四名同学中只有一人会证明此题，∴甲会证明，乙、丙、丁都不会证明，故选：A.8．关于综合法和分析法说法错误的是（    ）A．综合法和分析法都是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法C．综合法又叫顺推证法或由因导果法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法【答案】B【分析】根据综合法、分析法的概念逐个分析可得答案.【详解】对于A，综合法和分析法都是直接证明中最基本的两种证明方法是正确的；对于B，综合法是由因导果，而分析法是执果索因，故B税法错误；对于C，综合法又叫顺推证法或由因导果法是正确的；对于D，分析法又叫逆推证法或执果索因法是正确的.故选：B9．下面几种推理为合情推理的是（    ）①由圆的性质类比出球的性质；②由凭记忆求出；③是平面内两定点，平面内动点满足(为常数)，得点的轨迹是椭圆；④由三角形的内角和是，四边形内角和是，五边形的内角和是，由此归纳出凸多边形的内角和是.A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根据归纳推理和类比推理的概念，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，（1）中由圆的性质类比出球的性质是两类事物之间的推理过程是类比推理，属于合情推理；（2）合情推理是经过观察，分析，比较，联想，在进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，而凭记忆求出，不符合合情推理，故不正确；（3）由M,N是平面内两定点，动点满足,得点的轨迹是椭圆，属于演绎推理.（4）由三角形的内角和是，四边形内角和是，五边形的内角和是，由此得凸多边形的内角和是，属于归纳推理，是合情推理.综上所述，属于合情推理有(1)(4).故选：A.10．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音的律管长度，作比即可.【详解】设以宫音为基音的律管长度为，则徵音的律管长度为，商音的律管长度为，羽音的律管长度为，所以，羽音律管长度与宫音律管长度之比是.故选：C.11．魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算注》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得x，类似地可得正数等于（    ）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】设，然后解方程即可得．【详解】设，则，解得．故选：B．12．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（   ）A．大前提无限不循环小数是无理数，小前提π是无理数，结论π是无限不循环小数B．大前提无限不循环小数是无理数，小前提π是无限不循环小数，结论π是无理数C．大前提π是无限不循环小数，小前提无限不循环小数是无理数，结论π是无理数D．大前提π是无限不循环小数，小前提π是无理数，结论无限不循环小数是无理数【答案】B【分析】根据三段论推理的标准形式，逐个分析四个答案中的推导过程，可得出结论【详解】A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C、D都不正确，只有B符合演绎推理三段论形式且推理正确，故选:B. 二、填空题13．“开车不喝酒，喝酒不开车”，为了营造良好的交通秩序，全国各地交警都大力宣传和查处“酒驾行为”.某地交警在设卡查处“酒驾行为”时碰到甲､乙､丙三位司机，司机甲说：我喝酒了.司机乙说：我没有喝酒.司机丙说：甲没有喝酒.若这三位司机身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，请你在不使用酒精测试仪的情况下，帮助交警判定出真正喝酒的人是___________.【答案】乙【分析】利用假设法进行推理判断即可.【详解】解：因为只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，若果甲说的是真话，那么乙说也是真话，与只有一人说的是真话相矛盾，故甲说的是假话，即甲没有喝酒是真的，则丙说的是真话，那么乙说的就是假话，则乙喝酒了，故答案为：乙.14．有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是月日，张老师把告诉了甲，把告诉了乙，然后张老师列出来如下个日期供选择：月日，月日，月日，月日，月日，月日，月日，月日，月日，月日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．【答案】月日【解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除个日期，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”再排除个日期，由此可得出结果.【详解】甲只知道生日的月份，而给出的每个月份都有两个以上的日期，甲说“我不知道”，根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，由甲的话可知，甲知道日的数字只出现过一次的日期对应的月份肯定是不对的，则生日的月份不是月、月，可排除月日，月日，月日，月日，月日；乙听了甲的话之后，推理出生日可能出现的日期为：月日，月日，月日，月日，月日，乙说“本来我不知道，但现在我知道了”，可知生日肯定不是月日，月日，只有“月日，月日，月日”满足，乙是知道的，所以乙可以知道生日是哪个日期，由甲知道生日可以推出生日只能是月日.故答案为：月日.【点睛】方法点睛：求解此类推理性试题，通常要根据所涉及的人或物进行判断，通常有两种途径：（1）根据条件直接进行推理判断；（2）肯定一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断其是否与题设条件相符合.15．已知，用数学归纳法证明时，_________．【答案】【解析】写出和时的式子，相减即可得．【详解】因为当时，，当时，，所以．故答案为：．16．若有三个新冠肺炎重症突击小分队，已知第一小分队人数多于第二小分队，第二小分队人数多于第三小分队，但第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队.则这三个小分队人数的总和的最小值为______.【答案】【分析】本题首先可根据题意设出三个小分队的人数分别为、、，然后根据第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队即可求出的最小值，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为第一小分队人数多于第二小分队，第二小分队人数多于第三小分队，这三个小分队人数的总和的最小，且人数只能为正整数，所以可设第三小分队人数为，第二小分队人数为，第一小分队人数为，因为第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队，所以，，故取，此时这三个小分队人数的总和为，故答案为【点睛】本题考查学生从题意中提取信息的能力，能否明确三个小分队人数之间的关系是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题. 三、解答题17．已知数列的前n项和为，其中且.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并证明．【答案】（1），，；（2）猜想，证明见解析.【分析】（1）由，且，分别令，即可求得的值；（2）由，，，猜想：，利用数学归纳法，即可证明.【详解】（1）由题意，数列满足，且，可得， 即，又由，可得，可得.（2）由，，，猜想：，证明：当时，由（1）可知等式成立；假设时，猜想成立，即，当时，由题设可得，所以，，又由，所以，所以，即当时，命题也成立，综上可得，命题对任意都成立.【点睛】对于数学归纳法的证明问题，解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设．18．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】【分析】化简命题p：－2≤x≤10，若￢p是￢q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件，从而可列出不等式组，求解即可.【详解】由题意得p：－2≤x≤10.   ∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．     ∴p⇒q，qp.∴∴∴m≥9.   所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，逆否命题，属于中档题.19．已知函数数列对于﹐总有，.（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析.【分析】（1）利用已知条件求出递推公式，然后再逐步求解数列的前几项，猜想数列的通项公式； （2）利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可．【详解】（1）由，得，因为，所以，，，猜想.（2）证明：用数学归纳法证明如下：①当时，猜想成立；②假设当时猜想成立，即，则当时，所以当时猜想也成立.由①②知，对，都成立.【点睛】本题考查数学归纳法的证明与应用，考查推理分析与运算、证明能力，属于中档题．20．（1）用分析法证明：.（2）设，且，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）要证，只要证，只要证，得到证明.（2）要证成立，只需证成立，即证明，得到答案.【详解】（1）因为和都是正数，要证，只要证，只要证.只要证，即证，而显然成立，故成立.（2）要证成立.只需证成立，又因为，只需证成立，只需证成立，即需证成立.而依题设，则显然成立，由此命题得证.【点睛】本题考查了分析法证明不等式，意在考查学生的逻辑推理能力.