2021-2022学年河南省灵宝市第五高级中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省灵宝市第五高级中学高二下学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A．-1 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】利用复数模长与四则运算进行计算即可.

【详解】，所以虚部为-1.

故选：A

2．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（    ）

A．相关系数r变大 B．相关指数变大

C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强

【答案】C

【分析】去掉离群点D后，结合散点图对各个选项进行判断得解.

【详解】解：由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r的值变大，故选项A正确；

相关指数的值变大，残差平方和变小，故选项B正确，选项C错误；

解释变量x与预报变量y的相关性变强，故选项D正确.

故选：C．

3．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是

A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确

【答案】C

【详解】分析：利用命题的否定的定义判断即可.

详解：①的命题否定为，故①的假设正确.

或”的否定应是“且”② 的假设错误，

所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.

点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.

4．关于下面几种推理，说法错误的是（    ）

A．“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理

B．演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论不一定正确

C．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理

D．“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”这是演绎推理

【答案】B

【分析】根据归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念逐个判断可得结果.

【详解】对于，“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理，说法正确；

对于，演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确，所以说法错误；

对于，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理，说法正确；

对于，“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”这是演绎推理，说法正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念，属于基础题.

5．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.

【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，

所以点到平面的距离为.

故选B

【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

6．下列使用类比推理正确的是

A．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”

B．“若，则”类比推出“若，则”

C．“实数，，满足运算”类比推出“平面向量满足运算”

D．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”

【答案】D

【分析】根据类比结果进行判断选择.

【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A错；

因为“若，则”，所以B错；

因为，所以C错；

因为正方体的内切球切于各面的中心，所以正确.选D.

【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.

7．在数学课堂上，张老师给出一个定义在上的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：

甲：在上函数单调递减；

乙：在上函数单调递增；

丙：函数的图像关于直线对称；

丁：不是函数的最小值.

张老师说：你们四位同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【解析】采用反证法判断.

【详解】假设甲，乙正确，则丙，丁错误，与题意矛盾

所以甲，乙中必有一个错误

假设甲错误乙正确，则在上函数单调递增；

而函数的图像不可能关于直线对称，则丙错误，与题意矛盾；

所以甲正确乙错误；

故选：B

8．已知下列命题：

①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；

②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；

③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；

④在回归直线方程 中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；

⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；

⑥对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度越大．

⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.   

则正确命题的个数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；相关指数R2的大小，可判断⑤；由的随机变量K2的观测值k的大小可判断⑥；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断⑦．

【详解】对于①，回归直线恒过样本点的中心（），可以不过任一个样本点，故①错误；

对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故②错误；

对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；

对于④，在回归直线方程2﹣0.5x中，当解释变量x每增加一个单位时，

预报变量平均减少0.5个单位，故④正确；

对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，

R2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；

对于⑥，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，

“X与Y有关系”的把握程度越大，故⑥错误；

对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．

其中正确个数为4．

故选B．

【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．

9．在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（    ）

附，

A．400 B．300 C．200 D．100

【答案】B

【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，求解即可.

【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：

，

有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，

，解得，

，

，

.

故选：B

10．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.

【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

表示圆C上的点到的距离，

的最大值是，

故选B

【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.

11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.

【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，

所以为首项为，公比为的等比数列，

.

故选：B.

12．如图，“大衍数列”：、、、、来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】写出程序运行的每一步，即可得出输出结果.

【详解】第1次运行， ，不符合 ，继续运行；

第2次运行，，不符合 ，继续运行；

第3次运行，，不符合 ，继续运行；

第4次运行，，不符合，继续运行；

第5次运行，，不符合 ，继续运行；

第6次运行，，不符合 ，继续运行；

第7次运行，，不符合 ，继续运行；

第8次运行，，符合 ，退出运行，输出.

故选：C.

二、填空题

13．已知复数的对应点在复平面的第二象限，则||的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据的几何意义，得的复平面内对应的点，列出不等式组求得，再结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，复数在复平面内对应的点，

因为该点位于第二象限，所以，解得，

所以.

故答案为：.

14．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．

【答案】乙

【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满足题意，不满足排除．

【详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，

如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．

故答案为乙．

【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．

15．有下列一组不等式：，根据这一规律，若第2020个不等式为，则__________．

【答案】6064

【分析】由归纳推理得：第个不等式为：，若第2020个不等式为，所以，，即可得解．

【详解】解：因为由，，，，，根据这一规律，

则第个不等式为：，

若第2020个不等式为，

即，，

所以，，

即，

故答案为：．

【点睛】本题考查了归纳推理，属于基础题．

16．已知变量y关于x的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测y值可能为___________.

【答案】

【分析】由已知回归方程取对数并令，得线性回归方程，根据线性回归直线过中心点求得值，然后代入可得预测值．

【详解】由得：，令，即，

因为，

，

将点代入直线方程中，即可得：，

所以回归方程为，

若，则.

故答案为：．

三、解答题

17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）直线与曲线交于两点，设点的坐标为 ，求的值.

【答案】（1）曲线：，直线：；（2）.

【分析】（1）利用公式消除参数，可得曲线的方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式求得直线的方程；

（2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解.

【详解】（1）曲线：，直线：

（2）设：(为参数)

将的参数方程代入,

得,

,

故，,

,

故.

【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.

18．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.

（1）求复数；

（2）若为纯虚数，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据待定系数法求解，设且，由题意得到关于的方程组求解即可．

（2）根据纯虚数的定义求解即可．

【详解】（1）设，，，由题意：①

，得②

①②联立，解得，得.

（2），

所以且，解得.

19．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示.

（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；

（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？

参考数据：其中，.

参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

【答案】（1）适宜，；（2）年.

【分析】（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结果；

（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.

【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型.

由，两边同时取常用对数得.

设，则.

因为，，，，

所以.

把代入，得，

所以，所以，

则，

故关于的回归方程为.

（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，

每年的收益为（千元），

总投资千元，

假设需要年开始盈利，则，即，

故需要年才能开始盈利.

20．已知圆有以下性质：

①过圆上一点的圆的切线方程是.

②若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即.

（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程 (不要求证明)；

（2）若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值.

【答案】（1）切线方程是；（2）见解析.

【详解】分析：（1）根据类比推理可得结果；（2）设由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，同理，又过两点的直线是唯一的，直线的方程是，，又，从而可得结果.

详解：（1）过椭圆上一点的的切线方程是

（2）设

由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，

∵直线过点，

∴

同理

又过两点的直线是唯一的，

∴直线的方程是.

∴，

又，

∴为定值.

点睛：本题主要考查类比推理、圆锥曲线的切线，圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.

(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率.

附表：.

【答案】(1)有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；

(2).

【分析】（1）根据已知数据得到列联表，根据列联表中的数据计算出，可得结论；

（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．

【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表

由列联表中的数据可得，

因为，

所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；

（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，

则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：

（A,m,n）,（B,m,n）,（C,m,n）,（A,B,m）,（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n）,（A,B,C），共10种情况，

其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C），共1种，

2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m）,（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n），共6种，

所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，

因此，所求概率为．

22．写出以下各式的值：

______；

______；

______．

结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．

【答案】（1），，； （2）见解析.

【分析】利用特殊角的三角函数进行计算

当，，借助于和差角的三角函数公式进行证明即可．

【详解】，

，

，

当，，

证明：，则，

，

，

.

【点睛】本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．