2021-2022学年河南省顶尖名校联盟高二上学期期中联考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省顶尖名校联盟高二上学期期中联考数学（文）试题

一、单选题

1．在等比数列中，若，则（    ）

A． B．3 C．或2 D．4

【答案】C

【解析】利用等比数列的性质可得，从而可得答案

【详解】由等比数列的性质有，可得.

故选：C

2．下列双曲线中，虚轴长为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据虚轴长的定义分别求得各双曲线的虚轴长即可得解.

【详解】对于A，中，虚轴长为，所以A正确；

对于B，中，虚轴长为，所以B错误；

对于C，中，虚轴长为，所以C错误；

对于D，中，虚轴长为，所以D错误；

故选：A.

3．在中，已知，，，则的面积为（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】B

【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面积公式计算．

【详解】因为中，已知，，，

所以，由余弦定理得，

解得或2，

所以的面积或．

故选：B.

4．已知双曲线的中心为原点，是双曲线的一个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据F(3,0)是双曲线的−个焦点设双曲线的方程为，然后根据渐近线方程得到，解方程得到即可得到双曲线方程.

【详解】∵双曲线的中心为原点，F(3,0)是双曲线的−个焦点，

∴设双曲线方程为，a>0，

∵是双曲线的一条渐近线，

∴，解得a2=4，

∴双曲线方程为.

故选：D.

5．已知m＞0，则“m=3”是“椭圆=1的焦距为4”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过讨论焦点的位置，得到关于m的方程，求出对应的m的值，根据充分必要条件的定义判断即可．

【详解】解：∵2c=4，∴c=2，

若焦点在x轴上，则c2=m2-5=4，又m＞0，∴m=3，

若焦点在y轴上，则c2=5-m2=4，m＞0，∴m=1，

故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件，

故选：A．

【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．

6．函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】凑配出积为定值，然后由基本不等式得最小值．

【详解】因为，所以，所以，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.

故选：A．

7．已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上，若，则点P的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知求得，再由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得选项.

【详解】因为椭圆，所以所以，所以，设，

则，又，解得或，而，所以，

故选：D.

8．已知数列是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】A中设数列的公差为，求出的表达式，再根据等差数列的定义判断．BCD中通过特例求出，根据通项公式形式可判断．

【详解】A．设数列的公差为，由，又由，故数列也一定是等差数列.

若，是等差数列，

B．，不是等差数列，

C．，不是等差数列，

D．，不是等差数列，

故选：A．

9．已知在前n项和为的数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用并项求和法即可求解.

【详解】由，有，

则．

故选：C

10．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据离心率相同可得的关系，化简后可得正确的选项.

【详解】由题意有，可得，

有，有，有.

故选：C.

11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由以及，结合二倍角的正切公式，可得，根据三角形的内角的范围可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根据面积公式可得答案.

【详解】因为，且，

所以，

所以，则.

由于为定值，由余弦定理得，即.

根据基本不等式得，即，

当且仅当时，等号成立.

所以.

故选：A

【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.

12．已知直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线与轴交于 两点，若，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵直线的方程为

∴直线的倾斜角为

∵直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线与轴交于 两点，且

∴

设，

联立，得

由得

∴，

∴，即

∴

故选D

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及简单的性质，本题利用直线的倾斜角结合图形推导出线段的几何关系，再联立方程组，利用韦达定理及弦长公式即可求出参数,因此根据题意画出正确的图形是解题的关键.

二、填空题

13．以双曲线的左顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．

【答案】

【分析】首先求双曲线的左顶点坐标，再求抛物线的标准方程.

【详解】由题意知双曲线的左顶点为，

则抛物线方程设为，由条件可知，

所以抛物线方程为.

故答案为：.

14．若满足约束条件，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得，

由得，是直线的纵截距的相反数，向上平移时，减小，

∴向上平移直线，减小，当过时，．

故答案为：．

15．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点在点的上方，若，则直线的斜率为__________.

【答案】

【解析】如图所示，设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点，设，求出即得解.

【详解】如图所示，设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点，

设，则，

解得，

又，

故直线的斜率为.

故答案为：

【点睛】方法点睛：类似这种直线和抛物线相交的计算问题，要注意以下知识的综合应用：（1）抛物线的定义；（2）平面几何的相似；（3）直角三角函数.

16．已知递增的等差数列满足，，则______.

【答案】

【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，得到通项公式，进而可求出结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由，得，解得，则.

所以

.

故答案为

【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.

三、解答题

17．已知的内角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理将化为，结合，化简整理可得，从而可求出，进而可求出角的值；

（2）在中利用余弦定理可求出，从而可得，则有，而，所以

【详解】解：（1）根据正弦定理得，

整理得

因为，所以，又，可得

（2）在中，由余弦定理得：

将（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即

在中，可知，有，

因为，

所以.

18．已知正项等比数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，求的最大值.

【答案】（1）；（2）最大值为.

【解析】（1）已知条件用和公比表示后解得，得通项公式；

（2）由（1）求得，由求得最大时的值，再计算出最大的．

【详解】解：（1）设数列的公比为，

由，有①，

又由，有，得②，

①②有，解得或(舍去)，

由，可求得，有，

故数列的通项公式为；

（2），

若，可得，可得当且时；当且时，

故最大，

又由，可得，

故的最大值为.

【点睛】思路点睛：本题考查求等比数列通项公式，求等差数列前项和最大值，求等差数列前项和的最大值方法：数列是等差数列，前项和为，

（1）求出前项和的表达式，利用二次函数的性质求得最大值；

（2）解不等式，不等式的解集中最大的整数就是使得最大的值，由此可计算出最大的（注意0时，）．

19．已知，且，：函数在区间上是减函数；：方程表示离心率大于2的双曲线．如果“”为假，“"为真，求的取值范围．

【答案】

【分析】先求出和为真时的的取值范围，再结合题意可得和一真一假，进而求解.

【详解】若为真，则对称轴，即，又，则．

若为真，则，即．

因为“”为假，“”为真，所以和一真一假．

若真假，则，得；

若真假，则，得．

综上所述，的取值范围是．

20．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且线段被直线平分.

(1)求的值；

(2)直线是抛物线的切线，为切点，且，求以为圆心且与相切的圆的标准方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，，结合平分及，得可得结果；

（2）设直线的方程为，代入，得，根据判别式为零求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出圆的半径，从而可得圆的标准方程.

【详解】（1）由题意可知，设，，则.

由，得，∴，即.

（2）设直线的方程为，代入，得，

∵为抛物线的切线，∴，解得，

∴.

∵到直接的距离，

∴所求圆的标准方程为.

21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据直线与圆相切建立等式即可求得离心率；

（2）联立直线和椭圆，结合韦达定理得出＝求出范围，结合斜率不存在的情况求解最值.

【详解】(1)由题意知，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化简得a2＝2b2，所以；

(2)因为△PQF2的周长为，所以4a＝，得a＝，

由(1)知b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，且焦点F1(－1，0)，F2(1，0)，

①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为

x＝－1，P，Q，

故

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，

由，消去y并整理得

(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)

＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2

＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1

＝(k2＋1) ＋(k2－1) ＋k2＋1

＝，

由k2＞0可得∈.

综上所述，∈，

所以的最大值是.

【点睛】此题考查求椭圆离心率和方程，根据直线与椭圆位置关系，结合韦达定理求解范围问题，易错点在于漏掉讨论斜率不存在的情况.

22．已知正项等比数列的前项和为，首项，且，正项数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）先设等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比，即可得出的通项公式；再由累乘法求出，根据题中条件求出，代入验证，即可得出的通项公式；

（2）先由（1）化简，根据，求出的最大值，进而可得出结果.

【详解】解：（1）设等比数列的公比为，

由，得，

又，则，

所以.

，由，得

，，…，，

以上各式相乘得：，所以.

在中，分别令，，得，满足.

因此.

（2）由（1）知，，

∴，

又∵，

∴，

令，得，

∴，解得，

∴当时，，即.

∵当时，，，

∴，即.

此时，即，

∴的最大值为.

若存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，则，

∴正整数的最小值为4.

【点睛】本题主要考差数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，会求数列中的最大项即可，属于常考题型.