2021-2022学年河南省南阳市第一中学校高二下学期期中模拟考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省南阳市第一中学校高二下学期期中模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用复数除法运算直接计算作答.

【详解】.

故选：B

2．某产品的零售价（元）与每天的销售量（个）统计如下表：

据上表可得回归直线方程为，则（    ）A．75.8 B．76.4 C．77 D．75.2

【答案】C

【分析】因为回归直线过样本中心点，所以求出样本中心点坐标，代入回归方程可求出的值

【详解】由题意可得，，

则，解得．

故选：C

3．根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件，利用条件概率公式计算即得.

【详解】记某地四月份某日舌东风为事件，某地四月份某日下雨为事件，则所求概率为=

故选:C.

4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为

A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误

【答案】B

【分析】根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.

【详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，

小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，

所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.

本题正确选项：

【点睛】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.

5．若复数表示的点在虚轴上,则实数的值是(  　 )

A．-1 B．4 C．-1和4 D．-1和6

【答案】B

【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出．

【详解】因为复数表示在复平面上对应的点在虚轴上，

所以，解得或，

当时，不符合题意，（舍）

当时，符合题意.

故选：B

【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数与复平面内点的对应关系，熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键，属于基础题.

6．设复数，满足，，则的最大值为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】D

【分析】根据复数模的几何意义，得到复数，在复平面内所表示的轨迹，结合圆的性质，即可求解.

【详解】由题意，复数，满足，，

可得在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，

复数在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，

则的几何意义是两圆上点的距离，

所以的最大值为.

故选：D.

7．下面几种推理是合情推理的是

（1）由圆的性质类比出球的性质

（2）由求出，猜测出  

（3）M,N是平面内两定点，动点满足,得点的轨迹是椭圆．

（4）由三角形的内角和是，四边形内角和是，五边形的内角和是，由此得凸多边形的内角和是

结论正确的是（   ）

A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)

【答案】C

【分析】根据归纳推理和类比推理的概念，逐项判定，即可求解，得到答案.

【详解】由题意知，（1）中由圆的性质类比出球的性质是两类事物之间的推理过程是类比推理，属于合情推理；

（2）由求出，猜测出，体现了特殊到一般的推理，是归纳推理，属于合情推理；

（3）由M,N是平面内两定点，动点满足,得点的轨迹是椭圆，属于演绎推理.

（4）由三角形的内角和是，四边形内角和是，五边形的内角和是，由此得凸多边形的内角和是，属于归纳推理，是合情推理.

综上所述，属于合情推理有(1)(2)(4)，故选C.

【点睛】本题主要考查了归纳推理与类比推理的概念及判定，其中解答中熟记归纳推理和类比推理的概念，逐项准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8．我们把满足勾股定理的正整数称为勾股数，当为大于1的奇数时，可通过等式构造勾股数．类似地，当为大于2的偶数时，下列三个数为勾股数的是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据勾股数的定义，当为大于2的偶数时，对选项分别判断即可.

【详解】对于A：当n为偶数时，不是整数，所以不是勾股数；

对于B：，所以不是勾股数；

对于C：，所以不是勾股数；

对于D:当n为偶数时，都是整数，且，所以是勾股数.

故选D．

【点睛】本题考查了勾股数定义的判断，也考查了勾股定理的应用，属于基础题.

9．执行如图所示的程序框图，输出的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由程序框图可知其功能为利用循环机构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程， 分析循环中各变量值的变化情况即可求解.

【详解】模拟执行程序框图，可得

满足条件,            

满足条件，

满足条件

满足条件

满足条件

不满足条件，退出循环，输出的值为．

故选:B．

10．给出下面类比推理命题（其中为有理数，为实数集，为复数集）：

①“若，则”类比推出“，则”；

②“若，则复数”类比推出“，则”；

③“若，则”类比推出“若，则”；

④“若，则”类比推出“若，则”；

其中类比结论正确的个数有

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】很明显命题①②正确，

对于命题③，当时，，但是无法比较的大小，原命题错误；

对于命题④，若，则，但是无法比较z与1,-1的大小，原命题错误；

综上可得，类比结论正确个数为2.

本题选择B选项.

点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．

11．设长方形的面积为s，其外接圆半径为r，则有.类比这个结论，设长方体的表面积为S，外接球半径为R，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用类比推理，长方体的性质及基本不等式即得.

【详解】设长方体从一顶点出发的三条棱为，则

长方体的表面积为，

由长方体的性质可知其外接球的直径为其体对角线，

所以，又，

所以，当且仅当取等号，

所以，即.

故选：D.

12．某快递公司的四个快递点呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则

A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种

B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种

C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种

D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种

【答案】D

【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．

【详解】（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，

（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，

故选D

【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．

二、填空题

13．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.

【答案】{0}

【分析】由条件可知两个数为实数，根据大小关系，列式求.

【详解】由z1＞z2，得解得a＝0，

故a的取值集合为{0}.

故答案为：

14．已知，定义．经计算…，照此规律，则__________

【答案】

【详解】试题分析：观察各个式子，发现分母都是，分子依次是，前边是

括号里是，故．

【解析】归纳推理的应用．

15．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁，在某天的某个时刻，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印资料：（1）甲不在查资料，也不在写教案；（2）乙不在打印资料，也不在查资料；（3）丙不在批改作业，也不在打印资料；（4）丁不在写教案，也不在查资料.此外还可确定，如果甲不在打印资料，那么丙不在查资料，根据以上消息可以判断甲在_______．

【答案】打印材料

【分析】结合条件（1），先假设甲在批改作业，再结合题中其它条件分析，推出矛盾，即可得出结果.

【详解】因为甲不在查资料，也不在写教案，

若甲在批改作业，根据“甲不在打印资料，那么丙不在查资料”以及“丙不在批改作业，也不在打印资料”得，丙在写教案；又“乙不在打印资料，也不在查资料”，则乙可能在批改作业或写教案，即此时乙必与甲或丙工作相同，不满足题意；所以甲不在批改作业；

因此甲在打印资料.

故答案为打印材料

【点睛】本题主要考查简单的合情推理，结合题中条件直接分析即可，属于常考题型.

16．有一个奇数组成的数阵排列如下：

则第30行从左到右第3个数是__________.

【答案】1051

【分析】利用归纳推理直接求解.

【详解】由题意，

第行的第一个数为，

第行的第二个数与第行的第一个数相差，

第行的第三个数与第行的第一个数相差，

第行的第三个数为

第30行从左到右第3个数是.

故答案为：1051.

三、解答题

17．已知复数和它的共轭复数满足．

(1)求z；

(2)若z是关于x的方程的一个根，求复数的模．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；

（2）将代入已知方程，利用复数代数形式的乘法运算及复数为的充要条件得到方程，即可求出、，再代入，利用复数除法运算法则化简，从而求出其模；

【详解】（1）解：设，则，

所以，

所以，即，所以；

（2）解：将代入已知方程可得，

即，整理可得，

所以，解得，

所以，又，

故复数的模为1．

18．甲､乙､丙三人打靶，他们的命中率分别为，若三人同时射击一个目标，甲､丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.

(1)求；

(2)写出事件包含的所有互斥事件，并求事件发生的概率.

【答案】(1)

(2)互斥事件有：，

【分析】（1）根据相互 独立事件的乘法公式列方程即可求得.

（2）直接写出事件包含的互斥事件，并利用对立事件的概率公式求事件发生的概率即可.

【详解】（1）由题意知，

A，B，C为相互独立事件，

所以甲､丙击中目标而乙没有击中目标的概率

乙击中目标而丙没有击中目标的概率，

解得，.

（2）事件包含的互斥事件有：

，

.

19．已知非零实数a、b、c两两不相等．证明：三个一元二次方程，，不可能都只有一个实根．

【答案】证明见解析

【分析】利用反证法，假设都只有一个实根，列出式子简单计算即可.

【详解】证明：用反证法假设三个方程都只有一个实根，则

①②③，得，  ④

④化为．  ⑤

于是，这与已知条件相矛盾．

因此，所给三个方程不可能都只有一个实根．

20．中国棋手柯洁与AlphaGo的人机大战引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，并根据调查结果绘制了学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40的学生称为“围棋迷”.

(1)请根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关；

(2)为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛首轮该校需派2名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.

附表：

（参考公式：，其中）

【答案】(1)列联表答案见解析，没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图求得“围棋迷”有25人后即可开始补充完整列联表；计算出的观测值与3.841进行比较即可判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关；

（2）依据古典概型去求2人恰好一男一女的概率.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，，

所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，

从而2×2列联表如下：

的观测值.

因为，

所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.

（2）由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，

所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，

有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，.

则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：

，，，，，，

，，，，共10种；

其中2人恰好一男一女的有：

，，，，，，共6种.

故2人恰好一男一女的概率为.

21．某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：

用表示第i（，2，…，10）天测得的甲醛浓度，令，经计算得，，．

(1)由散点图可知，y与i可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01）

(2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据：）

【答案】(1)；

(2)新房装修完第35天开始达到此标准.

【分析】（1）令回归直线，应用最小二乘法求参数，结合写出y关于i的指数型回归方程.

（2）根据求i的范围，即可估计新房装修完需要几天达到标准.

【详解】（1）令，而，，

所以，而，

综上，，即.

（2）由（1）知：，即，可得，

所以，即在新房装修完第35天开始达到此标准.

22．函数，.

（1）求的单调区间；

（2）求证：当时，.

【答案】（1）的单调减区间是，增区间为；（2）详见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；

（2）要证，即证：，即证，构造函数，研究其单调性与最值即可.

【详解】解：（1）函数的定义域为.

由，得.

当时，；当时.

所以的单调减区间是，增区间为.

（2）要证，即证：，即证

设，

则

由（1）可知，即

于是，当时，，单调递增；

当时，，单调递减

所以时，，

所以，当时，.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，不等式的证明方法，构造法的思想方法，属于中档题．