2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙第二高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙第二高级中学高二上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙第二高级中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（    ）A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y+1＝0【答案】D【分析】先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是﹣1，用斜截式写出直线方程．【详解】∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于﹣1，∵在y轴上的截距是﹣1，由直线方程的斜截式得：y＝﹣1×x﹣1，即 y＝﹣x﹣1，故选：D．2．已知等差数列{an}满足a2﹣a5+a8＝4，则数列{an}的前9项和S9＝（    ）A．9 B．18 C．36 D．72【答案】C【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a2﹣a5+a8＝a5＝4，又由，计算可得答案．【详解】根据题意，等差数列{an}中，a2+a8＝2a5，则a2﹣a5+a8＝a5＝4，数列{an}的前9项和，故选：C．3．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（    ）A．7 B．23 C．5或25 D．7或23【答案】D【分析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或．故选：D．【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4．若抛物线的焦点坐标为，则的值为A． B． C．8 D．4【答案】A【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得的值.【详解】抛物线的标准方程为，因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关利用抛物线的焦点坐标求抛物线的方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的简单几何性质，属于简单题目.5．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∠BCA＝90°,D1，F1分别是A1B1，B1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则AD1与BF1所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以点C为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据已知条件求出相应点的坐标，进而求出的坐标，再求出直线AD1和直线BF1所成角的余弦值．【详解】解：以点C为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，设BC＝CA＝CC1＝2，则A（0，2，0），D1（1，1，2），B（2，0，0），F1（1，0，2），∴，∴直线AD1和直线BF1所成角的余弦值为，故选：A．6．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积.【详解】解：圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1．所以点在圆内，最长弦为圆的直径由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，最长弦即直径，即，所以四边形的面积为．故选：B.7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（    ）A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里【答案】B【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B．8．已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：依题意有，解得，所以方程为.【解析】双曲线的概念与性质． 9．已知两条不同的直线l，m与两个不重合的平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中不正确的是（    ）A．若l∥m，则必有α∥β B．若l⊥m，则必有α⊥βC．若l⊥β，则必有α⊥β D．若α⊥β，则必有m⊥α【答案】C【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案．【详解】解：对于A：如图所示：设α∩β＝c，l∥c，m∥c满足条件，但是α与β不平行，故A错误；对于B：假设α∥β，l′⊂β，l′∥l，l′⊥m，则满足条件，但是α与β不垂直，故B错误；对于C：若l⊂α，l⊥β，根据线面垂直的判定定理可得α⊥β，故C正确；对于D：设α∩β＝c，若l∥c，m∥c，虽然α⊥β，但是可有m∥α，故D错误，故选：C． 二、多选题10．（多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】把抛物线，化为标准形式，得 ，故准线方程为：，利用点到直线的距离可得答案.【详解】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，故选AB．【点晴】焦点在轴的抛物线的标准方程为，准线方程为，计算时一定要找准的值.11．若数列{an}满足，则（    ）A． B． C． D．S2020＝2020【答案】BC【分析】根据题意分别求出a2，a3，a4，a5，可得数列{an}是以4为周期的周期数列，逐一分析选项，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，，，，故A错误；∴数列{an}是以4为周期的周期数列，∴a7＝a3+4＝a3＝，故B正确；∴a2020＝a505×4＝a4＝，故C正确；∴S2020＝505（a1+a2+a3+a4），故D错误，故选：BC．12．在平面直角坐标系中，已知点，，圆．若圆C上存在点M，使得，则实数a的值可能是（    ）A．-1 B．0 C． D．-2【答案】ABC【分析】设点的坐标为，根据题设条件，求得，由圆C上存在点M，转化为两圆相交或相切，列出不等式，即可求解.【详解】设点的坐标为，因为，即，整理得．因为圆C上存在点M，满足，所以两圆相交或相切，所以，即，所以，所以A，B，C均正确．故选：ABC.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中求得点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 三、填空题13．已知是公比为q的等比数列，且成等差数列，则q＝_____．【答案】或1【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.【详解】在等比数列中，成等差数列，则，即，而，整理得，解得或，所以或.故答案为：或114．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2- 4y= 0所截得的弦长为__________.【答案】【分析】由题意求出直线方程、圆的标准方程、圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即得解【详解】设弦长为，过原点且倾斜角为60°的直线方程为整理圆的方程为：，圆心为，半径圆心到直线的距离为：则：故答案为：15．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.16．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是_______.【答案】【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设底面半径为，则圆柱的侧面展开图的边长为，即圆柱的高为∴圆柱的侧面积为，表面积为则圆柱的表面积与侧面积的比是故答案为：． 四、解答题17．求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程．【答案】【分析】直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程．【详解】由方程组可得P（0，2）．∵l⊥l3，∴kl=﹣，∴直线l的方程为y﹣2=﹣x，即4x+3y﹣6=0．【点睛】本题是基础题，考查直线的交点与直线的方程的求法，考查计算能力．18．已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．【详解】（1）圆心到直线的距离．直线与圆相切，．圆的标准方程为：．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，，又，．解得：．直线的方程为：．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．综上所述的方程为：或．【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19．在四棱锥中，底面是正方形，若，平面平面.（1）求的长；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，利用勾股定理即求；（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点为，连接，因为，，则，因为平面平面，，所以平面，因为，所以，而，故.在正方形中，因为，故，故，所以.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系,则，，故，设平面的法向量，则即，取，则，故而平面的法向量为，则即，取，则，故因为，所以二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.20．在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆：的右焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）分别选择①②③，根据椭圆的几何性质，求得的值，即可求解；（2）由题意可以设直线的方程为，联立方程组，求得，，所以，，结合的面积列出方程，求得的值，即可求解.【详解】（1）解：选①条件，由椭圆：的右焦点为，可得，因为离心率，所以，所以，所以椭圆的方程为.选②条件，由椭圆：的右焦点为，可得，过，则，∴，所以椭圆的方程为.选③条件，由椭圆：的右焦点为，可得，，又由，则，，所以椭圆的方程为.（2）解：由题意可以设直线的方程为，由，得，可得，设，，所以，，所以的面积，因为的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或.21．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an+1＝2+Sn，（n∈N*）．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1+log2（an）2，求证数列{}的前n项和Tn．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【详解】（1）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an+1＝2+Sn，（n∈N*）．则an＝2+Sn﹣1，（n∈N*）．所以an+1﹣an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，所以，所以数列{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列．则，故．（2）设bn＝1+log2（an）2，则bn＝2n+1．则，所以，因为n∈N*，所以.22．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F．且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．(1)求抛物线的方程；(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线．A，B是切点，求△PAB面积的最大值．【答案】(1)x2＝4y(2) 【分析】根据点F（0，）到圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为，可解p，从而可得抛物线方程；（2）利用抛物线方程可得为，对其求导得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），分别表示出直线PA、直线PB的方程，从而可得直线AB的直线方程，进而利用韦达定理表示出|AB|，以及点P到直线AB的距离为d，从而可得△PAB面积，利用﹣5≤y0≤﹣3，结合二次函数定义可解．【详解】（1）焦点F（0，）到圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为，则p＝2，故抛物线的方程为x2＝4y，（2）因为抛物线C的方程为，对其求导得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），直线PA的方程为，即，即，同理可知，直线PB方程为，由于点P是这两条直线的公共点，则，所以点A、B的坐标满足方程，所以直线AB的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，所以点P到直线AB的距离为，所以＝＝，因为由已知可得，所以当时，△PAB面积的最大值为．【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是由PA，PB是C的两条切线求出直线AB的方程，考查计算能力，属于较难题.