2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．设，向量，且，则（     ）A． B．1C． D．2【答案】C【分析】由向量平行可列方程求值.【详解】由得，故.故选：C2．若，，，则事件与的关系是（    ）A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．无法判断【答案】B【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可【详解】解：因为，所以，又，所以事件与事件不对立，又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥.故选：B3．盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”对立的事件是（    ）A．2个小球都是黑色 B．2个小球恰有1个是红色C．2个小球都不是红色 D．2个小球至多有1个是红色【答案】D【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐个分析可得答案.【详解】对于A，“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故A不正确；对于B，“2个小球恰有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故B不正确；对于C，“2个小球都不是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故C不正确；对于D，“2个小球至多有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是对立事件，故D正确.故选：D4．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析【详解】对于A：，因此A不满足题意；对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；对于C：，故C不满足题意；对于D：显然有，选项D不满足题意． 故选：B5．已知平面的一个法向量为，，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．，垂足为AC．，但不垂直 D．【答案】D【分析】直接利用空间向量法判断直线与平面的位置关系.【详解】因为平面的一个法向量为，且，所以，又，所以，故选：D6．假设，，且与相互独立，则（    ）A．0.7 B．0.9 C．0.2 D．0.5【答案】A【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.【详解】因为与相互独立，所以与也相互独立，所以.故选：A7．已知，若三向量共面，则实数等于（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，即可求出实数．【详解】，三向量共面，可设，即，，解得．故选：D．8．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加减运算，数乘运算，利用表示向量即可.【详解】在四面体中，点在上，且，为中点所以即.故选：B.【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.9．设正方体的棱长为a，与相交于点O，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】把看成基底，所求向量用基底表示来计算数量积.【详解】选项A：，所以选项A错误；选项B：，所以选项B错误；选项C：，所以选项C正确；选项D：，所以选项D错误.故选：C.10．在正四面体的棱中任取两条棱，则这两条棱所在的直线互相垂直的概率是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正四面体的结构特征，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，正四面体共有6条棱，其中任取两条，共有种取法，其中在正四面体中，对棱互相垂直，只有与，与，与，三组互相垂直，其余任意两条棱夹角都为，所以这两条棱所在直线互相垂直的概率.故选：A.11．已知，，，（），那么点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量法求点到面的距离即可.【详解】因为，，，（）所以，设平面的法向量为，则有，即，令得，所以所以点到平面的距离为故选：A12．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（    ）A．EF平面B． C．EF与AD1所成角为60°D．EF与平面所成角的正弦值为【答案】C【分析】对于A，证得，则EF平面ABC1D1，从而得出判断；对于B，证得平面ABC1D1，从而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，从而得出判断；对于C，由，得EF与AD1所成角为，在中求解即可得出判断；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判断．【详解】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B，又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，∴EF平面ABC1D1，故A正确；对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确；对于C，由，得EF与AD1所成角为.在中，，所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，，所以，故D正确．故选：C． 二、填空题13．已知，，，则= ________．【答案】【分析】利用空间向量的加法和数量积的坐标运算，求解即可．【详解】因为，，，所以，所以．故答案为：．14．已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲､乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.【答案】【解析】求出甲、乙两球都没有落入盒子的概率，利用对立事件的概率公式可求出所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲、乙两球都没有落入盒子的概率为，由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：.15．已知空间三点，，，则以为邻边的平行四边形面积为________．【答案】【分析】利用空间向量求出，，，，再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】因为，，，所以，，，，所以，所以为锐角，所以，所以以为邻边的平行四边形面积为.故答案为：.16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BCAD，PA⊥平面ABCD且AB＝BC＝PA＝1，AD=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为________．【答案】##【分析】证明出PA，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的余弦值.【详解】因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为AB＝BC＝PA＝1，AD=2，所以，设平面PCD的法向量为，则，令，则，故，设PB与平面PCD所成角的大小为，则.故答案为： 三、解答题17．袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，其中有标记为的2个红球，标记为的2个白球和1个标记为的黑球，从中不放回地依次摸出2个球，观察球的颜色.(1)写出试验的样本空间并计算；(2)设事件为“一黑一白”，求.【答案】(1)答案见解析 ，(2) 【分析】（1）用列举法写出试验的样本空间，是不放回地依次摸出2个球，注意球的顺序；（2）事件为“一黑一白”，则从选择一球，再选择，可以调换顺序，再求比值即可.【详解】（1）袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，从中不放回地依次摸出2个球，则该试验的样本空间可表示为，=.（2）事件为“一黑一白”包含的样本点，共4个，所以.18．已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点.(1)求直线的一个方向向量；(2)证明：平面.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据空间点的坐标即可得向量坐标，进而根据方向向量的定义即可求解，（2）根据平面法向量和直线方向向量垂直，即可求值.【详解】（1），因此,则直线的一个方向向量为，（2）平面，平面,则 ，又因为,,平面,故平面，因此取平面的法向量为，由于则，而平面，因此//平面.19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成，，，…，六组，并得到如图所示的频数表．质量指标值频数10151530255 规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．(1)若从该企业生产的口罩中随机抽取1只，估计是一等品的概率；(2)利用分层随机抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，样本量按比例分配，并从中依次抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中含有二等品的概率．【答案】(1)0.6(2) 【分析】(1)利用频率估计概率即可；(2)利用古典概率模型求解即可.【详解】（1）用频率估计概率，.（2）设这2个口罩中含有二等品为事件,由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品有＝60(个)，二等品有＝40(个)，由分层随机抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个,记这3个一等品为,2个二等品为，则从5个口罩中随机抽取2个的样本空间，，故．20．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为1，且，是的中点.(1)求两点间的距离；(2)求与所成角.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用空间向量加减法表示，再求向量的模；（2）先求这两个向量的数量积及向量的模，再根据向量夹角的余弦公式求解.【详解】（1）已知在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为1，且，设，，.，，，，，则，，由于，则，故.（2）设与所成角，，，由于，，，，且，则，所以与所成角为.21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，侧面底面，点满足，.(1)当取何值时，;(2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）取的中点，连，可证明底面，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：设，利用可求出；（2）利用平面与平面的法向量可求出结果.【详解】（1）取的中点，连，因为为等边三角形，所以，因为侧面底面，侧面底面，，所以底面，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：设，则，，，，，，，则，由于，所以，即，所以，解得，所以当时，.（2）设平面与平面夹角，平面的法向量,由（1）知，，，又，所以，得，取，得，，得，取平面的一个法向量，则，所以.所以平面与平面夹角的正弦值为.22．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响.（结果保留两位小数）(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.【答案】(1)0.76(2)0.14 【分析】（1）分别求出夫妻二人参加科目二考试都不需要交补考费的概率，再由独立事件的概率公式计算可得；（2）先求出夫妻二人参加科目二考试都需要交补考费200元的概率，然后由互斥事件和独立事件的概率公式计算．【详解】（1）设“丈夫在科目二考试中第i次通过”，“妻子在科目二考试中第i次通过”，则，，其中，2，3，4，5.（1）设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”则，，．因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为；（2）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”则，，.因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.