2021-2022学年湖北省黄石市阳新高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省黄石市阳新高级中学高二上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省黄石市阳新高级中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．数列，，，，……的一个通项公式是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合数列前项的规律，归纳可得通项公式是．【详解】解：由已知数列，，，，…，∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用或来表示各项的符号，除了正负号以外的部分该数列的分子均为，分母为的次幂故数列，，，，……的一个通项公式是．故选：C．2．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据抛物线中p的几何意义可求解．【详解】解：抛物线的焦点到准线的距离是，故选：D．3．等差数列中，，则（    ）A．10 B．14 C．15 D．30【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式即可得出的值．【详解】解：设等差数列的公差为，∵，∴，解得，．∴则．故选：B．4．若数列的前n项和，则的通项公式是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，解得，当时，，得数列的递推公式，根据等比数列的定义，通项公式，即可得到所求．【详解】令，则，解得，当时，，则，即，，所以数列是以3为首项，-2为公比的等比数列，所以．故选：B．5．若直线与直线互相垂直，那么的值等于 A．1 B． C． D．【答案】D【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，故选：D.【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.6．在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A．11π B．12π C．13π D．14π【答案】B【详解】试题分析：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，∵BC=4，∠ABC=120°，∴CO=2，∴几何体的体积V==12π，故选B【解析】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．7．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可．【详解】解：由等差数列的性质可得，．故选：C．8．已知F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点.O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴.过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】设，，，，则直线，直线，据两条直线的交点为点，建立等量关系，求双曲线的离心率.【详解】如图，设，，，,则直线，直线．直线，的交点，则，双曲线的离心率为.故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化思想，属于重点题型. 二、多选题9．已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（    ）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】AC【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断即可.【详解】解：是互不重合的直线，是互不重合的平面，对于A，若，，，则由线面平行的性质得，故A正确；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得，故C正确；对于D，若，，，则或，故D错误．故选：AC．10．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，则下列结论正确的是（    ）A．d＜0 B．a9＝0 C．S11＞S7 D．S8、S9均为Sn的最大值【答案】ABD【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，各个选项验证可得答案．【详解】解：∵S7＜S8，∴a8>0,∵S8＝S9，∴a9＝0,则a9-a8＝d＜0，故选项A，B正确；S11－S7＝＝11a1＋55d－7a1－21d＝4a1+34d＜0，∵a9＝a1+8d＝0，∴a1＝－8d∴4a1+34d＝－32d+34d＝2d＜0∴S11＜S7，故C错误．易知数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故选项D正确；故选：ABD.11．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（    ）.A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等【答案】CD【分析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.【详解】双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确；双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.故选：CD．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.12．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，下列结论正确的是（    ）A．S2019＜S2020B．a2019a2021﹣1＜0C．T2020是数列{Tn}中的最大值D．数列{Tn}无最大值【答案】AB【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，分析可得q＞0，可得数列{an}各项均为正值，又由＜0可得或，由等比数列的性质分析可得q的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2019a2020＞1，则（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，又由＜0，即（a2019﹣1）（a2020﹣1）＜0，则有或，又由a1＞1，必有0＜q＜1，则有，对于A，有S2020﹣S2019＝a2020＞0，即S2019＜S2020，则A正确；对于B，有a2020＜1，则a2019a2021＝（a2020）2＜1，则B正确；对于C，，则T2019是数列{Tn}中的最大值，C错误，同理D错误；故选：AB 三、填空题13．已知在数列中，，，则等于____________．【答案】【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，故，所以．故答案为：．14．经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为____________．【答案】【分析】由圆得到圆心，利用斜率计算公式可得，由于点为弦的中点，利用垂径定理及其推论可得．再利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得，再利用点斜式即可得出直线的方程．【详解】解：由圆得到圆心，，点为弦的中点，，则．弦所在直线方程为，化为．故答案为：．15．已知、是椭圆在左、右焦点，是椭圆上一点，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率等于__________．【答案】或【分析】依题意分为直角顶点与或为直角两种情况讨论，当为直角顶点，由对称性可得在上（下）顶点处，即可得到，从而求出离心率，若为直角，则，代入椭圆方程，求出的值，再根据，即可得到方程，最后转化为关于的方程，解得即可.【详解】解：由是等腰直角三角形，若为直角顶点，根据对称性可得在上（下）顶点处，所以，即为，即有．则．若或为直角，不妨令为直角，此时，代入椭圆方程，得．又为等腰直角三角形，所以，故得，即，即．解得，又，得．故椭圆离心率为或．故答案为：或16．已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为____________．【答案】##0.5【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，由此求出底面圆的半径．【详解】解：把圆锥的侧面展开形成一个扇形，则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，如图所示，由，得，所以；设底面圆的半径为，则，解得，即底面圆的半径为．故答案为：． 四、解答题17．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点P为DD1的中点．(1)求证：直线BD1平面PAC；(2)求证：直线PB1平面PAC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到结论．（2）利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理的逆定理得到线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到结论．【详解】（1）长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为DD1的中点，连接AC和BD，相交于点O，连接OP，则O为BD的中点，所以OPBD1，BD1平面PAC，OP平面PAC，所以直线BD1平面PAC．（2）连接OB1，由于四边形ABCD是正方形，所以ACBD，BB1平面ABCD，平面ABCD，所以，平面，平面，，所以AC平面BB1D1D，因为PB1平面BB1D1D，则ACPB1，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则，，，则，所以PB1OP，平面，平面，，直线PB1平面PAC．18．为数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据前项和，由，作差即可求解的通项公式；（2）根据裂项求和法即可求解．【详解】（1）解：①当时，，又，∴，②当时，由，可得两式相减得：，整理得，∵，∴，∴是以首项为4，公差为3的一个等差数列，∴；（2）解：由（1）可得，数列的前项和：．19．设P是抛物线y2＝8x上一个动点，F是该抛物线的焦点．(1)求点P到定点A（－2，2）的距离与到直线X＝－2的距离之和的最小值；(2)若B（3，2），求|PB|＋|PF|的最小值．【答案】(1)(2)5 【分析】(1)得出抛物线的焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义，将问题转化为：求P到点A（－2，2）的距离与点P到F（2，0）的距离之和最小值．(2)过B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，可得|P1Q|＝|P1F|，利用|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|，即可得出结论．【详解】（1）由y2＝8x，得F（2，0），准线是x＝－2，则点P到直线x＝－2的距离d等于点P到焦点F的距离．故d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|，．故最小值为.（2）过B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，如图此时|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|=|PB|＋|PQ|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|=5，故最小值为5．20．已知等差数列{an}满足：，，a1＋2，a2＋2，a3＋5成等比数列，an＋3log2bn＝－2．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn．【答案】(1)an＝3n－2，n∈N*；，n∈N*(2)，n∈N* 【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得d＞0，运用等差数列的通项公式，和等比数列的中项的性质，解方程可得d，进而得到数列{an}的通项公式，再由对数的运算可得{bn}的通项公式；(2)求出，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，an＋1＞an（n∈N*），可得：d＞0，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，由a1＋2，a2＋2，a3＋5成等比数列，可得：（a2＋2）2＝（a1＋2）（a3＋5），即为（d＋3）2＝3（6＋2d），解得d＝3，则an＝a1＋（n－1）d＝1＋3（n－1）＝3n－2，n∈N*，又an＋3log2bn＝－2，∴log2bn＝－n，可得，n∈N*；（2），则前n项和，，两式相减可得，∴．21．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，棱AA1⊥底面A1B1C1，AB＝AC＝AA1，∠ABC＝30°，M，N，D分别是A1B1，A1C1，BC的中点．(1)求证：MN⊥AD；(2)求为二面角M－AD－N的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取B1C1的中点D1，连接DD1，A1D1，可得，再由三角形中位线定理可得，则，由底面A1B1C1，得，再由线面垂直的判定可得平面A1ADD1，则；（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为O－xyz（点O与点A重合），求出所用点的坐标，进一步求出平面ADM与平面ADN的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角M－AD－N的余弦值．【详解】（1）证明：如图，取B1C1的中点D1，连接DD1，A1D1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，由AB＝AC，得A1B1＝A1C1，∴，∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，∴，得，∵底面A1B1C1，平面A1B1C1，∴，又∵，且平面A1ADD1，平面A1ADD1，∴平面A1ADD1，∵平面A1ADD1，∴；（2）解：设AA1＝2，作，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为O－xyz（点O与点A重合），则A（0，0，0），A1（0，0，2），由题意，D为BC的中点，AB＝AC＝AA1，，∴，，，，，由M，N分别是A1B1，A1C1的中点，得，，∴，，，设平面ADM的一个法向量为，∴，，则，取，则y＝0，x＝4，于是．同理可得平面ADN的一个法向量为．设二面角M－AD－N的平面角为，由题意知，为锐角，∴，因此，二面角M－AD－N的余弦值为．22．已知椭圆（）的离心率，椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.【答案】(1) ;(2)2.【详解】试题分析: （1）根据椭圆的离心率和椭圆过点即可求出，则椭圆的方程可求；（2）设直线 方程 把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为 的底，由点线距离公式求出的高，然后用基本不等式求最值．试题解析：（1）∵∴∵椭圆过点∴（2）